ধারার অভিসৃতি পরীক্ষা এবং বাছাইয়ের একটি কৌশল

ধারা, আংশিক যোগফল ও অভিসৃতি

একটি অসীম ধারা হলো অসীম সংখ্যক পদের যোগফল, $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$, লেখা হয় $\sum a_n$। অসীম সংখ্যক সংখ্যা সরাসরি যোগ করা যায় না, তাই প্রথম $N$টি যোগ করে আংশিক যোগফল $S_N$ পাওয়া হয়, এবং দেখা হয় $N$ বাড়লে কী ঘটে। আংশিক যোগফলগুলো যদি একটি সসীম সীমা $S$-এর দিকে যায়, তবে ধারাটি অভিসারী এবং এর যোগফল $S$। অন্যথায় এটি অপসারী।

অসীম সংখ্যক ধনাত্মক সংখ্যা যোগ করেও সসীম মোট পাওয়া যেতে পারে। $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ ধারার আংশিক যোগফল $0.5$, $0.75$, $0.875$ ইত্যাদি, প্রতিটি 1-এর দিকে বাকি দূরত্বের অর্ধেক এগিয়ে যায়, তাই যোগফল ঠিক 1। কল্পনা করুন একটি দেয়ালের দিকে হাঁটছেন, প্রতিটি পদক্ষেপে বাকি দূরত্বের অর্ধেক পার হচ্ছেন: অসীম সংখ্যক পদক্ষেপ নেন, কিন্তু কখনো মূল দূরত্বের বেশি যান না। পুরো বিষয়টি দাঁড়িয়ে আছে আংশিক যোগফলের অনুক্রমে প্রয়োগ করা সীমার ওপর।

গুণোত্তর ধারা

গুণোত্তর ধারায় প্রতিবার একই অনুপাত $r$ দিয়ে গুণ করা হয়। এটি সেই অল্প কয়েক ধরনের ধারার একটি, যাদের যোগফল হুবহু লিখে ফেলা যায়:

$|r| \ge 1$ হলে পদগুলো শূন্যের দিকে ছোট হয় না এবং ধারাটি অপসারী। যেমন, $3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots$-এ $a = 3$ ও $r = \frac{1}{3}$, তাই এর যোগফল $\frac{3}{2/3} = 4.5$। আবৃত দশমিক আসলে ছদ্মবেশী গুণোত্তর ধারা: $0.999\ldots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots = \frac{0.9}{1 - 0.1} = 1$।

অপসৃতি পরীক্ষা

পদ $a_n$ যদি 0-এর দিকে না যায়, তবে ধারাটি অপসারী। এটি সবসময় আপনার প্রথম যাচাই হওয়া উচিত, কারণ এতে কয়েক সেকেন্ড লাগে। যেমন, $\sum\frac{n}{n + 1}$ অপসারী, কারণ এর পদগুলো 1-এর দিকে যায়, ফলে আপনি অনন্তকাল প্রায় 1 করে যোগ করতে থাকেন।

বিপরীত কথাটি মিথ্যা, এবং ধারা নিয়ে এটিই সবচেয়ে প্রচলিত ভুল ধারণা। পদগুলো শূন্যের দিকে গেলেই অভিসৃতি নিশ্চিত হয় না। হারমোনিক ধারা $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots$-এর পদগুলো 0-এর দিকে ছোট হয়, তবু এটি অপসারী। পদগুলোকে দলে ভাগ করুন: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{2}$, পরের চারটি পদ $\frac{1}{2}$-এর বেশি, পরের আটটিও $\frac{1}{2}$-এর বেশি, এভাবে চলে। অসীম সংখ্যক অর্ধেক যোগ করলে মোট সীমাহীন হয়। তবে বৃদ্ধি খুবই ধীর: প্রথম দশ লক্ষ পদের যোগফল মাত্র প্রায় 14.4।

p-ধারা ও সমাকলন পরীক্ষা

p-ধারার আকার $\sum\frac{1}{n^p}$। এর আচরণ কেবল $p$-এর ওপর নির্ভর করে:

তাই $\sum\frac{1}{n^2}$ অভিসারী, এবং বিখ্যাতভাবে এর যোগফল $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449$, অথচ $\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$ অপসারী। প্রমাণে সমাকলন পরীক্ষা ব্যবহৃত হয়: $f$ যদি ধনাত্মক, অবিচ্ছিন্ন ও হ্রাসমান হয় এবং $f(n) = a_n$, তবে $\sum a_n$ ও $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ হয় দুটিই অভিসারী, নয়তো দুটিই অপসারী। যেহেতু $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2} = 1$ সসীম এবং $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}$ অসীম, দুটি মূল ক্ষেত্র এখান থেকেই আসে। এই অপ্রকৃত সমাকলনগুলো সমাধান করা হয়েছে নির্দিষ্ট বনাম অনির্দিষ্ট সমাকলন নিবন্ধে।

তুলনা পরীক্ষা

তুলনা পরীক্ষা একটি ধারাকে ইতিমধ্যে জানা কোনো ধারার সঙ্গে, সাধারণত গুণোত্তর বা p-ধারার সঙ্গে, সম্পর্কিত করে সিদ্ধান্ত দেয়। ধনাত্মক পদের ধারার জন্য:

• সরাসরি তুলনা: যদি $0 \le a_n \le b_n$ এবং $\sum b_n$ অভিসারী হয়, তবে $\sum a_n$-ও অভিসারী। যদি $a_n \ge b_n \ge 0$ এবং $\sum b_n$ অপসারী হয়, তবে $\sum a_n$-ও অপসারী।
• সীমা তুলনা: $\lim\frac{a_n}{b_n}$ যদি একটি ধনাত্মক সসীম সংখ্যা হয়, তবে দুটি ধারা একই আচরণ করে।

তুলনার ধারা বাছতে লব ও হর উভয়েই কেবল $n$-এর সর্বোচ্চ ঘাতটি রাখুন। যা বাকি থাকে তা বলে দেয় কোন p-ধারা বা গুণোত্তর ধারার সঙ্গে তুলনা করতে হবে।

অনুপাত ও মূল পরীক্ষা

অনুপাত পরীক্ষা দেখে প্রতিটি পদ তার আগের পদের তুলনায় কেমন। ধরুন $L = \lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$। $L < 1$ হলে ধারাটি পরম অভিসারী, $L > 1$ হলে অপসারী, এবং $L = 1$ হলে পরীক্ষাটি কোনো তথ্য দেয় না। ফ্যাক্টরিয়াল বা $2^n$-এর মতো ঘাতযুক্ত ধারার জন্য এটিই স্বাভাবিক পছন্দ।

মূল পরীক্ষা একই সিদ্ধান্তসহ $L = \lim\sqrt[n]{|a_n|}$ ব্যবহার করে, এবং $n$ ঘাতে উন্নীত পদের জন্য উপযুক্ত। $\sum\left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n$-এর ক্ষেত্রে $n$-তম মূল $\frac{n}{2n + 1} \to \frac{1}{2}$, তাই ধারাটি অভিসারী।

একান্তর ধারা

একান্তর ধারায় প্রতিটি পদে চিহ্ন বদলায়। একান্তর ধারা পরীক্ষা বলে, পদগুলোর পরম মান যদি কমতে থাকে এবং 0-এর দিকে যায়, তবে ধারাটি অভিসারী। তাই একান্তর হারমোনিক ধারা $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$ অভিসারী, এবং এর যোগফল $\ln 2 \approx 0.6931$।

একটি বাড়তি সুবিধাও আছে: যেকোনো পদে থামার পর ত্রুটি প্রথম বাদ পড়া পদের চেয়ে বড় নয়। তাই একান্তর হারমোনিক ধারা 99টি পদের পর থামালে $\ln 2$-এর মান $\frac{1}{100}$-এর মধ্যে পাওয়া যায়।

$\sum|a_n|$ অভিসারী হলে ধারাটি পরম অভিসারী, আর কেবল পরস্পর বাতিল হওয়া চিহ্নের কারণে অভিসারী হলে শর্তসাপেক্ষে অভিসারী। একান্তর হারমোনিক ধারা শর্তসাপেক্ষে অভিসারী, কারণ চিহ্ন বাদ দিলে এটি অপসারী হারমোনিক ধারা। পরম অভিসৃতি বেশি শক্তিশালী বৈশিষ্ট্য: পরম অভিসারী ধারার পদগুলো পুনর্বিন্যাস করলে যোগফল কখনো বদলায় না, অথচ শর্তসাপেক্ষে অভিসারী ধারাকে পুনর্বিন্যাস করে যেকোনো পছন্দের সংখ্যায় যোগফল আনা যায়।

পরীক্ষা বাছাইয়ের একটি কৌশল

1. পদগুলো কি 0-এর দিকে যায়? না গেলে ধারাটি অপসারী।
2. এটি কি গুণোত্তর ধারা বা p-ধারা? জানা নিয়মটি প্রয়োগ করুন।
3. এতে কি ফ্যাক্টরিয়াল বা $3^n$-এর মতো $n$-তম ঘাত আছে? অনুপাত পরীক্ষা ব্যবহার করুন।
4. পুরো পদটি কি $n$ ঘাতে উন্নীত? মূল পরীক্ষা ব্যবহার করুন।
5. এটি কি $n$-এর একটি মূলদ ফাংশন বা সে রকম কিছু? একটি p-ধারার সঙ্গে সীমা তুলনা করুন।
6. চিহ্নগুলো কি একান্তর? একান্তর ধারা পরীক্ষা ব্যবহার করুন, তারপর পরম অভিসৃতি যাচাই করুন।
7. পদটি কি এমন ফাংশন যা সহজে সমাকলন করা যায়? সমাকলন পরীক্ষা বিবেচনা করুন।

ধারার অভিসৃতি ক্যালকুলেটর এই পরীক্ষাগুলো প্রয়োগ করে, কোনটি প্রশ্নের মীমাংসা করে তা জানায় এবং যোগফলের আসন্ন মান দেয়। যেসব ঘাত ধারার পদে $x$ থাকে সেগুলোও একইভাবে সামলানো হয়: অনুপাত পরীক্ষা অভিসৃতির ব্যাসার্ধ দেয়, আর প্রান্তবিন্দুগুলো আলাদাভাবে যাচাই করা হয়, এভাবেই আমাদের টেইলর ধারার নির্দেশিকার ব্যবধিগুলো পাওয়া যায়।

দূরবীন ধারা ও অনুশীলনী

দূরবীন ধারা এমন ধারা যার আংশিক যোগফল গুটিয়ে যায়, কারণ পাশাপাশি পদগুলো পরস্পরকে বাতিল করে। $\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ লিখলে দেখা যায় আংশিক যোগফল $S_N$ হলো $1 - \frac{1}{N + 1}$, যা 1-এর দিকে যায়। প্রায়ই আংশিক ভগ্নাংশের সাহায্যে দূরবীন প্যাটার্ন চিনতে পারলে কেবল হ্যাঁ বা না নয়, হুবহু যোগফল পাওয়া যায়।

উত্তর দেখার আগে এই ধারাগুলো দিয়ে নিজেকে যাচাই করুন: $\sum\frac{5}{4^n}$ এক-চতুর্থাংশ অনুপাতের গুণোত্তর ধারা এবং অভিসারী; $\sum\frac{n^2}{n^2 + 1}$ অপসৃতি পরীক্ষায় অপসারী, কারণ এর পদগুলো 1-এর দিকে যায়; $\sum\frac{1}{n^{1.01}}$ $p > 1$ সহ একটি p-ধারা হিসেবে অভিসারী; $\sum\frac{3^n}{n!}$ অনুপাত পরীক্ষায় অভিসারী; এবং $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ শর্তসাপেক্ষে অভিসারী, কারণ একান্তর ধারা পরীক্ষা খাটে কিন্তু পরম মানের ধারাটি একটি অপসারী p-ধারা।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন