অন্তরজ কী? একটি স্পষ্ট পরিচিতি

গড় হার থেকে তাৎক্ষণিক হার

একটি গাড়ি 2 ঘণ্টায় 120 কিমি গেলে তার গড় দ্রুতি ঘণ্টায় 60 কিমি। এই সংখ্যা কোনো নির্দিষ্ট মুহূর্তে স্পিডোমিটারে দেখানো দ্রুতি সম্পর্কে কিছুই বলে না, যা ট্রাফিক সিগন্যালে 0 বা মহাসড়কে 100 হতে পারত। অন্তরজ হলো স্পিডোমিটারের পাঠের গাণিতিক রূপ: একটি ব্যবধি জুড়ে নয়, এক মুহূর্তে পরিবর্তনের হার।

যেকোনো ফাংশন $f$-এর জন্য $x$ ও $x + h$-এর মধ্যে গড় পরিবর্তন হার হলো লেখচিত্রের ওই দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখার ঢাল, যাকে ছেদক রেখা বলে:

তাৎক্ষণিক হার পেতে ব্যবধিটি ছোট করুন। $h$ যখন 0-এর দিকে এগোয়, ছেদক রেখাটি ঘুরে স্পর্শকের দিকে যায়, অর্থাৎ সেই রেখা যা বিন্দুটিতে বক্ররেখাকে কেবল ছুঁয়ে যায়। ছেদকের ঢালগুলোর সীমাই অন্তরজ।

আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা

$x$-এ $f$-এর অন্তরজ হলো

যদি সীমাটির অস্তিত্ব থাকে। থাকলে $f$-কে $x$-এ অন্তরীকরণযোগ্য বলা হয়। ভগ্নাংশে সরাসরি $h = 0$ বসানো যায় না, কারণ তাতে $\frac{0}{0}$ পাওয়া যায়। বরং হরের $h$ কাটা না যাওয়া পর্যন্ত বীজগাণিতিকভাবে সরল করুন, তারপর সীমা নিন। সীমা আপনার কাছে নতুন হলে আমাদের সীমার নির্দেশিকা আগে ধারণাটি ব্যাখ্যা করে।

প্রতীক

কয়েকটি প্রতীক প্রচলিত, এবং সবগুলোর অর্থ একই। লাগ্রাঞ্জের প্রাইম প্রতীকে লেখা হয় $f'(x)$। লাইবনিৎসের প্রতীকে লেখা হয় $\frac{dy}{dx}$ বা $\frac{d}{dx}f(x)$, যা মনে করিয়ে দেয় যে অন্তরজ হলো ক্ষুদ্র পরিবর্তনের একটি অনুপাত, এবং শৃঙ্খল নিয়মকে স্বাভাবিক দেখায়। পদার্থবিদেরা প্রায়ই সময়ের সাপেক্ষে অন্তরজের জন্য একটি বিন্দু লেখেন, $\dot{x}$।

অন্তরজ দুবার প্রয়োগ করলে পাওয়া যায় দ্বিতীয় অন্তরজ, লেখা হয় $f''(x)$ বা $\frac{d^2y}{dx^2}$। $s(t)$ অবস্থান হলে $s'(t)$ বেগ এবং $s''(t)$ ত্বরণ।

অন্তরজ লেখচিত্র সম্পর্কে কী জানায়

• যেখানে $f'(x) > 0$, সেখানে ফাংশনটি বর্ধমান।
• যেখানে $f'(x) < 0$, সেখানে এটি হ্রাসমান।
• যেখানে $f'(x) = 0$, সেখানে স্পর্শক অনুভূমিক; স্থানীয় সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন এমন বিন্দুতেই ঘটে (অথবা যেখানে $f'$-এর অস্তিত্ব নেই)।
• যেখানে $f''(x) > 0$, সেখানে লেখচিত্র ওপরের দিকে অবতল, পেয়ালার মতো বাঁকা; যেখানে $f''(x) < 0$, সেখানে নিচের দিকে অবতল।

যে নিয়মগুলো এ কাজ দ্রুত করে, যেমন এখানে ব্যবহৃত ঘাতের নিয়ম, সেগুলো অন্তরজের নিয়মের ব্যাখ্যায় আলোচিত।

একটি ভৌত উদাহরণ: পড়ন্ত পাথর

স্থির অবস্থা থেকে ছেড়ে দেওয়া একটি পাথর বায়ুর বাধা উপেক্ষা করলে $t$ সেকেন্ডে $s(t) = 4.9t^2$ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে। $t = 1$ থেকে $t = 3$-এর মধ্যে এটি 4.9 মিটার থেকে 44.1 মিটারে পৌঁছায়, তাই এর গড় বেগ $\frac{44.1 - 4.9}{2} = 19.6$ মি/সে।

এর তাৎক্ষণিক বেগ হলো অন্তরজ, $s'(t) = 9.8t$ মি/সে। $t = 2$-এ তা 19.6 মি/সে, যা ঠিক 1 থেকে 3 সেকেন্ডের ব্যবধিতে গড় বেগের সমান; দ্বিঘাত ফাংশনের ক্ষেত্রে কোনো ব্যবধিতে গড় হার সবসময় তার মধ্যবিন্দুতে তাৎক্ষণিক হারের সমান। দ্বিতীয় অন্তরজ, $s''(t) = 9.8$ মি/সে², হলো অভিকর্ষজ ধ্রুব ত্বরণ।

যেকোনো অন্তরজ যাচাইয়ে একক একটি ভালো উপায়। মিটারে মাপা কোনো রাশির সেকেন্ডে মাপা সময়ের সাপেক্ষে অন্তরজ মাপা হয় মিটার প্রতি সেকেন্ডে। অর্থনীতিতে টাকায় মোট খরচের উৎপাদিত পরিমাণের সাপেক্ষে অন্তরজ হলো প্রান্তিক খরচ, যার একক টাকা প্রতি একক।

যখন অন্তরজের অস্তিত্ব থাকে না

কোনো বিন্দুতে অন্তর ভাগফলের সীমার অস্তিত্ব না থাকলে ফাংশনটি সেখানে অন্তরীকরণযোগ্য নয়। লেখচিত্রে এটি চারভাবে দেখা দেয়:

• একটি কোণ, যেমন 0-তে $|x|$, যেখানে বাম দিক থেকে ঢাল $-1$ এবং ডান দিক থেকে $+1$।
• একটি তীক্ষ্ণ চূড়া, যেমন 0-তে $x^{2/3}$, যেখানে বিপরীত দিকে ঢাল অসীমভাবে খাড়া হয়ে যায়।
• একটি উল্লম্ব স্পর্শক, যেমন 0-তে $\sqrt[3]{x}$, যেখানে ঢাল অসীম।
• একটি বিচ্ছিন্নতা, যেমন একটি লাফ বা একটি ছিদ্র।

অন্তরীকরণযোগ্যতা অবিচ্ছিন্নতা নিশ্চিত করে: $f'(a)$-এর অস্তিত্ব থাকলে $f$ ফাংশনটি $a$-তে অবিচ্ছিন্ন। বিপরীতটি মিথ্যা, যেমন $|x|$ দেখায়, কারণ এটি সর্বত্র অবিচ্ছিন্ন কিন্তু 0-তে একটি কোণ আছে।

সাংখ্যিকভাবে অন্তরজের আনুমানিক মান

সূত্র না থাকলে, যেমন মাপা উপাত্তের ক্ষেত্রে, একটি ছোট ধাপ নিয়ে অন্তরজের আনুমানিক মান বের করা যায়। প্রতিসম অন্তর ভাগফল সাধারণত একপার্শ্বিক রূপের চেয়ে বেশি নির্ভুল:

$x = 0$-এ $f(x) = \sin x$-এর জন্য $h = 0.01$ নিলে এটি দেয় $\frac{\sin 0.01 - \sin(-0.01)}{0.02} \approx 0.99998$, যা নির্ভুল মান $\cos 0 = 1$-এর খুব কাছে। লেখচিত্র ক্যালকুলেটর ও স্প্রেডশিট এ ধরনের আনুমানিক হিসাব ব্যবহার করে। অন্যদিকে অন্তরজ ক্যালকুলেটর প্রতীকীভাবে অন্তরীকরণ করে এবং প্রয়োগ করা প্রতিটি নিয়ম দেখায়, আর সীমা ক্যালকুলেটর সরাসরি সীমার সংজ্ঞা থেকে মান নির্ণয় করে।

অন্তরজ কোথায় ব্যবহৃত হয়

কত দ্রুত, বা কোন মানটি সবচেয়ে ভালো, এ ধরনের যেকোনো প্রশ্নই অন্তরজের প্রশ্ন। প্রকৌশলীরা পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের অন্তরজ শূন্য ধরে এমন পাত্রের মাপ বের করেন যাতে সবচেয়ে কম উপকরণ লাগে। অর্থনীতিবিদেরা মুনাফা সর্বাধিক করে এমন উৎপাদন স্তর খোঁজেন, যেখানে প্রান্তিক আয় প্রান্তিক খরচের সমান। চিকিৎসকেরা রক্তে ওষুধের ঘনত্ব সময়ের সঙ্গে কীভাবে বদলায় তার মডেল তৈরি করেন, এবং অন্তরজ জানায় কখন তা সর্বোচ্চে পৌঁছায়।

যন্ত্র শিক্ষণ বিপুল মাত্রায় অন্তরজের ওপর নির্ভর করে। একটি মডেলকে প্রশিক্ষণ দেওয়া মানে একটি ত্রুটির পরিমাপ কমাতে লক্ষ লক্ষ প্যারামিটার সমন্বয় করা, আর প্রতিটি প্যারামিটার কোন দিকে সরাতে হবে তা দেয় একটি অন্তরজ, এই পদ্ধতিকে বলে গ্রেডিয়েন্ট ডিসেন্ট। পদার্থবিজ্ঞান প্রায় পুরোটাই অন্তরজে লেখা: নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র বলে, বল হলো ভর গুণ অবস্থানের দ্বিতীয় অন্তরজ।

সংক্ষিপ্ত ইতিহাস

আইজ্যাক নিউটন ও গটফ্রিড ভিলহেল্ম লাইবনিৎস সপ্তদশ শতাব্দীর দ্বিতীয়ার্ধে স্বাধীনভাবে ক্যালকুলাস গড়ে তোলেন। নিউটন ভাবতেন সময়ের সঙ্গে প্রবাহিত রাশির ভাষায়, আর লাইবনিৎস কাজ করতেন অসীম ক্ষুদ্র অন্তর নিয়ে, এবং তাঁর $\frac{dy}{dx}$ প্রতীকই আজ বেশিরভাগ পাঠ্যবইয়ে ব্যবহৃত। তাঁদের পদ্ধতি চমৎকার কাজ করত, কিন্তু অসীম ক্ষুদ্র সংখ্যা নিয়ে অস্পষ্ট ধারণার ওপর দাঁড়িয়ে ছিল। এই নিবন্ধে ব্যবহৃত সীমার নির্ভুল সংজ্ঞা গড়ে ওঠে ঊনবিংশ শতাব্দীতে, প্রধানত অগাস্তাঁ-লুই কোশি ও কার্ল ভাইয়েরস্ট্রাসের হাতে, যা শেষ পর্যন্ত বিষয়টিকে একটি কঠোর ভিত্তির ওপর দাঁড় করায়।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন