সীমা ক্যালকুলেটর

সরাসরি প্রতিস্থাপন দিয়ে শুরু

যে ফাংশন বিন্দুটিতে অবিচ্ছিন্ন, তার সীমা সেখানে কেবল তার মান, তাই প্রথম পদক্ষেপ সব সময় প্রতিস্থাপন। বহুপদী, সূচকীয় ফাংশন, সাইন ও কোসাইন সর্বত্র অবিচ্ছিন্ন, আর মূলদ ফাংশন যেখানে হর শূন্য নয় সেখানে অবিচ্ছিন্ন। প্রতিস্থাপনে একটি সাধারণ সংখ্যা পেলে কাজ শেষ।

প্রতিস্থাপন অসীম সীমাও প্রকাশ করতে পারে। একটি অশূন্য সংখ্যাকে শূন্যের দিকে যাওয়া কিছু দিয়ে ভাগ করলে, যেমন 0-এর কাছে $\frac1x$, তা সীমাহীনভাবে বাড়ে। তখন চিহ্ন নির্ভর করে দিকের ওপর: ক্যালকুলেটর ডান দিক থেকে $+\infty$ ও বাম দিক থেকে $-\infty$ জানায়, আর তাই উভয়পার্শ্বিক সীমা বিদ্যমান নয়।

অনির্ণেয় আকার ও লপিতালের নিয়ম

$\frac00$ ও $\frac{\infty}{\infty}$-এর মতো আকারকে অনির্ণেয় বলা হয়, কারণ শুধু আকারটি উত্তর সম্পর্কে কিছুই বলে না। $\frac{x^2}{x}$, $\frac{x}{x}$ ও $\frac{x}{x^2}$ সবাই শূন্যে $\frac00$ দেয়, অথচ এদের সীমা যথাক্রমে 0, 1 এবং অস্তিত্বহীন। লব ও হর কত দ্রুত তাদের সীমার দিকে যায় তা আরও খুঁটিয়ে দেখতে হয়।

লপিতালের নিয়ম পরিবর্তনের হার তুলনা করে ঠিক সেটিই করে। দুটি অংশই 0-এর দিকে, বা দুটিই অসীমের দিকে গেলে, অনুপাতের সীমা অন্তরজগুলোর অনুপাতের সীমার সমান, যদি নতুন সীমাটি বিদ্যমান থাকে। $x = 2$-এ $\frac{x^2-4}{x-2}$-এর অন্তরজ $2x$ ও 1, তাই সীমা 4। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে কাটাকাটি করলেও একই উত্তর আসে, $x + 2 \to 4$, যা যাচাইয়ের ভালো উপায়।

নিয়মটি একাধিকবার প্রয়োগ করতে হতে পারে। এক দফার পরও $\frac{1-\cos x}{x^2}$ থাকে $\frac00$; দ্বিতীয় দফায় পাওয়া যায় $\frac{\cos x}{2}$ এবং সীমা $\frac12$। ক্যালকুলেটর স্বয়ংক্রিয়ভাবে নিয়মটি পুনরাবৃত্তি করে, এবং রাশি সরল না হয়ে বড় হতে শুরু করলে থেমে যায়।

গুণফল, অন্তর ও ঘাত

লপিতালের নিয়ম কেবল ভাগফলে প্রযোজ্য, তাই অন্য অনির্ণেয় আকারগুলোকে আগে পুনর্লিখন করতে হয়। গুণফল $0 \cdot \infty$ ভাগফলে পরিণত হয় একটি উৎপাদককে তার অন্যোন্যক হিসেবে হরে সরিয়ে। বর্গমূলযুক্ত অন্তর $\infty - \infty$, যেমন অসীমে $\sqrt{x^2 + x} - x$, তার অনুবন্ধী দিয়ে গুণ করা হয়; এটি সরল হয়ে $\frac12$ সীমায় দাঁড়ায়।

সূচকীয় আকার $1^\infty$, $0^0$ ও $\infty^0$ লগারিদম দিয়ে সামলানো হয়। $\lim (1 + \frac1x)^x$ নির্ণয় করতে স্বাভাবিক লগারিদম নিয়ে পান $x \ln(1 + \frac1x)$, একটি $\infty\cdot 0$ আকার; একে ভাগফল হিসেবে পুনর্লিখন করুন, লপিতালের নিয়ম প্রয়োগ করে দেখুন লগারিদমটি 1-এর দিকে যায়, তারপর সূচক নিন। উত্তর $e^1 = e \approx 2.718281828$। একই পদ্ধতি দেখায় যে $x \to 0^+$ হলে $x^x \to 1$।

অসীমে সীমা ও অনুভূমিক অসীমতট

$x \to \pm\infty$ হলে মূলদ ফাংশন তাদের সর্বোচ্চ ঘাত দিয়ে নিয়ন্ত্রিত হয়। লব ও হরের মাত্রা সমান হলে সীমা হলো মুখ্য সহগগুলোর অনুপাত, তাই $\frac{3x^2 + 1}{5x^2 - x} \to \frac35$। হরের মাত্রা বেশি হলে সীমা 0; লবের মাত্রা বেশি হলে ফাংশন সীমাহীনভাবে বাড়ে।

এই সীমাগুলোই লেখচিত্রের অনুভূমিক অসীমতট। সূচকীয় ফাংশন শেষ পর্যন্ত যেকোনো ঘাতকে ছাড়িয়ে যায় এবং লগারিদম যেকোনো ধনাত্মক ঘাতের চেয়ে ধীরে বাড়ে; লপিতালের নিয়ম এই তুলনাগুলোকে সুনির্দিষ্ট করে।

যখন সীমা বিদ্যমান নয়

বাম ও ডান সীমা ভিন্ন হলে উভয়পার্শ্বিক সীমা বিদ্যমান থাকে না, যেমন 0-তে $\frac{|x|}{x}$, যেখানে ক্যালকুলেটর ডানপার্শ্বিক সীমা 1 এবং বামপার্শ্বিক সীমা $-1$ জানায়। ফাংশন স্থির না হয়ে দোলাতে থাকলেও সীমা থাকে না, যেমন 0-এর কাছে $\sin\frac1x$। সে অবস্থায় ক্যালকুলেটর কোনো সংখ্যা বানিয়ে না দিয়ে ব্যাখ্যা করে যে মানগুলো স্থির হয় না।

অসীম সীমা প্রযুক্তিগতভাবে বাস্তব সংখ্যা হিসেবে বিদ্যমান না থাকারই আরেক রূপ, তবে এতে বেশি তথ্য থাকে, তাই যে দিকে প্রযোজ্য সেই দিকসহ এটি $\infty$ বা $-\infty$ হিসেবে জানানো হয়।