অব্যক্ত অন্তরীকরণ ক্যালকুলেটর: সম্পূর্ণ ধাপসহ dy/dx

অব্যক্ত অন্তরীকরণ ক্যালকুলেটর সম্পর্কে

অনেক বক্ররেখাকে সুন্দরভাবে $y = f(x)$ আকারে লেখা যায় না। $x^2 + y^2 = 25$ -এর মতো একটি বৃত্ত উল্লম্ব রেখা পরীক্ষায় উতরায় না, আর দেকার্তের ফোলিয়াম $x^3 + y^3 = 6xy$ -এর মতো বক্ররেখার জন্য $y$ -এর কোনো সুবিধাজনক সূত্রই নেই। তবু প্রায় প্রতিটি বিন্দুতে এদের ঢাল বিদ্যমান, আর অব্যক্ত অন্তরীকরণ হলো সেই কৌশল যা আগে $y$ -এর জন্য সমাধান না করেই সেগুলো নির্ণয় করে।

এই ক্যালকুলেটর পদ্ধতিটি ঠিক যেভাবে শেখানো হয় সেভাবেই প্রয়োগ করে। এটি $y$ -কে $x$ -এর একটি অজানা ফাংশন ধরে, আপনার সমীকরণের দুই পক্ষের $x$ -এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে, এবং শৃঙ্খল নিয়মের মাধ্যমে $y$ -যুক্ত প্রতিটি পদে $y'$ উৎপাদক জুড়ে দেয়। তারপর $y'$ -যুক্ত পদগুলো এক পক্ষে জড়ো করে, $y'$ উৎপাদক হিসেবে বের করে ভাগ করে, ফলে $x$ ও $y$ উভয়ের মাধ্যমে $\frac{dy}{dx}$ -এর সূত্র পাওয়া যায়।

বক্ররেখার ওপর একটি বিন্দু দিলে ক্যালকুলেটর তা বসিয়ে সংখ্যাগত ঢাল দেয় এবং সেখানে স্পর্শকের সমীকরণ লেখে। চূড়ান্ত সূত্রটি আংশিক অন্তরজ দিয়ে পূর্বাভাসিত ফল $-\frac{F_x}{F_y}$ -এর সঙ্গে তুলনা করে স্বাধীনভাবে যাচাই করা হয়, তাই নিজের কাজে তোলার আগেই উত্তরটির ওপর ভরসা করতে পারেন।

অব্যক্ত অন্তরীকরণ কী?

$x^2 + y^2 = 25$ -এর মতো সমীকরণ $y$ -কে অব্যক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করে: এটি সরাসরি $y$ না দিয়ে $x$ ও $y$ -এর মধ্যে একটি সম্পর্ক বর্ণনা করে। বক্ররেখার বেশিরভাগ বিন্দুর কাছে $y$ তবুও $x$ -এর একটি ফাংশনের মতো আচরণ করে, যদিও সেই ফাংশনটি লিখে ফেলা না-ও যেতে পারে। অব্যক্ত অন্তরীকরণ সম্পর্কটি থেকেই এর অন্তরজ বের করে।

মূল কথাটি হলো শৃঙ্খল নিয়ম। $y$ যদি $x$ -এর ওপর নির্ভর করে, তবে $x$ -এর সাপেক্ষে $y^2$ -এর অন্তরজ $2y$ নয়, বরং $2y \cdot \frac{dy}{dx}$ । $\sin y$ , $e^y$ বা $y$ -এর যেকোনো রাশির ক্ষেত্রেও একই কথা: স্বাভাবিকভাবে অন্তরীকরণ করুন, তারপর $y'$ দিয়ে গুণ করুন। কেবল $x$ -যুক্ত পদের স্বাভাবিক অন্তরীকরণ হয়, আর ধ্রুবকগুলো মুছে যায়।

ফলে সাধারণত $x$ ও $y$ দুটিই থাকে, যেমন $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ । এটি প্রত্যাশিত ও সঠিক। একটি $x$ -মান বক্ররেখার একাধিক বিন্দুর সঙ্গে মিলতে পারে, আর প্রতিটিতে ঢাল আলাদা, তাই আপনি কোন বিন্দু বোঝাচ্ছেন তা জানতে সূত্রটির $y$ -স্থানাঙ্ক দরকার।

অব্যক্ত অন্তরীকরণ ক্যালকুলেটর কীভাবে ব্যবহার করবেন

একটি সমান চিহ্নসহ x ও y-যুক্ত সমীকরণ লিখুন, যেমন x^2 + y^2 = 25 বা x^3 + y^3 = 6 x y।
অক্ষরের মাঝে গুণের জন্য ফাঁকা স্থান বা * ব্যবহার করুন, অর্থাৎ x ও y-এর গুণফলের জন্য x y বা x*y।
চাইলে বক্ররেখার ওপর একটি বিন্দু দিন, যেমন x = 3, y = 4, যাতে সেখানে ঢাল ও স্পর্শক পাওয়া যায়।
প্রতিটি পক্ষের অন্তরীকরণ, জড়ো করা y′-পদ এবং চূড়ান্ত সূত্র দেখতে “dy/dx নির্ণয় করুন” চাপুন।
বিন্দু দিয়ে থাকলে শেষ ধাপগুলো থেকে ঢাল ও স্পর্শকের সমীকরণ পড়ে নিন।

সূত্র

y-পদের জন্য শৃঙ্খল নিয়ম

\frac{d}{dx}\big[g(y)\big] = g'(y)\,\frac{dy}{dx}

y-সহ গুণফলের নিয়ম

\frac{d}{dx}\big[xy\big] = y + x\,\frac{dy}{dx}

আংশিক অন্তরজ থেকে সংক্ষিপ্ত পথ

F(x,y) = 0 \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}

(x₀, y₀)-এ স্পর্শক

y - y_0 = m\,(x - x_0),\quad m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_0,\,y_0)}

সমাধান করা উদাহরণ: (3, 4) বিন্দুতে x² + y² = 25

নিচের সমাধান করা উদাহরণটি $(3, 4)$ বিন্দুতে বৃত্ত $x^2 + y^2 = 25$ -এর জন্য সরাসরি নির্ণীত। দুই পক্ষের অন্তরীকরণে পাওয়া যায় $2x + 2y\,y' = 0$ ; $2y\,y'$ পদটি আসে শৃঙ্খল নিয়ম থেকে। $2x$ -কে অন্য পক্ষে সরিয়ে $2y$ দিয়ে ভাগ করলে পাওয়া যায় $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ ।

$(3, 4)$ -এ ঢাল $-\frac34 = -0.75$ , তাই স্পর্শক $y - 4 = -0.75(x - 3)$ । জ্যামিতিও তা নিশ্চিত করে: $(3, 4)$ পর্যন্ত ব্যাসার্ধের ঢাল $\frac43$ , আর বৃত্তের স্পর্শক ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব, তাই এর ঢাল অবশ্যই ঋণাত্মক অন্যোন্যক, $-\frac34$ ।

নিচের সমাধানটি সেই একই ইঞ্জিন তৈরি করেছে, যা ওপরের ক্যালকুলেটরটি চালায়।

চূড়ান্ত উত্তর

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y},\quad \text{বিন্দুতে ঢাল} = -0.75

আমরা আপনার সমস্যাটি যেভাবে পড়েছি

অব্যক্তভাবে সংজ্ঞায়িত একটি বক্ররেখার জন্য dy/dx নির্ণয় করুন, y-কে x-এর একটি অন্তরীকরণযোগ্য ফাংশন ধরে।

{x}^{2}+{y}^{2} = 25

ধাপে ধাপে সমাধান

y-কে x-এর ফাংশন ধরে দুই পক্ষের x-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করুন
y-যুক্ত প্রতিটি পদে শৃঙ্খল নিয়ম লাগে: d/dx[g(y)] = g′(y)·y′।
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+{y}^{2}\right] = \frac{d}{dx}\left[25\right]$
প্রতিটি পক্ষের অন্তরীকরণের ফল
$2x + \left(2y\right) y' = 0$
y′-পদগুলো এক পক্ষে জড়ো করুন
সব y′-পদ বামে এবং বাকি সব ডানে সরান, তারপর y′ উৎপাদক হিসেবে বের করুন।
$\left(2y\right) y' = -\left(2x\right)$
y′-কে আলাদা করতে ভাগ করুন
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
x = 3, y = 4 বসান
$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(3,\,4)} = -0.75$
বিন্দুতে স্পর্শক
$y - 4 = -0.75\,(x - 3)$

ব্যবহৃত সূত্র

y-এর জন্য শৃঙ্খল নিয়ম
$\frac{d}{dx}\,g(y) = g'(y)\,\frac{dy}{dx}$
অব্যক্ত ফাংশনের সূত্র
$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y},\quad F(x,y) = 0$

দুই পক্ষের অন্তরীকরণে সমীকরণের ভারসাম্য বজায় থাকে; y যেহেতু x-এর ওপর নির্ভর করে, প্রতিটি y-পদ একটি y′ উৎপাদক তৈরি করে, যার জন্য পরে বীজগাণিতিকভাবে সমাধান করা হয়। ফলে সাধারণত x ও y দুটিই থাকে।

যাচাই

একটি স্বাধীন প্রতীকী অন্তরীকারকের −F_x / F_y-এর সঙ্গে কয়েকটি নমুনা বিন্দুতে মেলে ✓
(3, 4) বক্ররেখার ওপর আছে ✓

বিস্তারিত ব্যাখ্যা

চার ধাপে পদ্ধতি

প্রথমত, দুই পক্ষের প্রতিটি পদের $x$ -এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করুন। দ্বিতীয়ত, যে পদে $y$ আছে তার অন্তরজকে $y'$ দিয়ে গুণ করুন; যেখানে $x$ ও $y$ গুণ হয়েছে সেখানে গুণফলের নিয়ম ব্যবহার করুন। তৃতীয়ত, $y'$ -যুক্ত সব পদ এক পক্ষে এবং বাকি সব অন্য পক্ষে সরান। চতুর্থত, $y'$ উৎপাদক হিসেবে বের করে অবশিষ্ট অংশ দিয়ে ভাগ করুন।

$x^3 + y^3 = 6xy$ -এ প্রয়োগ করলে প্রথম দুই ধাপে পাওয়া যায় $3x^2 + 3y^2 y' = 6y + 6x y'$ , কারণ ডান পক্ষটি একটি গুণফল। পদগুলো জড়ো করলে আসে $(3y^2 - 6x)\,y' = 6y - 3x^2$ , তাই $\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}$ । ক্যালকুলেটর ঠিক এই ক্রমটিই দেখায়।

শৃঙ্খল নিয়ম কেন y′ তৈরি করে

$y$ -কে ভাবুন $y(x)$ হিসেবে, এমন একটি ফাংশন যা আপনি দেখতে পান না। তখন $y^3$ আসলে একটি যৌগিক ফাংশন, $y(x)$ -এর ঘন, এবং শৃঙ্খল নিয়ম বলে এর অন্তরজ $3y(x)^2 \cdot y'(x)$ । অব্যক্ত অন্তরীকরণ আর কিছুই নয়, অজানা সূত্রের একটি ভেতরের ফাংশনে প্রয়োগ করা সাধারণ শৃঙ্খল নিয়ম।

এ কারণেই $\frac{d}{dx}[\sin y] = \cos y \cdot y'$ এবং $\frac{d}{dx}[e^y] = e^y\,y'$ । সমীকরণ $\sin y = x$ -এর অন্তরীকরণে পাওয়া যায় $\cos y\,y' = 1$ , তাই $y' = \frac{1}{\cos y}$ । মুখ্য শাখায় এই বক্ররেখাটি $y = \arcsin x$ হওয়ায়, $\cos y$ -কে $\sqrt{1 - x^2}$ হিসেবে লিখলেই ফলটি বিপরীত সাইনের অন্তরজের একটি দ্রুত প্রমাণ হয়ে ওঠে।

ঢাল, স্পর্শক ও বিশেষ বিন্দু

সূত্রে একটি বিন্দু বসালে সেখানকার ঢাল পাওয়া যায়, তবে কেবল বিন্দুটি সত্যিই বক্ররেখার ওপর থাকলে; তাই আগে দেখে নেওয়া ভালো যে এটি মূল সমীকরণ সিদ্ধ করে। ঢাল $m$ ও বিন্দু $(x_0, y_0)$ নিয়ে স্পর্শক হলো $y - y_0 = m(x - x_0)$ ।

সূত্রটি বিশেষ বৈশিষ্ট্যও খুঁজে দেয়। অনুভূমিক স্পর্শক থাকে যেখানে $\frac{dy}{dx}$ -এর লব শূন্য কিন্তু হর নয়। উল্লম্ব স্পর্শক থাকে যেখানে হর শূন্য কিন্তু লব নয়; বৃত্তে তা ঘটে $(\pm 5, 0)$ -এ, যেখানে $y = 0$ । লব ও হর দুটিই শূন্য হলে, যেমন ফোলিয়ামের মূলবিন্দুতে, বক্ররেখা নিজেকে ছেদ করতে পারে এবং ঢাল আলাদাভাবে পরীক্ষা করতে হয়।

আংশিক অন্তরজ দিয়ে সংক্ষিপ্ত পথ

সবকিছু এক পক্ষে সরালে বক্ররেখাটি লেখা যায় $F(x, y) = 0$ আকারে। বহুচলক ক্যালকুলাস তখন দেয় সূত্র $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ , যেখানে $F_x$ ও $F_y$ আংশিক অন্তরজ। $x^2 + xy + y^2 = 7$ -এর জন্য $F_x = 2x + y$ এবং $F_y = x + 2y$ , তাই $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}$ , যা $(1, 2)$ -এ $-0.8$ ।

ক্যালকুলেটর ধাপে ধাপে পাওয়া ফলের স্বাধীন যাচাই হিসেবে এই সূত্র ব্যবহার করে। আপনিও একইভাবে এটি ব্যবহার করতে পারেন: হাতে করা হিসাব ও সংক্ষিপ্ত পথ মিলে গেলে উত্তরের ওপর নিশ্চিন্ত থাকতে পারেন।

কৌশলটির পরবর্তী ব্যবহার: সম্পর্কিত হার

সম্পর্কিত হারের সমস্যার পেছনের চালিকাশক্তি অব্যক্ত অন্তরীকরণ। একটি মই দেয়াল বেয়ে নিচে পিছলে গেলে প্রতি মুহূর্তে এর পাদদেশ ও শীর্ষ $x^2 + y^2 = L^2$ সিদ্ধ করে, এবং দুটি স্থানাঙ্কই সময়ের ওপর নির্ভর করে। $x$ -এর বদলে $t$ -এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করলে পাওয়া যায় $2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$ , যা পাদদেশের বেগকে শীর্ষের বেগের সঙ্গে যুক্ত করে।

ধরনটি এই পাতার ধরনের সঙ্গে হুবহু এক: সম্পর্কটির অন্তরীকরণ করুন, পরিবর্তনশীল প্রতিটি রাশিতে শৃঙ্খল নিয়ম প্রয়োগ করুন, এবং কাঙ্ক্ষিত হারের জন্য সমাধান করুন। লগারিদমীয় অন্তরীকরণও এর ওপর দাঁড়িয়ে, যেখানে $y = x^x$ -এর দুই পক্ষের $\ln$ নিয়ে $\ln y = x \ln x$ -এর অব্যক্ত অন্তরীকরণ করে পাওয়া যায় $y' = x^x(\ln x + 1)$ ।

সাধারণ ভুল

$y^2$ -এর অন্তরজ $2y$ লিখে $y'$ উৎপাদক ভুলে যাওয়া।
মিশ্র পদে গুণফলের নিয়ম বাদ পড়া, ফলে $\frac{d}{dx}[xy]$ -কে শুধু $y'$ বা $xy'$ লেখা।
ডান পক্ষের ধ্রুবককে 0 না ধরে চলকের মতো অন্তরীকরণ করা।
আগ্রহের বিন্দুতে শূন্য এমন রাশি দিয়ে ভাগ করা, যা একটি উল্লম্ব স্পর্শক লুকিয়ে ফেলে।
মূল সমীকরণ সিদ্ধ করে না এমন বিন্দু বসানো।
প্রয়োজন না থাকলেও আগে $y$ -এর জন্য সমাধান করা, যা প্রায়ই চিহ্নের অস্পষ্টতাসহ বর্গমূল তৈরি করে।

পরামর্শ

প্রতিটি $y'$ লেখার সময় বৃত্ত এঁকে বা চিহ্নিত করে রাখুন, যাতে পদ জড়ো করার সময় কোনোটি হারিয়ে না যায়।
গুণফলের নিয়মের পদ কমলে অন্তরীকরণের আগে গুণফলগুলো বিস্তার করুন।
দ্রুত ফল যাচাই করতে $-\frac{F_x}{F_y}$ ব্যবহার করুন।
2 বা 3-এর মতো সাধারণ উৎপাদক কাটাকাটি করে চূড়ান্ত ভগ্নাংশ সরল করুন।
স্পর্শক নির্ণয়ের আগে নিশ্চিত হন যে আপনার বিন্দুটি বক্ররেখার ওপর আছে।
দ্বিতীয় অন্তরজের জন্য $y'$ -এর আবার অব্যক্ত অন্তরীকরণ করুন এবং প্রথম অন্তরজের সূত্রটি বসান।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন

কখন অব্যক্ত অন্তরীকরণ ব্যবহার করব?

যখনই y এমন সমীকরণ দিয়ে x-এর সঙ্গে বাঁধা যা y-এর জন্য সমাধান করা কঠিন বা অসম্ভব, যেমন x³ + y³ = 6xy, অথবা যখন সমাধান করলে বক্ররেখা কয়েকটি শাখায় ভাগ হয়ে যায়, যেমন বৃত্ত ও উপবৃত্তে।

dy/dx-এ x-এর পাশাপাশি y-ও থাকে কেন?

অব্যক্ত বক্ররেখায় একটি x-মান একাধিক বিন্দুর সঙ্গে মিলতে পারে, যার প্রতিটির নিজস্ব ঢাল আছে। সূত্রের y চিহ্নিত করে আপনি কোন বিন্দু বোঝাচ্ছেন। বৃত্তের জন্য −x/y বিন্দু (3, 4)-এ দেয় −0.75 এবং (3, −4)-এ দেয় +0.75।

ঢালের জন্য বিন্দু কীভাবে লিখব?

ঐচ্ছিক ঘরে দুটি স্থানাঙ্কই লিখুন, যেমন x = 3, y = 4। ক্যালকুলেটর সেগুলো dy/dx-এ বসায় এবং বিন্দু-ঢাল আকারে স্পর্শক লেখে।

এটি কি sin y বা e^y-যুক্ত সমীকরণের অন্তরীকরণ করতে পারে?

হ্যাঁ। x ও y-এর যেকোনো অন্তরীকরণযোগ্য রাশি ব্যবহার করা যায়। sin y ও e^y-এর মতো পদ শৃঙ্খল নিয়মের মাধ্যমে y′ উৎপাদক পায়, তাই sin y = x থেকে পাওয়া যায় dy/dx = 1/cos y।

dy/dx-এর হর শূন্য হলে তার অর্থ কী?

এমন বিন্দুতে স্পর্শক উল্লম্ব, যদি লবও শূন্য না হয়। x² + y² = 25-এ এটি ঘটে (5, 0) ও (−5, 0)-এ।

অব্যক্ত অন্তরীকরণ কি আংশিক অন্তরজ ব্যবহারের সমান?

দুটি একই উত্তর দেয়। ধাপে ধাপে পদ্ধতিটি সরাসরি শৃঙ্খল নিয়ম ব্যবহার করে, আর সূত্র dy/dx = −F_x/F_y ব্যবহার করে F(x, y)-এর আংশিক অন্তরজ। ক্যালকুলেটর প্রথমটি দেখায় এবং দ্বিতীয়টি দিয়ে যাচাই করে।

এই ক্যালকুলেটর দিয়ে কি d²y/dx² নির্ণয় করা যায়?

ক্যালকুলেটর প্রথম অন্তরজ দেয়। দ্বিতীয়টির জন্য ভাগফলের নিয়মে dy/dx-এর সূত্রের আবার অন্তরীকরণ করুন, মনে রাখবেন y তখনও x-এর ওপর নির্ভরশীল, এবং যেখানে যেখানে y′ আসে সেখানে প্রথম অন্তরজের রাশিটি বসান।

সমীকরণে কোন অক্ষর ব্যবহার করতে হবে?

সমীকরণটি x ও y-তে লিখতে হবে, যেখানে y নির্ভরশীল চলক। অন্য অক্ষর সমর্থিত নয়, এবং ক্যালকুলেটর সেগুলোর ভূমিকা আন্দাজ না করে তা জানিয়ে দেয়।

অন্তরীকরণের আগে কি y-এর জন্য সমাধান করতে হবে?

না, এবং সাধারণত না করাই ভালো। x² + y² = 25-কে y-এর জন্য সমাধান করলে পাওয়া যায় ±√(25 − x²), অস্বস্তিকর বর্গমূলসহ দুটি আলাদা ফাংশন। মূল সমীকরণের অন্তরীকরণ একসঙ্গে বৃত্তের দুই অর্ধেকই সামলায়।

আপনার dy/dx নির্ণয় করুন

ওপরে x ও y-তে একটি সমীকরণ লিখুন এবং শৃঙ্খল নিয়মের প্রতিটি ধাপসহ অব্যক্ত অন্তরজ দেখুন।

ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন AI ম্যাথ সলভারকে জিজ্ঞাসা করুন

অব্যক্ত অন্তরীকরণ ক্যালকুলেটর