সমাধানকৃত উদাহরণসহ অন্তরজের নিয়মের ব্যাখ্যা

সীমার বদলে নিয়ম কেন

অন্তরজকে একটি সীমা হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$, এবং অন্তরজ কী নিবন্ধটি সরল ফাংশনের জন্য এই সংজ্ঞা ধাপে ধাপে প্রয়োগ করে দেখায়। প্রতিটি সমস্যায় এভাবে কাজ করা কষ্টকর হতো। তাই গণিতবিদেরা সাধারণ নিয়মগুলো একবার প্রমাণ করেছেন, এবং সেই নিয়মগুলো এখন বহুপদী, মূল, সূচকীয়, লগারিদমীয়, ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং তাদের যেকোনো সমন্বয় সামলায়।

নিয়মগুলোকে দুটি দলে ভাবুন: মৌলিক গঠন-এককগুলোর অন্তরজ, এবং যোগফল, গুণফল, ভাগফল ও সংযোজনের মাধ্যমে এককগুলো জোড়ার নিয়ম।

মৌলিক নিয়ম: ধ্রুবক, ঘাত ও যোগফল

ধ্রুবক কখনো বদলায় না, তাই তার পরিবর্তনের হার শূন্য। ঘাতের নিয়ম কেবল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নয়, যেকোনো বাস্তব সূচক $n$-এর জন্য কাজ করে, যা একে প্রথম দেখায় যতটা মনে হয় তার চেয়ে অনেক বেশি কাজের করে তোলে। ধ্রুবক গুণিতক সরাসরি বাইরে চলে আসে, এবং যোগফলের অন্তরজ হলো অন্তরজগুলোর যোগফল।

অন্তরীকরণের আগে মূল এবং হরে $x$ থাকা ভগ্নাংশকে ঘাত হিসেবে লিখে নিন। ঘাতের নিয়মের বেশিরভাগ ভুল এই ধাপ বাদ দেওয়া থেকেই আসে।

সূচকীয়, লগারিদমীয় ও ত্রিকোণমিতিক ফাংশন

এই অন্তরজগুলো মুখস্থ রাখা দরকার, কারণ প্রতিটি বড় সমস্যা এগুলো দিয়েই গঠিত:

$e^x$ ফাংশনটি নিজেই নিজের অন্তরজ, আর এ কারণেই ক্যালকুলাসজুড়ে $e$ দেখা যায়। ত্রিকোণমিতিক নিয়মগুলোতে কোণ রেডিয়ানে হতে হবে; ডিগ্রিতে একটি অতিরিক্ত উৎপাদক $\frac{\pi}{180}$ চলে আসে। বাকি ত্রিকোণমিতিক অন্তরজগুলো হলো $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$, $\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x$ এবং $\frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x$, যার সবগুলো নিচের ভাগফলের নিয়ম থেকে আসে।

গুণফলের নিয়ম

গুণফলের অন্তরজ অন্তরজগুলোর গুণফল নয়। কেন, তা বুঝতে $f$ ও $g$ বাহুবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র কল্পনা করুন। দুই বাহুই সামান্য বাড়লে ক্ষেত্রফলে এক বাহু বরাবর $f' \cdot g$ মাপের একটি ফালি এবং অন্য বাহু বরাবর $f \cdot g'$ মাপের একটি ফালি যোগ হয়, সঙ্গে একটি ক্ষুদ্র কোণা, যা সীমায় মিলিয়ে যায়।

ভাগফলের নিয়ম

বিয়োগের কারণে এখানে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ। মনে রাখার একটি প্রচলিত উপায়: নিচ গুণ ওপরের অন্তরজ, বিয়োগ ওপর গুণ নিচের অন্তরজ, সবকিছু ভাগ নিচের বর্গ; এখানে ওপর মানে লব আর নিচ মানে হর।

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$-এ এটি প্রয়োগ করলে পাওয়া যায় $\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x$, যা ওপরের সারণিকে নিশ্চিত করে।

শৃঙ্খল নিয়ম

শৃঙ্খল নিয়ম সংযোজিত ফাংশন, অর্থাৎ ফাংশনের ভেতরে ফাংশন, সামলায়। যদি $y = f(g(x))$ হয়, তবে:

কথায়: ভেতরের অংশ অপরিবর্তিত রেখে বাইরের ফাংশনকে অন্তরীকরণ করুন, তারপর ভেতরের অংশের অন্তরজ দিয়ে গুণ করুন। লাইবনিৎসের প্রতীকে, $u = g(x)$ ধরে, এটি দাঁড়ায় $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$। হারগুলো গুণ হয়: $u$ যদি $x$-এর চেয়ে 3 গুণ দ্রুত বদলায় এবং $y$ যদি $u$-এর চেয়ে 2 গুণ দ্রুত বদলায়, তবে $y$ বদলায় $x$-এর চেয়ে 6 গুণ দ্রুত। ভেতরের ও বাইরের ফাংশন চেনার দক্ষতা অনুশীলন করা হয় ফাংশন সংযোজনে।

নিয়মগুলো একসঙ্গে ব্যবহার

বাস্তব সমস্যায় নিয়ম মিশে থাকে। বাইরে থেকে ভেতরের দিকে কাজ করুন: রাশিটির শেষ প্রক্রিয়া কোনটি তা ঠিক করুন, তার নিয়ম প্রয়োগ করুন, তারপর প্রতিটি অংশ সামলান।

যখন $y$-কে একেবারেই আলাদা করা যায় না, যেমন $x^2 + y^2 = 25$-এ, তখনও শৃঙ্খল নিয়ম অব্যক্ত অন্তরীকরণের মাধ্যমে কাজ করে।

সাধারণ ভুল

• শৃঙ্খল নিয়মে ভেতরের অন্তরজ ভুলে যাওয়া, যেমন $\sin(x^2)$-এর অন্তরজ হিসেবে $\cos(x^2)$ লেখা।
• গুণফলের নিয়ম ব্যবহার না করে গুণফলের ক্ষেত্রে অন্তরজগুলো গুণ করা।
• ভাগফলের নিয়মে লবের ক্রম উল্টে ফেলা, যা চিহ্ন বদলে দেয়।
• $e^x$ বা $2^x$-এ ঘাতের নিয়ম প্রয়োগ করা; এগুলো সূচকীয় ফাংশন, ঘাত নয়।
• ত্রিকোণমিতিক অন্তরজে ডিগ্রি ব্যবহার করা।

উত্তর যাচাই করতে অন্তরজ ক্যালকুলেটর প্রতিটি ধাপে কোন নিয়ম প্রয়োগ করছে তা দেখায়, আর লেখচিত্র ক্যালকুলেটর দিয়ে বক্ররেখার ঢাল আপনার অন্তরজের মানের সঙ্গে মিলিয়ে দেখতে পারেন।

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অন্তরজগুলো বীজগাণিতিক, যা প্রথমবার দেখে অনেক শিক্ষার্থী অবাক হয়। এগুলো আসে বিপরীত সম্পর্কটিকে অব্যক্তভাবে অন্তরীকরণ করে; যেমন, $y = \arcsin x$ হলে $\sin y = x$, এবং দুই পাশ অন্তরীকরণ করলে পাওয়া যায় $\cos y \cdot y' = 1$। বিপরীত সাইনের রেঞ্জে $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$, তাই ফলাফলটি দাঁড়ায়:

এই দুটি ফল অন্তরীকরণের চেয়ে সমাকলনে বেশি গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এগুলো ব্যাখ্যা করে কেন $\int \frac{dx}{1 + x^2}$-এর মতো সমাকলন থেকে বিপরীত ট্যানজেন্ট আসে।

উচ্চতর অন্তরজ

একটি অন্তরজকে অন্তরীকরণ করলে পাওয়া যায় দ্বিতীয় অন্তরজ, এবং প্রতিবার একই নিয়ম খাটে। $y = x^4$-এর অন্তরজগুলো হলো $4x^3$, তারপর $12x^2$, তারপর $24x$, তারপর 24, এবং এর পরের প্রতিটি অন্তরজ 0। $n$ মাত্রার একটি বহুপদী $n + 1$ বার অন্তরীকরণের পর সবসময় শূন্য হয়ে যায়।

সাইন ও কোসাইন বরং চক্রাকারে ঘোরে: $\sin x$-এর অন্তরজগুলো হলো $\cos x$, $-\sin x$, $-\cos x$ এবং তারপর আবার $\sin x$, প্রতি চার ধাপে পুনরাবৃত্তি হয়। সূচকীয় $e^x$ একেবারেই বদলায় না। এই প্যাটার্নগুলোই টেইলর ধারা গঠনের সূচনাবিন্দু, যা একটি বিন্দুতে ফাংশনের সব অন্তরজ ব্যবহার করে ফাংশনটির আসন্ন মান দেয়।

উত্তরসহ অনুশীলনী

উত্তর পড়ার আগে প্রতিটি নিজে চেষ্টা করুন। প্রথমে ঠিক করুন সবচেয়ে বাইরের নিয়ম কোনটি।

1. $\frac{d}{dx}\left(2x^3 - \frac{1}{x}\right)$। উত্তর: $6x^2 + \frac{1}{x^2}$।
2. $\frac{d}{dx}\left(x^3 e^x\right)$। উত্তর: $x^2e^x(3 + x)$, গুণফলের নিয়মে।
3. $\frac{d}{dx}\cos(5x + 1)$। উত্তর: $-5\sin(5x + 1)$, শৃঙ্খল নিয়মে।
4. $\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x}$। উত্তর: $\frac{1 - \ln x}{x^2}$, ভাগফলের নিয়মে।
5. $\frac{d}{dx}\sqrt{1 + x^2}$। উত্তর: $\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$, ঘাত $\frac{1}{2}$ নিয়ে শৃঙ্খল নিয়মে।

প্রেক্ষাপটে নিয়ম: পরস্পরনির্ভর হার

শৃঙ্খল নিয়মের কারণেই সম্পর্কিত হারের সমস্যা সমাধান করা সম্ভব। ধরুন একটি পুকুরে একটি বৃত্তাকার ঢেউ এমনভাবে ছড়ায় যে তার ব্যাসার্ধ প্রতি সেকেন্ডে 2 সেমি বাড়ে। ক্ষেত্রফল $A = \pi r^2$, এবং সময়ের সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করলে পাওয়া যায় $\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}$। ব্যাসার্ধ 10 সেমি হলে ক্ষেত্রফল বাড়ছে $2\pi(10)(2) = 40\pi \approx 125.7$ বর্গ সেন্টিমিটার প্রতি সেকেন্ডে।

একই ধারণা দেয়াল বেয়ে পিছলে নামা মই, ফোলানো হচ্ছে এমন বেলুন বা রাস্তার বাতি থেকে দূরে হেঁটে যাওয়া মানুষের ছায়া নিয়ে প্রশ্নের উত্তর দেয়। প্রতিটি ক্ষেত্রে রাশিগুলোর মধ্যে সম্পর্ক জানিয়ে একটি সমীকরণ লিখুন, শৃঙ্খল নিয়ম ব্যবহার করে প্রতিটি পদকে সময়ের সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করুন, তারপর আপনার প্রয়োজনীয় মুহূর্তের মানগুলো বসান। অন্তরীকরণের আগে মান বসানো একটি চিরাচরিত ভুল, কারণ তা পরিবর্তনশীল রাশিকে ধ্রুবকে পরিণত করে।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন