ধাপে ধাপে অব্যক্ত অন্তরীকরণ

ব্যক্ত ও অব্যক্ত সমীকরণ

ব্যক্ত সমীকরণ $y$-কে সরাসরি $x$-এর একটি সূত্র হিসেবে দেয়, যেমন $y = x^2 + 1$। অনেক গুরুত্বপূর্ণ বক্ররেখা বরং অব্যক্তভাবে বর্ণিত হয়, $x$ ও $y$-কে যুক্ত করা একটি সমীকরণ দিয়ে। $x^2 + y^2 = 25$ বৃত্তটি একটি পরিচিত উদাহরণ। এর থেকে $y$ বের করলে দুটি ফাংশন পাওয়া যায়, ওপরের অর্ধেকের জন্য $y = \sqrt{25 - x^2}$ এবং নিচের অর্ধেকের জন্য $y = -\sqrt{25 - x^2}$, আর প্রতিটিকে আলাদাভাবে অন্তরীকরণ করা ঝামেলার।

অন্য কিছু বক্ররেখা থেকে সাধারণ বীজগণিত দিয়ে $y$ একেবারেই বের করা যায় না, যেমন $x^3 + y^3 = 6xy$ বা $e^y + xy = e$। তবু তাদের লেখচিত্রের প্রায় প্রতিটি বিন্দুতে স্পর্শক আছে, আর অব্যক্ত অন্তরীকরণ সেই ঢাল নির্ণয়ের হাতিয়ার। পদ্ধতিটি পুরোপুরি শৃঙ্খল নিয়মের ওপর নির্ভর করে, তাই ওই নিয়মে দুর্বলতা মনে হলে আগে অন্তরজের নিয়মের ব্যাখ্যা ঝালিয়ে নেওয়া ভালো।

চার ধাপে পদ্ধতি

1. সমীকরণের দুই পাশকে $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করুন।
2. $y$ আছে এমন কোনো রাশি অন্তরীকরণ করলেই $\frac{dy}{dx}$ দিয়ে গুণ করুন, কারণ $y$ হলো $x$-এর একটি ফাংশন এবং শৃঙ্খল নিয়ম খাটে।
3. $\frac{dy}{dx}$ আছে এমন সব পদ এক পাশে এবং বাকি সব অন্য পাশে আনুন।
4. $\frac{dy}{dx}$-কে সাধারণ উৎপাদক হিসেবে বের করে ভাগ করে আলাদা করুন।

ধাপ 2-এর পেছনের মূল তথ্য হলো শৃঙ্খল নিয়মের এই অভেদ, যেখানে $f$ যেকোনো অন্তরীকরণযোগ্য ফাংশন:

তাই $\frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx}$, $\frac{d}{dx}\sin y = \cos y\,\frac{dy}{dx}$ এবং $\frac{d}{dx}e^y = e^y\frac{dy}{dx}$। $xy$-এর মতো গুণফলে গুণফলের নিয়মও লাগে: $\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$।

উদাহরণ: বৃত্ত

লক্ষ করুন, অব্যক্ত উত্তরটি একসঙ্গে দুই অর্ধেকের জন্যই কাজ করে: $(3, -4)$-এ ঢাল $+\frac{3}{4}$। সূত্রটি এটাও দেখায় যে স্পর্শক কোথায় অনুভূমিক, যখন $x = 0$, অর্থাৎ $(0, 5)$ ও $(0, -5)$-এ, এবং কোথায় উল্লম্ব, যখন $y = 0$, অর্থাৎ $(5, 0)$ ও $(-5, 0)$-এ। উত্তরে $x$-এর পাশাপাশি $y$-ও আছে, যা অব্যক্ত অন্তরজের ক্ষেত্রে স্বাভাবিক; একটি সংখ্যা পেতে কেবল $x$-এর মান নয়, বক্ররেখার একটি বিন্দু লাগে।

যেসব উদাহরণে y বের করা যায় না

দ্বিতীয় অন্তরজ

$\frac{d^2y}{dx^2}$ নির্ণয় করতে প্রথম অন্তরজকে আবার অব্যক্তভাবে অন্তরীকরণ করুন, তারপর প্রথম অন্তরজটি আবার বসিয়ে দিন। বৃত্তের ক্ষেত্রে $y' = -\frac{x}{y}$ থেকে শুরু করে ভাগফলের নিয়ম ব্যবহার করুন:

শেষ ধাপে সরল করতে মূল সমীকরণ $x^2 + y^2 = 25$ ব্যবহার করা হয়েছে, যা প্রায়ই কাজে দেয়। ফলটি ওপরের অর্ধেকে, যেখানে $y > 0$, ঋণাত্মক, তাই সেখানে বক্ররেখা নিচের দিকে অবতল, এবং নিচের অর্ধেকে ধনাত্মক, যা বৃত্তের ছবির সঙ্গে মেলে।

বিপরীত ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়

বিপরীত ফাংশনের অন্তরজ কোথা থেকে আসে, অব্যক্ত অন্তরীকরণ তা ব্যাখ্যা করে। ধরুন $y = \arctan x$। তাহলে $\tan y = x$। অন্তরীকরণ করলে পাওয়া যায় $\sec^2 y\,\frac{dy}{dx} = 1$, তাই $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$।

$y = \ln x$-কে $e^y = x$ হিসেবে লিখে একই পদ্ধতিতে পাওয়া যায় $e^y\frac{dy}{dx} = 1$, তাই $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$। সাধারণভাবে, বিপরীত ফাংশনের ঢাল হলো সংশ্লিষ্ট বিন্দুতে মূল ঢালের অন্যোন্যক, যেমনটি আমাদের বিপরীত ফাংশন নিবন্ধে বর্ণিত।

সম্পর্কিত হার

চলকগুলো সময়ের ওপর নির্ভর করলে একই ধারণা $x$-এর বদলে $t$-এর সাপেক্ষে কাজ করে। প্রতিটি চলকের নিজস্ব হার থাকে।

সাধারণ ভুল

• $y$ আছে এমন পদ অন্তরীকরণের সময় $\frac{dy}{dx}$ উৎপাদকটি ভুলে যাওয়া।
• গুণফলের নিয়ম ব্যবহার না করে $xy$-কে একটি একক চলক হিসেবে ধরা।
• ডান পাশের ধ্রুবককে চলকের মতো অন্তরীকরণ করা; ধ্রুবকের অন্তরজ 0।
• অন্তরীকরণের আগে সংখ্যা বসানো, যা পরিবর্তনশীল রাশিকে স্থির করে দেয়।
• এমন বিন্দু ব্যবহার করা যা আসলে বক্ররেখার ওপর নেই। সবসময় আগে বিন্দুটি যাচাই করুন।

অব্যক্ত অন্তরীকরণ ক্যালকুলেটর প্রতিটি ধাপ সম্পন্ন করে, অন্তরজের পদগুলো একত্র করে এবং কোনো বিন্দুতে ঢালের মান নির্ণয় করতে পারে। ব্যক্ত ফাংশনের জন্য অন্তরজ ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন।

পদ্ধতিটি কেন বৈধ

অব্যক্ত অন্তরীকরণ ধরে নেয় যে আগ্রহের বিন্দুর কাছে বক্ররেখাটি সত্যিই কোনো অন্তরীকরণযোগ্য ফাংশন $y(x)$-এর লেখচিত্র, যদিও আমরা সেই ফাংশন লিখে ফেলতে পারি না। সমীকরণে এটি বসালে সমীকরণটি $x$-এর একটি অভেদে পরিণত হয়, যা বিন্দুটির কাছের প্রতিটি $x$-এর জন্য সত্য। প্রতিটি $x$-এর জন্য সমান দুটি রাশির অন্তরজও সমান হতে হবে, তাই আমরা দুই পাশ অন্তরীকরণ করতে পারি।

অনুমানটি কেবল বিশেষ বিন্দুতে ব্যর্থ হয়, যেমন যেখানে স্পর্শক উল্লম্ব বা যেখানে বক্ররেখা নিজেকে ছেদ করে। দেকার্তের ফোলিয়াম মূলবিন্দুতে নিজেকে ছেদ করে, এবং সেখানে অন্তরজের সূত্র দেয় $\frac{0}{0}$। এমন বিন্দুতে বক্ররেখাটি স্থানীয়ভাবে একটিমাত্র ফাংশনের লেখচিত্র নয়, তাই এর কোনো একক ঢাল নেই। বহুচলক ক্যালকুলাসে আসা অব্যক্ত ফাংশন উপপাদ্য ঠিক কখন অনুমানটি নিরাপদ তা বলে দেয়।

আংশিক অন্তরজ দিয়ে একটি সংক্ষিপ্ত পথ

বক্ররেখাকে $F(x, y) = 0$ আকারে লিখলে একই যুক্তি থেকে ঢালের একটি সংক্ষিপ্ত সূত্র পাওয়া যায়:

এখানে $F_x$ ও $F_y$ হলো আংশিক অন্তরজ, যা অন্য চলকটিকে ধ্রুবক ধরে একটি চলকের সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাওয়া যায়। বৃত্তের ক্ষেত্রে $F = x^2 + y^2 - 25$ থেকে $F_x = 2x$ এবং $F_y = 2y$, তাই ঢাল আগের মতোই $-\frac{x}{y}$। আংশিক অন্তরজ ক্যালকুলেটর আপনার জন্য $F_x$ ও $F_y$ হিসাব করে।

উত্তরসহ অনুশীলনী

1. $x^2 - y^2 = 9$। উত্তর: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$।
2. $xy = 12$, $(3, 4)$-এ ঢাল। উত্তর: $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$, যা সেখানে $-\frac{4}{3}$।
3. $y^3 + y = x$। উত্তর: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2 + 1}$, যা সবসময় ধনাত্মক, তাই বক্ররেখাটি সবসময় ঊর্ধ্বমুখী।
4. $\cos y = x$। উত্তর: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$, যা থেকে বিপরীত কোসাইনের অন্তরজ পাওয়া যায়।

প্রতিটির ক্ষেত্রে বক্ররেখার একটি বিন্দু বেছে নিয়ে, কাছের একটি বিন্দু থেকে সাংখ্যিকভাবে ঢালের আসন্ন মান বের করে এবং তুলনা করে আপনার উত্তর যাচাই করুন।

অব্যক্ত বক্ররেখা কোথায় দেখা যায়

বাস্তবে অব্যক্ত সমীকরণ খুবই প্রচলিত। উপবৃত্ত ও পরাবৃত্তের মতো কণিক স্বাভাবিকভাবেই অব্যক্ত আকারে লেখা হয়। অর্থনীতিতে একটি নিরপেক্ষ রেখা দুটি পণ্যের সেই পরিমাণগুলোকে যুক্ত করে যা একজন ভোক্তাকে একই সন্তুষ্টি দেয়, এবং অব্যক্তভাবে নির্ণীত এর ঢাল হলো সেই হার, যে হারে ভোক্তা একটি পণ্যের বদলে অন্যটি নেবেন। তাপগতিবিদ্যায় অবস্থার সমীকরণ চাপ, আয়তন ও তাপমাত্রাকে যুক্ত করে, এবং অব্যক্ত অন্তরীকরণ দেখায় একটি বদলালে অন্যটি কীভাবে বদলায়। যখনই দুটি রাশি একটি সূত্রের বদলে একটি নিয়মে বাঁধা থাকে, এই পদ্ধতি তাদের পরিবর্তনের হার দেয়।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন