নির্দিষ্ট বনাম অনির্দিষ্ট সমাকলন

এক নজরে পার্থক্য

• প্রতীক: অনির্দিষ্ট $\int f(x)\,dx$; নির্দিষ্ট $\int_a^b f(x)\,dx$, যার নিম্নসীমা $a$ ও ঊর্ধ্বসীমা $b$।
• ফল: অনির্দিষ্ট দেয় একটি ফাংশন যোগ একটি ধ্রুবক; নির্দিষ্ট দেয় একটি সংখ্যা।
• অর্থ: অনির্দিষ্ট উত্তর দেয় কোন ফাংশনগুলোর অন্তরজ এটি; নির্দিষ্ট উত্তর দেয় $a$ ও $b$-এর মাঝে কতটা সঞ্চিত হয়।
• ধ্রুবক: অনির্দিষ্টে $+ C$ লাগে; নির্দিষ্ট সমাকলনে ধ্রুবকটি কাটা যায়।
• যাচাই: অনির্দিষ্ট উত্তরকে অন্তরীকরণ করে সমাকল্য ফিরে পান; নির্দিষ্ট উত্তরের আসন্ন মান লেখচিত্র বা আয়তক্ষেত্র থেকে বের করুন।

সমাকলন আপনার কাছে নতুন হলে সমাকলন কী দিয়ে শুরু করুন, যা দুটি ধারণাই একেবারে গোড়া থেকে গড়ে তোলে।

অনির্দিষ্ট সমাকলন: প্রতি-অন্তরজের পরিবার

$f$-এর অনির্দিষ্ট সমাকলন হলো সেই সব ফাংশনের সেট, যাদের অন্তরজ $f$। যেহেতু একটি ধ্রুবক যোগ করলে অন্তরজ বদলায় না, তাই উত্তর সবসময় বক্ররেখার একটি পরিবার, যার প্রতিটি অন্যগুলোর উল্লম্ব স্থানান্তর:

পরিবারের একটি সদস্য বেছে নিতে অতিরিক্ত তথ্য লাগে, সাধারণত একটি জানা মান। একে প্রাথমিক মানের সমস্যা বলে।

পদার্থবিজ্ঞানে এটি সবসময় ব্যবহৃত হয়। ত্বরণ যদি ধ্রুব $-9.8$ মি/সে² হয়, একবার সমাকলন করলে পাওয়া যায় বেগ $v(t) = -9.8t + v_0$, এবং আবার সমাকলন করলে উচ্চতা $h(t) = -4.9t^2 + v_0 t + h_0$। ধ্রুবক দুটি হলো প্রাথমিক বেগ ও প্রাথমিক উচ্চতা।

নির্দিষ্ট সমাকলন: যোগফলের সীমা থেকে সংখ্যা

নির্দিষ্ট সমাকলনকে রিম্যান যোগফলের সীমা হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং তা $a$ থেকে $b$ পর্যন্ত লেখচিত্র ও x-অক্ষের মধ্যবর্তী চিহ্নযুক্ত ক্ষেত্রফল বোঝায়। ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য এর মান নির্ণয়ের সংক্ষিপ্ত পথ দেয়:

$F$-এর বদলে $F + C$ ব্যবহার করলে কিছুই বদলায় না, কারণ $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$। এ কারণেই ধ্রুবকটি বাদ দেওয়া হয়।

নির্দিষ্ট সমাকলনের ধর্ম

অন্তরজের মতোই, যোগফল ও ধ্রুবক গুণিতক সমাকলন চিহ্নের ভেতর দিয়ে চলে যায়। প্রতিসাম্য অনেক পরিশ্রম বাঁচাতে পারে: $f$ বিজোড় হলে, অর্থাৎ $f(-x) = -f(x)$ হলে, $\int_{-a}^{a} f\,dx = 0$। যেমন, $\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0$, কারণ ঋণাত্মক ও ধনাত্মক অর্ধেক কাটাকাটি হয়ে যায়। $f$ জোড় হলে $\int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx$, তাই $\int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।

$[a, b]$-এ $f$-এর গড় মান $\frac{1}{b - a}\int_a^b f\,dx$। $[0, 3]$-এ $x^2$-এর জন্য তা $\frac{1}{3}\cdot 9 = 3$: 3 উচ্চতা ও 3 প্রস্থের একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল পরাবৃত্তের নিচের অঞ্চলের ক্ষেত্রফলের সমান।

দুটিতে প্রতিস্থাপন ভিন্নভাবে কাজ করে

অনির্দিষ্ট সমাকলনে আপনি প্রতিস্থাপন করেন, সমাকলন করেন, তারপর আবার মূল চলকে ফিরে যান। নির্দিষ্ট সমাকলনে বরং সীমাগুলোকে নতুন চলকের সঙ্গে মিলিয়ে বদলে নিতে পারেন এবং আর ফিরে যেতে হয় না।

একটি সাধারণ ভুল হলো $u$ প্রতিস্থাপন করে পুরোনো $x$-এর সীমা রেখে দেওয়া। মান নির্ণয়ের আগে হয় সীমা বদলান, নয়তো আবার $x$-এ ফিরে যান, কখনো দুটির অর্ধেক অর্ধেক নয়।

যেখানে দুটি মেলে: সঞ্চয় ফাংশন

পরিবর্তনশীল ঊর্ধ্বসীমাসহ একটি নির্দিষ্ট সমাকলন নিজেই একটি ফাংশন: $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$। এটি $f$-এর একটি বিশেষ প্রতি-অন্তরজ, যা $x = a$-তে 0-এর সমান। যেমন, $\int_0^x t^2\,dt = \frac{x^3}{3}$।

মৌলিক উপপাদ্যের প্রথম অংশ বলে $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$। তাই $\frac{d}{dx}\int_1^x \cos(t^2)\,dt = \cos(x^2)$, যদিও ওই সমাকলনের কোনো প্রাথমিক সূত্র নেই। ঊর্ধ্বসীমা নিজেই একটি ফাংশন হলে শৃঙ্খল নিয়ম একটি উৎপাদক যোগ করে: $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sin t\,dt = 2x\sin(x^2)$। অন্তরীকরণের নিয়মগুলোর সারসংক্ষেপ আছে অন্তরজের নিয়মের ব্যাখ্যায়।

অপ্রকৃত সমাকলন

অসীম ব্যবধিতে, অথবা ব্যবধির ভেতরে অসীম হয়ে যায় এমন ফাংশনের নির্দিষ্ট সমাকলনকে অপ্রকৃত সমাকলন বলে, এবং তা একটি সীমা হিসেবে সংজ্ঞায়িত। যেমন:

অর্থাৎ অসীম দীর্ঘ একটি অঞ্চলের ক্ষেত্রফল সসীম হতে পারে। বিপরীতে, $\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{b \to \infty}\ln b$ সীমাহীনভাবে বাড়ে, তাই এটি অপসারী। এই তুলনাই ধারার অভিসৃতি পরীক্ষায় সমাকলন পরীক্ষার ভিত্তি।

প্রশ্নটি কোনটি চায়?

সমাকলন চিহ্নে সীমা আছে কি না, অথবা থেকে, মাঝে, মোট, ক্ষেত্রফল বা কতটা ধরনের শব্দ আছে কি না দেখুন। এগুলো নির্দিষ্ট সমাকলন ও একটি সাংখ্যিক উত্তরের সংকেত। একটি ফাংশন নির্ণয় করুন, সাধারণ সমাধান বা প্রতি-অন্তরজ ধরনের শব্দ $+ C$ সহ অনির্দিষ্ট সমাকলনের সংকেত দেয়। যে প্রশ্ন একটি শুরুর মান দেয়, যেমন $f(0) = 2$, তা চায় একটি অনির্দিষ্ট সমাকলন এবং তারপর $C$-এর মান নির্ণয়।

ধাপসহ অনির্দিষ্ট সমাকলনের জন্য সমাকলন ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন, আর অপ্রকৃত সমাকলনসহ কোনো ব্যবধিতে মান নির্ণয়ের জন্য নির্দিষ্ট সমাকলন ক্যালকুলেটর।

একটি ফাংশন দিয়ে সমাধানকৃত তুলনা

একই ফাংশনে দুই ধরনের সমাকলন প্রয়োগ করে দেখলে পার্থক্যটি স্পষ্ট হয়। এমন একটি ফাংশন নিন, যা লিটার প্রতি মিনিটে একটি ট্যাংকে পানি ঢোকার হার দেয়, এবং ধরুন $t$ মিনিট পর তা $4t + 2$-এর সমান।

অনির্দিষ্ট সমাকলন $2t^2 + 2t + C$ যেকোনো সময়ে ট্যাংকে পানির পরিমাণ বর্ণনা করে, তবে একটি অজানা শুরুর পরিমাণ পর্যন্ত। শুরুতে ট্যাংকে 10 লিটার থাকলে $C = 10$, এবং $t$ মিনিট পর আয়তন $2t^2 + 2t + 10$ লিটার। এটি এমন একটি ফাংশন, যার মান যেকোনো মুহূর্তে নির্ণয় করা যায়।

$t = 0$ থেকে $t = 5$ পর্যন্ত নির্দিষ্ট সমাকলন একটি ভিন্ন প্রশ্নের উত্তর দেয়: ওই পাঁচ মিনিটে কতটা পানি ঢুকেছে? এটি $(50 + 10) - 0 = 60$ লিটার, শুরুতে ট্যাংকে যতই থাকুক না কেন। প্রথম উত্তরটি একটি অবস্থার সূত্র; দ্বিতীয়টি একটি পরিবর্তনের একক সংখ্যা। প্রশ্নটি কোনো সময়ের একটি রাশি চায় নাকি একটি ব্যবধিজুড়ে মোট মান চায়, তা জিজ্ঞেস করলে বেশিরভাগ ব্যবহারিক সমস্যা স্পষ্টভাবে এই দুই ধরনের একটিতে পড়ে।

প্রতিটি ধরনের সাধারণ ভুল

অনির্দিষ্ট সমাকলনে সবচেয়ে সাধারণ ভুল হলো ধ্রুবকটি বাদ দেওয়া। এটি নিরীহ মনে হতে পারে, কিন্তু প্রাথমিক মানের সমস্যায় এটি ঠিক সেই জিনিসটিই সরিয়ে দেয় যা আপনাকে নির্ণয় করতে বলা হয়েছে, আর অন্তরক সমীকরণে এটি সমাধানের একটি পুরো পরিবার আড়াল করে। দ্বিতীয় ভুল হলো প্রতিস্থাপনের পর উত্তরটিকে মূল চলকের ভাষায় আবার লিখতে ভুলে যাওয়া।

নির্দিষ্ট সমাকলনে সাধারণ ভুলগুলো হলো ভুল ক্রমে বিয়োগ করা, প্রতিস্থাপনের পর পুরোনো ও নতুন সীমা গুলিয়ে ফেলা, এবং চিহ্নযুক্ত ক্ষেত্রফলকে মোট ক্ষেত্রফল হিসেবে পড়া। আরেকটি ফাঁদ হলো ফাংশন অসংজ্ঞায়িত এমন একটি বিন্দুর ওপর দিয়ে সরাসরি সমাকলন করা, যেমন $-1$ থেকে 1 পর্যন্ত $\frac{1}{x^2}$। সেখানে অন্ধভাবে সূত্র প্রয়োগ করলে পাওয়া যায় $-2$, যা একটি ধনাত্মক ফাংশনের জন্য অসম্ভব; আসলে সমাকলনটি অপসারী, কারণ ফাংশনটি 0-তে অসীম হয়ে যায়। মৌলিক উপপাদ্য ব্যবহারের আগে সবসময় যাচাই করুন যে সমাকল্যটি পুরো ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন।

দুটি ধারণা কীভাবে একসঙ্গে মেলে

অনির্দিষ্ট সমাকলনকে হাতিয়ার এবং নির্দিষ্ট সমাকলনকে কাজ হিসেবে ভাবলে সুবিধা হয়। প্রতি-অন্তরজ খুঁজে বের করা কঠিন সৃজনশীল ধাপ; একবার পেলে প্রতিটি ব্যবধিতে ওই ফাংশনের প্রতিটি নির্দিষ্ট সমাকলন বিয়োগ করেই পাওয়া যায়। এ কারণেই পাঠ্যবই অনির্দিষ্ট সমাকলনের কৌশলে এত সময় দেয়, এবং একটি ভালো প্রতি-অন্তরজ একসঙ্গে ক্ষেত্রফল, দূরত্ব ও সঞ্চয়ের একগুচ্ছ প্রশ্নের উত্তর দিতে পারে।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন