অন্তরজ ক্যালকুলেটর: ধাপে ধাপে অন্তরীকরণ

Q: আমার উত্তর পাঠ্যবইয়ের থেকে আলাদা দেখায় কেন?

সমতুল্য রাশি নানাভাবে লেখা যায়, যেমন (2x)/(x^2+1) ও 2x(x^2+1)^(-1)। মিলছে কি না নিশ্চিত হতে দুটিতেই একটি মান বসান।

Q: দ্বিতীয় অন্তরজ লেখচিত্র সম্পর্কে কী জানায়?

এর চিহ্ন অবতলতা জানায়। যেখানে f'' > 0 সেখানে লেখচিত্র ওপরের দিকে বাঁকে, যেখানে f'' < 0 সেখানে নিচের দিকে, আর যেখানে চিহ্ন বদলায় সেখানে একটি নতি বিন্দু থাকে।

Q: কোথায় একটি ফাংশন অন্তরীকরণযোগ্য নয়?

কোণ, তীক্ষ্ণাগ্র, উল্লম্ব স্পর্শক এবং লেখচিত্রের বিচ্ছেদে। যেমন |x|-এর 0-তে একটি কোণ আছে, যেখানে বাম ও ডান দিকের ঢাল -1 ও 1, তাই একক কোনো স্পর্শক নেই।

অন্তরজ ক্যালকুলেটর সম্পর্কে

অন্তরজ $f'(x)$ পরিমাপ করে $f$ -এর তাৎক্ষণিক পরিবর্তনের হার: প্রতিটি বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল। রাশির গঠনের ওপর অল্প কয়েকটি নিয়ম প্রয়োগ করে এটি তৈরি হয়।

এই ক্যালকুলেটর আপনার ফাংশনকে একটি বৃক্ষ-কাঠামোয় বিশ্লেষণ করে, প্রতিটি শাখাবিন্দুতে মানানসই নিয়মটি প্রয়োগ করে এবং তা একটি ধাপ হিসেবে লিখে রাখে। ফলাফল সরল করা হয়, তারপর দেখানোর আগে কয়েকটি নমুনা বিন্দুতে একটি স্বাধীন অন্তরীকরণ পদ্ধতির সঙ্গে মিলিয়ে দেখা হয়।

পঞ্চম অন্তরজ পর্যন্ত যেকোনো ক্রম বেছে নিন, এবং চাইলে x-এর এমন একটি মান দিন যেখানে ফলাফলের মান নির্ণয় করা হবে।

অন্তরজ আসলে কী?

কোনো ফাংশনের অন্তরজ পরিমাপ করে ইনপুট বদলালে আউটপুট কত দ্রুত বদলায়। জ্যামিতিকভাবে এটি স্পর্শকের ঢাল, অর্থাৎ সেই সরলরেখার ঢাল যা লেখচিত্রকে একটি বিন্দুতে কেবল স্পর্শ করে এবং সেখানে বক্ররেখার দিকেই মুখ করে থাকে। সরলরেখার ঢাল সব জায়গায় একই, কিন্তু $y = x^2$ -এর মতো বক্ররেখায় তা বিন্দু থেকে বিন্দুতে বদলায়, তাই অন্তরজ নিজেই একটি ফাংশন: $\frac{d}{dx}x^2 = 2x$ বলে দেয় যে $x = 1$ -এ ঢাল 2, $x = 3$ -এ 6 এবং $x = -2$ -এ $-4$ ।

আনুষ্ঠানিকভাবে অন্তরজ হলো অন্তরের ভাগফলের সীমা, $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ । ভাগফলটি লেখচিত্রের দুটি কাছাকাছি বিন্দু দিয়ে যাওয়া একটি ছেদকের ঢাল, আর $h$ -কে শূন্যের দিকে ছোট করলে ছেদকটি স্পর্শকে পরিণত হয়। প্রতিবার সরাসরি এই সীমা নির্ণয় করা ধীর হবে, তাই বাস্তবে অন্তরজ নির্ণয় করা হয় অল্প কয়েকটি নিয়ম দিয়ে, যার প্রতিটি একবার সীমার সংজ্ঞা থেকে প্রমাণিত। ক্যালকুলেটর ঠিক সেই নিয়মগুলোই প্রয়োগ করে এবং প্রতিটি ধাপে কোনটি ব্যবহৃত হলো তা দেখায়।

যেখানেই হার গুরুত্বপূর্ণ সেখানেই অন্তরজ আসে: বেগ হলো অবস্থানের অন্তরজ, ত্বরণ হলো বেগের অন্তরজ, প্রান্তিক ব্যয় হলো মোট ব্যয়ের অন্তরজ, এবং রাসায়নিক বিক্রিয়ার হার হলো ঘনমাত্রার অন্তরজ।

এই ক্যালকুলেটর $x$ -এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় করে। একাধিক চলকের ফাংশনের জন্য আংশিক অন্তরজ ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন, আর যে সমীকরণে $x$ ও $y$ মিশে আছে তার জন্য অব্যক্ত অন্তরীকরণ ব্যবহার করুন।

অন্তরজ ক্যালকুলেটর কীভাবে ব্যবহার করবেন

x-এর ফাংশনটি লিখুন, যেমন x^2 sin(x) বা e^(3x)/x। চাইলে সামনে d/dx-ও লিখতে পারেন।
ক্রম বেছে নিন: প্রথম, দ্বিতীয়, পঞ্চম অন্তরজ পর্যন্ত।
চাইলে x-এর একটি মান দিন যেখানে অন্তরজের মান নির্ণয় হবে, তারপর “অন্তরীকরণ করুন” চাপুন।

সূত্র

ঘাতের নিয়ম

\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}

গুণফলের নিয়ম

(uv)' = u'v + uv'

ভাগফলের নিয়ম

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

শৃঙ্খল নিয়ম

\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)

প্রচলিত অন্তরজ

(\sin x)' = \cos x,\ (e^x)' = e^x,\ (\ln x)' = \frac1x

সমাধান করা উদাহরণ: x² sin(x)

সমাধান করা উদাহরণে $f(x) = x^2 \sin x$ -এর অন্তরীকরণ করা হয়েছে। ফাংশনটি $u = x^2$ ও $v = \sin x$ -এর গুণফল, তাই ক্যালকুলেটর গুণফলের নিয়ম $(uv)' = u'v + uv'$ প্রয়োগ করে। ঘাতের নিয়মে এটি পায় $u' = 2x$ এবং প্রমিত ত্রিকোণমিতিক অন্তরজ থেকে $v' = \cos x$ , তারপর এদের মিলিয়ে পায় $f'(x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$ । এরপর উত্তরটি নিশ্চিত করতে কয়েকটি বিন্দুতে অন্তরের ভাগফলের সঙ্গে সংখ্যাগতভাবে তুলনা করা হয়।

নিচের সমাধানটি সেই একই ইঞ্জিন তৈরি করেছে, যা ওপরের ক্যালকুলেটরটি চালায়।

চূড়ান্ত উত্তর

f'(x) = 2x \sin\left( x\right)+{x}^{2} \cos\left( x\right)

আমরা আপনার সমস্যাটি যেভাবে পড়েছি

x-এর সাপেক্ষে x² sin(x)-এর অন্তরজ নির্ণয় করুন।

\frac{d}{dx}\left[{x}^{2} \sin\left( x\right)\right]

ধাপে ধাপে সমাধান

গুণফলের নিয়ম: (uv)′ = u′v + uv′
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2} \sin\left( x\right)\right] = 2x \sin\left( x\right)+{x}^{2} \cos\left( x\right)$
d/dx[sin x] = cos x
$\frac{d}{dx}\left[\sin\left( x\right)\right] = \cos\left( x\right)$
ঘাতের নিয়ম: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
একত্র করে সরল করুন
$f'(x) = 2x \sin\left( x\right)+{x}^{2} \cos\left( x\right)$

ব্যবহৃত সূত্র

ঘাতের নিয়ম
$\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}$
গুণফলের নিয়ম
$(uv)' = u'v + uv'$

অন্তরজ বাইরে থেকে ভেতরের দিকে গঠিত হয়: যোগফল পদে ভাগ হয়, ধ্রুবক বাইরে বেরিয়ে আসে, গুণফল ও ভাগফল নিজ নিজ নিয়ম ব্যবহার করে, এবং প্রতিটি যৌগিক ফাংশন তার ভেতরের অংশের অন্তরজ দিয়ে গুণিত হয় (শৃঙ্খল নিয়ম)।

যাচাই

একটি স্বাধীন প্রতীকী অন্তরীকারকের সঙ্গে 8টি নমুনা বিন্দুতে সংখ্যাগতভাবে মিলিয়ে দেখা হয়েছে ✓

বিস্তারিত ব্যাখ্যা

মূল নিয়মগুলো

প্রথম পাঠক্রমে যত অন্তরজের দেখা মেলে তার প্রায় সবই আসে হাতে গোনা কয়েকটি নিয়ম থেকে। ঘাতের নিয়ম যেকোনো বাস্তব $n$ -এর জন্য দেয় $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ , যা মূলকেও অন্তর্ভুক্ত করে, কারণ $\sqrt{x} = x^{1/2}$ -এর অন্তরজ $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ । ধ্রুবক গুণিতক ও যোগফলের নিয়ম দিয়ে একটি বহুপদীর পদে পদে অন্তরীকরণ করা যায়। সূচকীয় নিয়ম বলে $e^x$ নিজেই নিজের অন্তরজ, আর লগারিদমের নিয়ম দেয় $\frac{d}{dx}\ln x = \frac1x$ । ছয়টি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের প্রত্যেকটির একটি প্রমিত অন্তরজ আছে, যার শুরু $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ ও $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$ দিয়ে।

এই মৌলিক অন্তরজগুলো তিনটি গঠনগত নিয়মের সঙ্গে মিলিত হয়। গুণফলের নিয়ম $f \cdot g$ সামলায়, ভাগফলের নিয়ম $\frac{f}{g}$ সামলায়, আর শৃঙ্খল নিয়ম সামলায় এক ফাংশনের ভেতরে থাকা আরেক ফাংশন। আপনি কোন গঠনের সামনে আছেন তা চেনাই কাজের বড় অংশ, আর সে কারণেই ক্যালকুলেটর প্রতিটি ধাপের শিরোনামে নিয়মটির নাম লেখে।

প্রয়োগে শৃঙ্খল নিয়ম

শৃঙ্খল নিয়ম বলে, যদি $y = f(g(x))$ হয় তবে $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ : বাইরের ফাংশনের অন্তরীকরণ করুন, ভেতরের অংশ অপরিবর্তিত রাখুন, তারপর ভেতরের অংশের অন্তরজ দিয়ে গুণ করুন। $\sin(x^2)$ -এর ক্ষেত্রে বাইরের ফাংশন সাইন আর ভেতরের অংশ $x^2$ , তাই অন্তরজ $\cos(x^2) \cdot 2x$ । ক্যালকুলেটর এটিকে লেখে $2\cos(x^2)\,x$ , যা উৎপাদকগুলোর ভিন্ন ক্রমে একই রাশি।

শৃঙ্খল নিয়ম অন্য নিয়মের ভেতরেও লুকিয়ে থাকে। $e^{3x}$ -এ ভেতরের অংশ $3x$ , তাই অন্তরজ $3e^{3x}$ , এবং ক্যালকুলেটর এই ধাপটিকে $e^u \cdot u'$ সহ সূচকীয় নিয়ম হিসেবে চিহ্নিত করে। ভেতরের ফাংশন থেকে আসা উৎপাদকটি বাদ পড়াই অন্তরজের সবচেয়ে সাধারণ ভুল, আর ভেতরের ফাংশনের ধাপে আপনার ফলাফল ক্যালকুলেটরের সঙ্গে মিলিয়ে দেখাই ভুলটি খুঁজে পাওয়ার দ্রুততম উপায়।

ভাগফল ও সরলীকরণ

ভাগফল $\frac{u}{v}$ -এর জন্য নিয়মটি হলো $\frac{u'v - uv'}{v^2}$ । লবে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ, কারণ বিয়োগ বিনিময়যোগ্য নয়। $\frac{e^{3x}}{x}$ -এর অন্তরীকরণ দেয় $\frac{3e^{3x} \cdot x - e^{3x}}{x^2}$ , যাকে ক্যালকুলেটর সরল করে $\left(\frac3x - \frac{1}{x^2}\right)e^{3x}$ লেখে। দুটি রূপই সঠিক, এবং $\frac{e^{3x}(3x - 1)}{x^2}$ -ও সঠিক। আপনার উত্তর দেখানো উত্তর থেকে ভিন্ন দেখালে দুটিতেই $x = 1$ -এর মতো একটি মান বসান; কয়েকটি বিন্দুতে সমান মান পাওয়া রাশি দুটি সমতুল্য হওয়ার জোরালো প্রমাণ।

উচ্চতর অন্তরজ ও কোনো বিন্দুতে মান নির্ণয়

আবার অন্তরীকরণ করলে পাওয়া যায় দ্বিতীয় অন্তরজ, যা পরিমাপ করে ঢাল নিজেই কীভাবে বদলাচ্ছে। দ্বিতীয় অন্তরজ ধনাত্মক হলে লেখচিত্র ঊর্ধ্বমুখী অবতল, পেয়ালার মতো বাঁকানো, আর ঋণাত্মক হলে নিম্নমুখী অবতল। $f(x) = x^3$ -এর প্রথম অন্তরজ $3x^2$ এবং দ্বিতীয়টি $6x$ ; $x = 2$ -এ মান নির্ণয় করলে $f''(2) = 12$ । পদার্থবিজ্ঞানে $x^3$ যদি অবস্থান হতো, তবে 12 হতো সময় 2-এ ত্বরণ।

কোনো বিন্দুতে প্রথম অন্তরজের মান নির্ণয় করলে সেখানে স্পর্শকের ঢাল পাওয়া যায়, আর বিন্দুটিসহ স্পর্শকটিকে বিন্দু-ঢাল আকারে লেখা যায়। এটিই রৈখিক আসন্নীকরণ এবং সমীকরণ সমাধানের নিউটনের পদ্ধতির ভিত্তি।

অন্তরজ দিয়ে সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয়

একটি মসৃণ ফাংশন কেবল সেখানেই স্থানীয় সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মানে পৌঁছাতে পারে যেখানে এর অন্তরজ শূন্য বা অসংজ্ঞায়িত, কারণ পাহাড়ের চূড়ায় বা উপত্যকার তলদেশে স্পর্শক অনুভূমিক। কোনো ফাংশনের সর্বোত্তম মান খুঁজতে এর অন্তরীকরণ করুন, $f'(x) = 0$ বসান, $x$ -এর জন্য সমাধান করুন এবং প্রতিটি সম্ভাব্য মান পরীক্ষা করুন। $f(x) = x^3 - 3x$ -এর অন্তরজ $3x^2 - 3$ , যা $x = -1$ ও $x = 1$ -এ শূন্য। দ্বিতীয় অন্তরজ $6x$ $-1$ -এ ঋণাত্মক এবং $1$ -এ ধনাত্মক, তাই লেখচিত্রের $(-1, 2)$ -এ স্থানীয় সর্বোচ্চ এবং $(1, -2)$ -এ স্থানীয় সর্বনিম্ন বিন্দু আছে।

বদ্ধ ব্যবধানে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মান প্রান্তবিন্দুতেও ঘটতে পারে, তাই সেখানেও ফাংশনের মান তুলনা করুন। অনেক ব্যবহারিক সমস্যা, যেমন নির্দিষ্ট আয়তনের একটি বাক্সে উপাদান সর্বনিম্ন করা, সর্বোত্তম করার রাশিটিকে এক চলকের ফাংশন হিসেবে লেখার পর ঠিক এই ধারাই অনুসরণ করে।

ক্যালকুলেটর কীভাবে উত্তর যাচাই করে

প্রতীকী অন্তরীকরণ সূক্ষ্মভাবে ভুল হতে পারে, বিশেষত সরলীকরণের সময়, তাই ফলাফলকে চোখ বুজে বিশ্বাস করা হয় না। ক্যালকুলেটর কয়েকটি নমুনা বিন্দুতে তার অন্তরজের মান নির্ণয় করে এবং আপনার মূল ফাংশন থেকে সরাসরি নির্ণীত কেন্দ্রীয় অন্তরের ভাগফল, ছোট $h$ -এর জন্য $\frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$ -এর সঙ্গে তুলনা করে। ফাংশন সংজ্ঞায়িত এমন প্রতিটি বিন্দুতে দুটি মান কঠোর সহনসীমার মধ্যে মিলে গেলে যাচাই সফল হয় এবং উত্তরের নিচে তা উল্লেখ করা হয়। হাতে ক্যালকুলেটর নিয়ে আপনিও একই ধারণা কাজে লাগাতে পারেন: $x$ -এর একটি মান নিন, সামান্য বাড়িয়ে ও কমিয়ে দেখুন, এবং $f$ -এর পরিবর্তনকে $x$ -এর পরিবর্তন দিয়ে ভাগ করলে আপনার অন্তরজের সঙ্গে মেলে কি না দেখুন।

সাধারণ ভুল

শৃঙ্খল নিয়মে ভেতরের অন্তরজ ভুলে যাওয়া: $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$ , কেবল $\cos 3x$ নয়।
$(uv)' = u'v'$ লেখা; গুণফলের নিয়মে দুটি পদ থাকে।
ভাগফলের নিয়মে লবের পদগুলোর ক্রম উল্টে ফেলা।
$a^x$ -এ ঘাতের নিয়ম প্রয়োগ করা; সূচকীয় ফাংশনের জন্য প্রয়োজন $(a^x)' = a^x \ln a$ ।
$(uv)' = u'v'$ লেখা; গুণফলের অন্তরজ অন্তরজগুলোর গুণফল নয়।
$\pi$ বা $e^2$ -এর মতো ধ্রুবককে চলক ধরে তার অন্তরীকরণ করা।

পরামর্শ

মূল ও অন্যোন্যককে ঘাত আকারে লিখুন: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ , $\frac1{x^2} = x^{-2}$ ।
রাশির শেষ প্রক্রিয়াটি চিহ্নিত করুন; সেটিই বলে দেয় প্রথমে কোন নিয়ম প্রয়োগ করতে হবে।
$x^x$ -এর মতো ফাংশনের জন্য লগারিদমিক অন্তরীকরণ ব্যবহার করুন।
অন্তরীকরণের আগে মূল ও অন্যোন্যককে ঘাত আকারে পুনর্লিখন করুন: $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$ ।
কেবল হরে $x$ থাকলেই ভাগফলের নিয়ম ব্যবহার করুন; $\frac{x^2}{5}$ আসলে শুধু $\frac15x^2$ ।
সম্ভব হলে অন্তরীকরণের আগে ফাংশন সরল করুন; $x \ne 0$ -এর জন্য $\frac{x^3 + x}{x}$ আসলে $x^2 + 1$ ।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন

অন্তরজ কী?

এটি চলকের সাপেক্ষে ফাংশনের পরিবর্তনের হার, যা স্পর্শকের ঢালের সমান: $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ ।

কোন কোন ফাংশনের অন্তরীকরণ করা যায়?

বহুপদী, ঘাত ও মূল, সূচকীয় ফাংশন, লগারিদম, ত্রিকোণমিতিক ও বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, পরাবৃত্তীয় ফাংশন, এবং +, −, ×, ÷ ও সংযোজন দিয়ে গঠিত এদের যেকোনো সমন্বয়।

দ্বিতীয় অন্তরজ কীভাবে নির্ণয় করব?

“ক্রম” মেনুতে “দ্বিতীয় অন্তরজ” বেছে নিন। ক্যালকুলেটর সরলীকৃত প্রথম অন্তরজের আবার অন্তরীকরণ করে এবং দুটি পর্যায়ই দেখায়।

কোনো বিন্দুতে কি অন্তরজের মান নির্ণয় করা যায়?

হ্যাঁ। মান নির্ণয়ের বিন্দুর ঘরে 2 বা pi/4-এর মতো একটি মান লিখুন এবং পান $f'(a)$ , অর্থাৎ $x = a$ -তে স্পর্শকের ঢাল।

উত্তরটি সঠিক কি না কীভাবে বুঝব?

প্রতিটি ফলাফলকে 8টি নমুনা বিন্দুতে স্বাধীনভাবে নির্ণীত একটি অন্তরজের সঙ্গে সংখ্যাগতভাবে তুলনা করা হয়। না মিললে কোনো উত্তর দেখানো হয় না।

আমার উত্তর পাঠ্যবইয়ের থেকে আলাদা দেখায় কেন?

সমতুল্য রাশি নানাভাবে লেখা যায়, যেমন $\frac{2x}{x^2+1}$ ও $2x(x^2+1)^{-1}$ । মিলছে কি না নিশ্চিত হতে দুটিতেই একটি মান বসান।

শৃঙ্খল নিয়ম কীভাবে ব্যবহার করব?

ভেতরের রাশি অপরিবর্তিত রেখে বাইরের ফাংশনের অন্তরীকরণ করুন, তারপর ভেতরের রাশির অন্তরজ দিয়ে গুণ করুন। $\sin(x^2)$ -এর ক্ষেত্রে তা দেয় $\cos(x^2) \cdot 2x$ ।

দ্বিতীয় অন্তরজ লেখচিত্র সম্পর্কে কী জানায়?

এর চিহ্ন অবতলতা জানায়। যেখানে $f'' > 0$ সেখানে লেখচিত্র ওপরের দিকে বাঁকে, যেখানে $f'' < 0$ সেখানে নিচের দিকে, আর যেখানে চিহ্ন বদলায় সেখানে একটি নতি বিন্দু থাকে।

কোথায় একটি ফাংশন অন্তরীকরণযোগ্য নয়?

কোণ, তীক্ষ্ণাগ্র, উল্লম্ব স্পর্শক এবং লেখচিত্রের বিচ্ছেদে। যেমন $|x|$ -এর 0-তে একটি কোণ আছে, যেখানে বাম ও ডান দিকের ঢাল $-1$ ও $1$ , তাই একক কোনো স্পর্শক নেই।

আপনার ফাংশনের অন্তরীকরণ করুন

ওপরে একটি ফাংশন লিখুন এবং প্রতিটি নিয়মের নামসহ যাচাই করা অন্তরজ পান।

ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন AI ম্যাথ সলভারকে জিজ্ঞাসা করুন

অন্তরজ ক্যালকুলেটর