টেইলর ধারা ক্যালকুলেটর

সহগগুলো কোথা থেকে আসে

ধরুন একটি বহুপদী $c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \cdots$-কে $a$-তে $f$-এর সঙ্গে মিলতে হবে। $x = a$ বসালে $c_0$ ছাড়া সব পদ মুছে যায়, তাই $c_0 = f(a)$। একবার অন্তরীকরণ করে $x = a$ বসালে থাকে $c_1 = f'(a)$। দুবার অন্তরীকরণে থাকে $2c_2 = f''(a)$, আর সাধারণভাবে $k!\,c_k = f^{(k)}(a)$।

পুরো প্রতিপাদন এটুকুই, আর এটি ফ্যাক্টোরিয়ালের ব্যাখ্যা দেয়: $(x - a)^k$-এর $k$ বার অন্তরীকরণে যে ধ্রুবকগুলো জমে, ফ্যাক্টোরিয়াল সেগুলো বাতিল করে। ক্যালকুলেটর এটি প্রতিটি $k$-এর জন্য $f^{(k)}(a)$ ও $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$-এর সারণি হিসেবে দেখায়, যা হাতে করলে আপনি ঠিক এই সারণিই বানাতেন।

প্রচলিত ধারাগুলোর ধরন

0-এর সাপেক্ষে $\sin x$-এর অন্তরজগুলো $\sin, \cos, -\sin, -\cos$ চক্রে ঘোরে, যারা 0-তে মান নেয় $0, 1, 0, -1$। প্রতিটি জোড় ঘাতের সহগ শূন্য, এবং 7 ক্রমের বহুপদী হলো $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040}$। কোসাইন উল্টো জোড় ঘাতগুলো দেয়: ক্রম 4 পর্যন্ত এটি $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$।

1-এর সাপেক্ষে $\ln x$-এর $k$-তম অন্তরজ $(-1)^{k+1}(k-1)!/x^k$, তাই সহগগুলো $\pm\frac1k$ এবং ধারাটি $(x - 1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots$। এই ধরনগুলো চিনলে অন্তরজ নির্ণয় না করেই অনেক ধারা লিখে ফেলা যায়, এবং সেগুলোতে প্রতিস্থাপনও করা যায়, যেমন $e^x$-এর ধারায় $x$-এর জায়গায় $-x^2$ বসানো।

আসন্নীকরণ কতটা নির্ভুল?

টেইলরের উপপাদ্য ত্রুটির সীমা বেঁধে দেয়। অবশেষ $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$ সমান $\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$, যেখানে $c$ হলো $a$ ও $x$-এর মধ্যবর্তী কোনো মান। দুটি জিনিস একে ছোট করে: কেন্দ্রের কাছে থাকা, যাতে $(x - a)^{n+1}$ অতি ক্ষুদ্র হয়, এবং হরের ফ্যাক্টোরিয়াল, যা শেষ পর্যন্ত যেকোনো ঘাতকে হারিয়ে দেয়।

বর্গমূলের উদাহরণটি প্রথম প্রভাবটি দেখায়। 4-এর সাপেক্ষে $\sqrt{x}$-এর 3 ক্রমের বহুপদী হলো $2 + \frac{x-4}{4} - \frac{(x-4)^2}{64} + \frac{(x-4)^3}{512}$। $x = 4.1$-এ এটি দেয় প্রায় 2.024845703, যেখানে প্রকৃত মান 2.024845673, ত্রুটি $3\times10^{-8}$-এর কাছাকাছি, কারণ $0.1^4$ এমনিতেই খুব ছোট।

কেন্দ্র থেকে দূরে ছবিটা বদলে যায়। $\frac{1}{1-x}$-এর ক্ষেত্রে বহুপদীগুলো $x = 0.1$-এ ভালো মেলে কিন্তু $x = 2$-এ অকেজো, কারণ ধারাটি কেবল $|x| < 1$-এর জন্য অভিসারী। $x = 2$-এ 5 ক্রমের বহুপদী দেয় 63, অথচ ফাংশনের মান $-1$, অর্থাৎ ত্রুটি 64, যা প্রতিটি বাড়তি পদের সঙ্গে বাড়ে। ক্যালকুলেটরের ত্রুটি প্রতিবেদন এটি দৃশ্যমান করে: একই ফাংশন ও ক্রম একটি কাছের ও একটি দূরের বিন্দুতে চেষ্টা করে তুলনা করুন।

কেন্দ্র বাছাই

এমন একটি কেন্দ্র বাছুন যেখানে ফাংশন ও তার অন্তরজগুলোর মান সহজে বের করা যায় এবং যা আসন্নীকরণ দরকার এমন জায়গার কাছে। 4-এর সাপেক্ষে $\sqrt{x}$-এর বিস্তার স্বাভাবিক, কারণ $\sqrt4 = 2$ নির্ভুলভাবে। 0-এর সাপেক্ষে $\ln x$-এর বিস্তার অসম্ভব, কারণ সেখানে ফাংশনটি অসংজ্ঞায়িত, আর 0-এর সাপেক্ষে $|x|$-এর বিস্তার ব্যর্থ হয়, কারণ সেই বিন্দুতে এর অন্তরজ নেই; ক্যালকুলেটর অর্থহীন বহুপদী না বানিয়ে এমন ক্ষেত্রগুলো ব্যাখ্যা করে।

ব্যবহারিক ক্ষেত্রে টেইলর বহুপদী

ছোট কোণের আসন্নীকরণ $\sin\theta \approx \theta$ আসলে সাইনের 1 ক্রমের ম্যাকলরিন বহুপদী, এবং প্রায় 14 ডিগ্রির কম কোণের জন্য এটি 1%-এর চেয়েও বেশি নির্ভুল। দোলকের পর্যায়কালের সূত্র, আলোকবিজ্ঞানের প্যারাক্সিয়াল আসন্নীকরণ এবং রৈখিক স্প্রিং নিয়ম, সবই আসে টেইলর বিস্তারের কেবল প্রথম একটি বা দুটি পদ রেখে।

টেইলর বহুপদী কঠিন সমস্যাকেও সহজ করে দেয়। $\cos x$-এর জায়গায় $1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$ বসালেই $\frac{1 - \cos x}{x^2}$-এর মতো সীমা স্পষ্ট হয়ে যায়, আর $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$-এর মতো প্রাথমিক প্রতি-অন্তরজহীন সমাকলনের আসন্ন মান বের করা যায় একটি বহুপদীর পদে পদে সমাকলন করে।