মূল বিষয়বস্তুতে যান
MathSolver Pro
  • গণিত সমাধানকারী খুলুন
  • এআই টিউটরকে জিজ্ঞাসা করুন
  • AP কোর্স খুঁজুন
  • কুইজ তৈরি করুন
  • ক্যালকুলেটর খুলুন
  • গ্রাফিং ক্যালকুলেটর
  • সব ক্যালকুলেটর দেখুন
  • গণিতের গাইড পড়ুন
↑ ↓খুলতে Enter · বন্ধ করতে Esc
সমস্যা সমাধান করুন
অনুক্রম ও ধারাবীজগণিতকলেজ≈ 2:28

n=1 থেকে ∞ পর্যন্ত 1/(n(n+1))-এর সমষ্টির মান নির্ণয় করুন

একটি অ্যানিমেটেড ধাপে ধাপে পাঠ। ক্যাপশনসহ প্রতিটি ধাপ দেখতে চালান চাপুন, বা নিচে ধাপ ও ট্রান্সক্রিপ্ট পড়ুন। উত্তর: ধারাটি অভিসারী (লিমিট তুলনা পরীক্ষা Σ 1/n^2); যোগফল ≈ 1 (মিলে যায় 1 ১০+ দশমিক স্থান পর্যন্ত).

রেকর্ড করা ভিডিও: ভিডিওর কণ্ঠস্বর এবং লেখা ইংরেজি ভাষায়। সাবটাইটেল: বাংলা। এই ভাষায় বর্ণনার জন্য, ইন্টারঅ্যাক্টিভ সংস্করণটি খুলুন।

ইংরেজি ভিডিও: MP4 ডাউনলোড করুন (0.9 MB) · সাবটাইটেল (WebVTT): বাংলা · ইংরেজি ক্যাপশন (WebVTT)

স্ক্রিনে ধাপগুলো

  1. 1. সমস্যা
    সমাধানকৃত উদাহরণ
    ∑n=1∞1n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left( n+1\right)}
  2. 2. ধাপে ধাপে
    1. ∑n=1∞1n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left( n+1\right)}
      ধারাটি লিখুন
    2. lim⁡n→∞1n(n+1)=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n \left( n+1\right)} = 0
      n-তম পদ পরীক্ষা
    3. lim⁡n→∞an1/n2=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1
      p-ধারার সঙ্গে সীমা-তুলনা
    4. যোগফল সাংখ্যিকভাবে অনুমান করুন
  3. 3. উত্তর
    ∑n=1∞1n(n+1) অভিসারী≈1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left( n+1\right)} \ \text{অভিসারী} \approx 1

    limit comparison with Σ 1/n^2 ⇒ converges, S ≈ 1 (matches 1 to 10+ digits)

  4. 4. যাচাই
    • আংশিক যোগফল (সহায়ক প্রমাণ, প্রমাণপত্র নয়): S₁₀ = 0.90909091, S₁₀₀ = 0.99009901, S₁₀₀₀ = 0.999001, S₁₀₀₀₀ = 0.99990001

ট্রান্সক্রিপ্ট

সমস্যা. এই হলো সমস্যাটি: n সমান 1 থেকে অসীম পর্যন্ত 1/(n(n যোগ 1))-এর সমষ্টির মান নির্ণয় করুন. Σ 1 / (n(n যোগ 1)) (n যখন 1 থেকে ∞) পর্যন্ত তা অভিসারী না অপসারী তা নির্ধারণ করুন।

ধাপে ধাপে. ধারাটি লিখুন. Σ a(n) n সমান 1, 2, 3-এর জন্য, … a(n) সমান 1 / সহ (n(n যোগ 1))। প্রথম পদগুলো: 0.5, 0.166667, 0.0833333, 0.05, …. n-তম পদ পরীক্ষা. lim a(n) সমান 0, তাই অপসারিতা পরীক্ষা অনির্ণায়ক; পদগুলো ছোট হয় ঠিকই, তাই আরও সূক্ষ্ম পরীক্ষা দরকার। p-ধারার সঙ্গে সীমা-তুলনা. ধনাত্মক পদ: পদগুলো মোটামুটি 1/n এর বর্গ-এর মতো ছোট হয় (a(2N)/a(N)) থেকে আন্দাজ করা, তাই Σ 1/n এর বর্গ-এর সঙ্গে তুলনা করুন: lim a(n) গুণ n এর বর্গ সমান 1। সীমাটি একটি ধনাত্মক সসীম সংখ্যা, তাই ধারাটি হুবহু p-ধারা Σ 1/n এর বর্গ-এর মতো আচরণ করে, যা অভিসারী কারণ p এর চেয়ে বড় 1। যোগফল সাংখ্যিকভাবে অনুমান করুন. আংশিক যোগফল S N কয়েকটি N-এর জন্য গণনা করে N → ∞-তে বহির্বিস্তার করা হয়েছে (রিচার্ডসন বহির্বিস্তার; একান্তর পদে আগে গড় নেওয়া হয়)। দুটি স্বাধীন বহির্বিস্তার 10 এর ঘাত বিয়োগ 10-এর চেয়ে ভালোভাবে মেলে এবং S প্রায় 1 দেয়। দেখানো বদ্ধ রূপটি একটি সাংখ্যিক শনাক্তকরণ, প্রমাণ নয়।

উত্তর. সুতরাং উত্তর হলো ধারাটি অভিসারী (লিমিট তুলনা পরীক্ষা Σ 1/n এর বর্গ); যোগফল প্রায় 1 (মিলে যায় 1 ১০+ দশমিক স্থান পর্যন্ত). আংশিক যোগফল একটি সসীম সংখ্যার দিকে গেলে ধারা অভিসারী হয়। তার জন্য পদগুলোকে 0-এর দিকে যেতে হবে, কিন্তু শুধু সেটুকু যথেষ্ট নয় (হারমোনিক ধারা অপসারী), তাই নির্ধারণের জন্য তুলনা, অনুপাত, মূল, একান্তর বা সমাকলন পরীক্ষা ব্যবহার করা হয়।

যাচাই. আংশিক যোগফল (সহায়ক প্রমাণ, প্রমাণপত্র নয়): S₁₀ সমান 0.90909091, S₁₀₀ সমান 0.99009901, S₁₀₀₀ সমান 0.999001, S₁₀₀₀₀ সমান 0.99990001.

এরকম আরও পাঠ

n=1 থেকে ∞ পর্যন্ত 1/(n(n+1))-এর সমষ্টির মান নির্ণয় করুন — ধাপে ধাপে ভিডিও পাঠ