টেইলর ধারা: বহুপদী দিয়ে ফাংশনের আসন্ন মান

মূল ধারণা: অন্তরজ মেলানো

বহুপদী নিয়ে কাজ করা সবচেয়ে সহজ। কেবল যোগ ও গুণ ব্যবহার করেই এদের মান নির্ণয় করা যায়, এবং এদের অন্তরীকরণ বা সমাকলন নিয়মমাফিক কাজ। $e^x$, $\sin x$ ও $\ln x$-এর মতো ফাংশন হাতে হিসাব করা অনেক কঠিন। টেইলর ধারার ধারণা হলো এমন একটি বহুপদী খুঁজে বের করা, যা একটি নির্বাচিত বিন্দু $a$-এর কাছে ফাংশনটির মতো আচরণ করে।

একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে সবচেয়ে ভালো রেখা হলো স্পর্শক, যা সেখানে ফাংশনের মান ও প্রথম অন্তরজ মেলায়। একটি পরাবৃত্ত দ্বিতীয় অন্তরজও মেলাতে পারে, তাই তা বক্ররেখার বাঁক অনুসরণ করে। একটি ত্রিঘাত বহুপদী তৃতীয় অন্তরজও মেলাতে পারে, এবং এভাবে চলতে থাকে। প্রতিটি অতিরিক্ত মেলানো অন্তরজ বহুপদীটিকে বিন্দুর চারপাশে আরও বিস্তৃত অংশে ফাংশনের গা ঘেঁষে রাখে। অনন্তকাল এভাবে চালিয়ে গেলে পাওয়া যায় টেইলর ধারা।

টেইলর ধারার সূত্র

$a$-তে বহুপদীর $n$-তম অন্তরজকে $f^{(n)}(a)$-এর সমান হতে হলে $(x - a)^n$-এর সহগ অবশ্যই $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ হতে হয়। ফ্যাক্টরিয়াল আসে কারণ $(x - a)^n$-কে $n$ বার অন্তরীকরণ করলে $n!$ পাওয়া যায়। পূর্ণ ধারাটি হলো:

$a = 0$ হলে ধারাটিকে ম্যাকলরিন ধারা বলে, এবং ঘাতগুলো কেবল $x^n$। $(x - a)^n$ পর্যন্ত পদগুলো দিয়ে গঠিত বহুপদী হলো $n$ মাত্রার টেইলর বহুপদী, লেখা হয় $P_n(x)$। শুধু প্রথম দুটি পদ হলো স্পর্শক রেখার আসন্ন মান, যাকে রৈখিকীকরণও বলে।

e-এর x ঘাতের ধারা গঠন

$x = 1$ বসালে ধ্রুবকটির জন্যই একটি বিখ্যাত সূত্র পাওয়া যায়: $e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots$, যা ডজনখানেক পদের পরেই 2.71828-এ পৌঁছায়, কারণ ফ্যাক্টরিয়াল খুব দ্রুত বাড়ে।

যে ধারাগুলো জানা দরকার

এই ম্যাকলরিন ধারাগুলো সারাক্ষণ দেখা যায়, এবং বেশিরভাগ অন্য ধারা এগুলো থেকে প্রতিস্থাপন, গুণ, অন্তরীকরণ বা সমাকলন করে গঠন করা যায়:

সাইনে কেবল বিজোড় ঘাত থাকে, যা এর বিজোড় ফাংশন হওয়ার সঙ্গে মেলে, আর কোসাইনে কেবল জোড় ঘাত, যা এর প্রতিসাম্যের সঙ্গে মেলে। সাইন ধারাকে পদ ধরে ধরে অন্তরীকরণ করলে কোসাইন ধারা পাওয়া যায়, ঠিক যেমন $\sin x$-এর অন্তরজ $\cos x$ হওয়ার কথা।

যাচাই হিসেবে, $\sin 0.1 \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} = 0.0998333$, যেখানে প্রকৃত মান $0.0998334$। মাত্র দুটি পদই ছয় দশমিক স্থান পর্যন্ত সঠিক মান দেয়, আর এ কারণেই ক্যালকুলেটর ছোট বহুপদী দিয়ে এত দ্রুত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান নির্ণয় করতে পারে।

শূন্য ছাড়া অন্য বিন্দুর চারপাশে বিস্তার

যে ইনপুট নিয়ে আপনি আগ্রহী তার কাছাকাছি $a$ নিলে আসন্ন মান অনেক দ্রুত অভিসারী হয়। $\sqrt{4.1}$-এর আসন্ন মান পেতে $\sqrt{x}$-কে $a = 4$-এর চারপাশে বিস্তার করুন, যেখানে বর্গমূল নির্ণয় সহজ।

ত্রুটি কত বড়?

টেইলরের উপপাদ্য একটি টেইলর বহুপদীর ত্রুটি দেয়। $a$ ও $x$-এর মাঝে যদি $|f^{(n+1)}| \le M$ হয়, তবে $n$ মাত্রার পদের পরের অবশেষ মেনে চলে:

$n = 3$ নিয়ে $e^{0.5}$-এর ক্ষেত্রে ব্যবধিতে চতুর্থ অন্তরজ $e^t \le e^{0.5} < 2$, তাই ত্রুটি সর্বোচ্চ $\frac{2(0.5)^4}{24} \approx 0.0052$। প্রকৃত ত্রুটি $0.0029$, যা ওই সীমার মধ্যে। সীমাটি উল্টো দিক থেকেও কাজের: হিসাব শুরুর আগেই এটি বলে দেয় নির্দিষ্ট নির্ভুলতা নিশ্চিত করতে কতগুলো পদ লাগবে।

সাইন ও কোসাইনের মতো একান্তর ধারার ক্ষেত্রে আরও সহজ একটি অনুমান আছে: ত্রুটি প্রথম বাদ পড়া পদের চেয়ে বড় নয়। এই নিয়মের পেছনের ধারণাগুলো আলোচিত হয়েছে ধারার অভিসৃতি পরীক্ষায়।

ধারাটি কোথায় অভিসারী

টেইলর ধারা সবসময় সর্বত্র তার ফাংশনের সমান হয় না। $\frac{1}{1 - x}$-এর গুণোত্তর ধারা কেবল $|x| < 1$-এর জন্য কাজ করে; $x = 2$-এ বাম পাশ $-1$, অথচ ধারার পদগুলো সীমাহীনভাবে বাড়ে। যেসব $x$ মানে ধারাটি অভিসারী তাদের সেট হলো $a$-কেন্দ্রিক একটি ব্যবধি, এবং এর প্রস্থের অর্ধেক হলো অভিসৃতির ব্যাসার্ধ। এটি সাধারণত অনুপাত পরীক্ষা দিয়ে নির্ণয় করা হয়।

$e^x$, $\sin x$ ও $\cos x$-এর ধারা প্রতিটি বাস্তব $x$-এর জন্য অভিসারী। $\ln(1 + x)$-এর ধারা $-1 < x \le 1$-এর জন্য অভিসারী; $x = 1$-এ এটি একটি চমকপ্রদ ফল দেয়, $\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$, যদিও এটি খুব ধীরে অভিসারী হয়।

টেইলর ধারা কী কাজে লাগে

• ফাংশনের মান নির্ণয়: ক্যালকুলেটর ও সফটওয়্যার টেইলর বহুপদীর ঘনিষ্ঠ বহুপদী আসন্ন মান ব্যবহার করে।
• সীমা: $\sin x$-কে $x - \frac{x^3}{6} + \cdots$ দিয়ে প্রতিস্থাপন করলে লপিতালের নিয়ম ছাড়াই দেখা যায় যে $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$।
• প্রাথমিক প্রতি-অন্তরজ নেই এমন সমাকলন: $e^{-x^2}$-এর ধারাকে পদ ধরে ধরে সমাকলন করলে পাওয়া যায় $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} \approx 0.7475$, যা প্রকৃত মান $0.7468$-এর কাছাকাছি।
• পদার্থবিজ্ঞান: দোলকের জন্য ব্যবহৃত ক্ষুদ্র কোণের আসন্ন মান $\sin\theta \approx \theta$ হলো সাইন ধারার প্রথম পদ।
• অয়লারের সূত্র $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, যা তিনটি ধারা তুলনা করে পাওয়া যায়।

টেইলর ধারা ক্যালকুলেটর যেকোনো ফাংশনকে যেকোনো বিন্দুর চারপাশে নির্বাচিত ক্রম পর্যন্ত বিস্তার করে এবং প্রতিটি অন্তরজ দেখায়। এখানে অন্তরীকরণের দক্ষতা অপরিহার্য, তাই অন্তরজের নিয়মের ব্যাখ্যা একটি কাজের সঙ্গী।

যেকোনো টেইলর বহুপদীর একটি প্রণালী

1. কেন্দ্র $a$ বেছে নিন: যেখানে মান দরকার তার কাছের এমন একটি বিন্দু, যেখানে ফাংশন ও তার অন্তরজগুলোর মান নির্ণয় সহজ।
2. যত মাত্রা চান ফাংশনটিকে তত বার অন্তরীকরণ করুন, এবং প্রতিটি অন্তরজ সরল করুন।
3. প্রতিটি অন্তরজের মান $a$-তে নির্ণয় করুন।
4. প্রতিটি সহগ পেতে $n$-তম মানকে $n!$ দিয়ে ভাগ করুন।
5. $a = 0$ না হলে বহুপদীটি $x$-এর ঘাতে নয়, $(x - a)$-এর ঘাতে লিখুন।
6. প্রথম সহগ যাচাই করুন: $P_n(a)$ অবশ্যই $f(a)$-এর সমান হবে, এবং $a$-তে $P_n$-এর ঢাল অবশ্যই $f'(a)$-এর সমান হবে।

বারবার অন্তরীকরণের চেয়ে জানা ধারা থেকে নতুন ধারা গঠন করা প্রায়ই দ্রুততর। যেমন, $e^x$-এর ধারায় $x$-এর জায়গায় $-x^2$ বসালে সঙ্গে সঙ্গে পাওয়া যায় $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \cdots$, এবং সাইন ধারাকে $x$ দিয়ে গুণ করলে পাওয়া যায় $x\sin x$-এর ধারা।

লেখচিত্রে আসন্ন মানগুলো দেখা

$\cos x$-এর সঙ্গে তার 2, 4 ও 6 মাত্রার টেইলর বহুপদী আঁকলে একটি স্পষ্ট প্যাটার্ন দেখা যায়। 2 মাত্রার বহুপদী, একটি নিম্নমুখী পরাবৃত্ত, শূন্যের কাছে কোসাইন বক্ররেখার সঙ্গে ভালো মেলে, কিন্তু মোটামুটি এক একক পেরোলেই সরে যায়। 4 মাত্রার বহুপদী বেশিক্ষণ কাছে থাকে, আর 6 মাত্রার বহুপদী এর প্রথম কুঁজের বেশিরভাগ অংশজুড়ে বক্ররেখাটি অনুসরণ করে। প্রতিটি বহুপদী শেষ পর্যন্ত অসীমের দিকে ছুটে যায়, কারণ কোনো বহুপদী অনন্তকাল দুলতে পারে না, কিন্তু পদ যোগ করলে সেই বিচ্যুতি আরও দূরে সরে যায়, আর বাস্তবে ধারার অভিসৃতির অর্থ ঠিক এটাই।

অন্তর্দৃষ্টি গড়ার সেরা উপায় এই ছবি: কেন্দ্রের কাছে আসন্ন মান চমৎকার এবং দূরত্বের সঙ্গে খারাপ হয়। লেখচিত্র ক্যালকুলেটর একটি ফাংশন ও তার কয়েকটি টেইলর বহুপদী একসঙ্গে আঁকতে পারে, যাতে আপনি সেগুলোকে অভিসারী হতে দেখতে পারেন।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন