ফাংশনের সংযোজন: কীভাবে f(g(x)) নির্ণয় ও ব্যবহার করবেন

সংযোজন মানে কী

দুটি ফাংশন $f$ ও $g$ দেওয়া থাকলে সংযোজন $f \circ g$, যা পড়া হয় g-এর সঙ্গে সংযোজিত f বা g-এর f, এমন একটি ফাংশন যা প্রথমে $g$ প্রয়োগ করে এবং তারপর ফলাফলে $f$ প্রয়োগ করে:

ক্রমটিই মানুষকে বিভ্রান্ত করে। ডানে লেখা, $x$-এর সবচেয়ে কাছের ফাংশনটি আগে কাজ করে। একটি উৎপাদন লাইনের কথা ভাবুন: $x$ যন্ত্র $g$-এ ঢোকে, উৎপন্ন $g(x)$ যন্ত্র $f$-এ চলে যায়, এবং বেরিয়ে আসে $f(g(x))$। এটি কাজ করতে হলে $g$-এর যে আউটপুটগুলো ব্যবহার করছেন তার প্রতিটি $f$-এর গ্রহণযোগ্য ইনপুট হতে হবে।

সংযোজন গুণ থেকে আলাদা। গুণফল $(fg)(x)$ মানে $f(x) \cdot g(x)$, যা দুটি আউটপুটকে গুণ করে, অথচ $(f \circ g)(x)$ একটি ফাংশনকে অন্যটির ভেতরে বসায়। ছোট বৃত্ত প্রতীকটিই এদের আলাদা করে।

দুটি সূত্রের সংযোজন

$f(g(x))$ নির্ণয় করতে $f$-এর সূত্র নিন এবং এর প্রতিটি $x$-এর জায়গায় বন্ধনীসহ সম্পূর্ণ রাশি $g(x)$ বসান। তারপর সরল করুন।

দুই ক্রম সম্পূর্ণ ভিন্ন ফাংশন দেয়। সাধারণভাবে সংযোজন বিনিময়যোগ্য নয়: $f \circ g$ ও $g \circ f$ সাধারণত আলাদা, এবং এরা সমান বলে কখনো ধরে নেবেন না। তবে এটি সহযোজী, তাই $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$, এবং তিনটি ফাংশনের শৃঙ্খল ভেতর থেকে বাইরের দিকে হিসাব করা যায়।

বসানোর সময় ভেতরের ফাংশনের চারপাশে সবসময় বন্ধনী দিন। বন্ধনী ছাড়া $g(x) = x^2$-এর জন্য $g(2x + 3)$ সহজেই ভুলভাবে $2x + 3^2$ হয়ে যায়।

সংখ্যা ও সারণি থেকে সংযোজনের মান নির্ণয়

প্রায়ই আপনার কেবল একটি মান দরকার হয়। ভেতর থেকে বাইরের দিকে কাজ করুন: আগে ভেতরের ফাংশনের মান নির্ণয় করুন, তারপর সেই ফল বাইরের ফাংশনের ইনপুট হিসেবে ব্যবহার করুন। সংযোজিত সূত্রটি বের করার দরকার নেই।

ধরুন একটি সারণি দেয় $g(1) = 4$, $g(2) = 0$, $g(3) = 2$ এবং $f(0) = 5$, $f(2) = -1$, $f(4) = 3$। তাহলে $f(g(1)) = f(4) = 3$, $f(g(2)) = f(0) = 5$, এবং $f(g(3)) = f(2) = -1$। $g$ যে সংখ্যা দেয় সেখানে সারণিতে $f$-এর কোনো মান না থাকলে ওই ইনপুটে সংযোজনটি কেবল অসংজ্ঞায়িত হতো।

লেখচিত্রও একইভাবে কাজ করে। দুটি লেখচিত্র থেকে $f(g(3))$ বের করতে $g$-এর লেখচিত্র থেকে $g(3)$ পড়ুন, তারপর সেই মানটি $f$-এর লেখচিত্রের x-অক্ষে খুঁজে আউটপুট পড়ুন।

সংযোজিত ফাংশনের ডোমেন

$f \circ g$-এর ডোমেনে ঠিক সেই ইনপুট $x$-গুলো থাকে যা দুটি শর্ত পূরণ করে: $x$ আছে $g$-এর ডোমেনে, এবং $g(x)$ আছে $f$-এর ডোমেনে। সংযোজিত সূত্র সরল করলে প্রথম শর্তটি লুকিয়ে যেতে পারে, তাই মূল টুকরোগুলো থেকে ডোমেন নির্ণয় করুন।

একটি ছোট উদাহরণ দেখায় কেন এটি গুরুত্বপূর্ণ। $f(x) = x^2$ এবং $g(x) = \sqrt{x}$ হলে $f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 = x$, কিন্তু কেবল $x \ge 0$-এর জন্য। শুধু সূত্র $x$ ইঙ্গিত দেয় যে প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা চলে, যা মিথ্যা। ডোমেন ও রেঞ্জ নির্দেশিকা এখানে ব্যবহৃত আলাদা আলাদা সীমাবদ্ধতাগুলো আলোচনা করে।

একটি ফাংশনের বিয়োজন

বিয়োজন প্রক্রিয়াটিকে উল্টো দিকে চালায়: একটি জটিল ফাংশন $h$ দেওয়া থাকলে এমন সরলতর ফাংশন খুঁজুন যাতে $h = f \circ g$। এমন একটি ভেতরের রাশি খুঁজুন যার ওপর একটি বাইরের ক্রিয়া কাজ করছে।

• $h(x) = (3x - 1)^5$: ভেতরের $g(x) = 3x - 1$, বাইরের $f(u) = u^5$।
• $h(x) = \sqrt{x^2 + 4}$: ভেতরের $g(x) = x^2 + 4$, বাইরের $f(u) = \sqrt{u}$।
• $h(x) = e^{\sin x}$: ভেতরের $g(x) = \sin x$, বাইরের $f(u) = e^u$।
• $h(x) = \frac{1}{(x + 2)^2}$: ভেতরের $g(x) = x + 2$, বাইরের $f(u) = \frac{1}{u^2}$, অথবা তিন ধাপের শৃঙ্খল $u = x + 2$, $v = u^2$, $w = \frac{1}{v}$।

বিয়োজন অনন্য নয়, তবে সবচেয়ে কাজের বিয়োজনে সাধারণত ভেতরের ফাংশনটি সরল হয়। ভেতরের অংশকে $u$ হিসেবে লেখাই সেই অভ্যাস যা শৃঙ্খল নিয়ম ও যোগজীকরণে প্রতিস্থাপনের জন্য আপনার লাগবে।

ক্যালকুলাস ও বিপরীত ফাংশনে সংযোজন

দুটি বড় বিষয় সংযোজনের ওপর নির্ভর করে। প্রথমত, শৃঙ্খল নিয়ম একটি সংযোজিত ফাংশনের অন্তরীকরণ করে: $f(g(x))$-এর অন্তরজ $f'(g(x)) \cdot g'(x)$। $(3x - 1)^5$-এর জন্য এটি দেয় $5(3x - 1)^4 \cdot 3 = 15(3x - 1)^4$। অন্তরজের নিয়মের নির্দেশিকা এটি বিস্তারিত আলোচনা করে।

দ্বিতীয়ত, দুটি ফাংশন পরস্পরের বিপরীত ঠিক তখনই, যখন যেকোনো ক্রমে এদের সংযোজন ইনপুটটি ফিরিয়ে দেয়: উপযুক্ত ডোমেনে $f(f^{-1}(x)) = x$ এবং $f^{-1}(f(x)) = x$। $f(x) = 2x + 3$ ও $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$-এর জন্য পাওয়া যায় $f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = x - 3 + 3 = x$। বিপরীত ফাংশন যাচাইয়ের এটিই আদর্শ উপায়, যেমন ব্যাখ্যা করা হয়েছে বিপরীত ফাংশন-এ।

একটি বাস্তব উদাহরণ: ছাড় ও কুপন

একটি দোকান 20 শতাংশ ছাড় দিচ্ছে এবং আপনার কাছে 10 ডলার ছাড়ের একটি কুপনও আছে। ধরুন $d(p) = 0.8p$ দাম $p$-তে ছাড় প্রয়োগ করে এবং $c(p) = p - 10$ কুপন প্রয়োগ করে। ক্রমটি গুরুত্বপূর্ণ।

• আগে কুপন, তারপর ছাড়: $d(c(p)) = 0.8(p - 10) = 0.8p - 8$।
• আগে ছাড়, তারপর কুপন: $c(d(p)) = 0.8p - 10$।
• 50 ডলারের একটি পণ্যের জন্য প্রথম ক্রমে দাম পড়ে 32 ডলার এবং দ্বিতীয়টিতে 30 ডলার।

এখানে শতাংশটি আগে প্রয়োগ করলে সবসময় 2 ডলার বাঁচে, কারণ কুপনের অঙ্কটি শতাংশ দিয়ে কমে না। যেখানে একটি প্রক্রিয়ার ফল আরেকটিতে যায়, এমন পরিস্থিতিই সংযোজন, এবং এগুলো দেখায় কেন $f$ ও $g$-এর ক্রম কেবল একটি খুঁটিনাটি বিষয় নয়।

সাধারণ ভুল

• ভুল ক্রমে ফাংশন প্রয়োগ করা: $f(g(x))$-এ আগে কাজ করে $g$।
• বসানোর বদলে $f(x)$-কে $g(x)$ দিয়ে গুণ করা।
• বন্ধনী ছাড়া বসানো, বিশেষ করে ঘাত ও ঋণাত্মক চিহ্নের ভেতরে।
• কেবল সরল সূত্র থেকে ডোমেন নির্ণয় করে ভেতরের ফাংশনের কারণে বাদ পড়া মানগুলো হারিয়ে ফেলা।
• $f \circ g = g \circ f$ ধরে নেওয়া।

ফাংশন সংযোজন ক্যালকুলেটর দিয়ে দুটি ক্রম ও তাদের ডোমেন যাচাই করতে পারেন, যা বসানোর ধাপটি স্পষ্টভাবে দেখায়।

সংযোজনে দক্ষ হওয়া কেন সার্থক

বীজগণিতের পরে দেখা প্রায় প্রতিটি ফাংশন সংযোজন দিয়ে তৈরি। ঠান্ডা হতে থাকা পানীয়ের তাপমাত্রা, দোলায়মান দোলকের অবস্থান বা একটি বিনিয়োগের মূল্যের সূত্র সাধারণত একটি সরল বাইরের ফাংশন, যেমন সূচকীয়, সাইন বা ঘাত, যা একটি সরলতর ভেতরের রাশিতে প্রয়োগ করা হয়। সেই কাঠামো দেখতে পারলে আপনি লেখচিত্রের আকৃতি অনুমান করতে, ফাংশন কোথায় সংজ্ঞায়িত তা বের করতে এবং অন্তরজ ও যোগজের জন্য সঠিক কৌশল বেছে নিতে পারেন।

সংযোজন লেখচিত্রের রূপান্তরও ব্যাখ্যা করে। $f$-এর লেখচিত্রকে তিন একক ডানে সরালে পাওয়া যায় $f(x - 3)$, যা ভেতরের ফাংশন $x - 3$-এর সঙ্গে সংযোজিত $f$। একে উল্লম্বভাবে 2 গুণ প্রসারিত করলে পাওয়া যায় $2f(x)$, যা $f$-এর সঙ্গে সংযোজিত বাইরের ফাংশন $2u$। এভাবে দেখলে, বন্ধনীর ভেতরে প্রয়োগ করা রূপান্তর ইনপুট বদলায় এবং অনুভূমিকভাবে কাজ করে, আর বাইরে প্রয়োগ করা রূপান্তর আউটপুট বদলায় এবং উল্লম্বভাবে কাজ করে। এই একটি পর্যবেক্ষণই ব্যাখ্যা করে কেন অনুভূমিক সরণ উল্টো দিকে যাচ্ছে বলে মনে হয়।

উত্তরসহ অনুশীলনী

এগুলো কাগজে করে তারপর মিলিয়ে নিন। প্রতিটি ওপরের অংশগুলোর একটি ধারণা ব্যবহার করে।

1. $f(x) = x^2 + 1$ এবং $g(x) = x - 3$ হলে $f(g(x))$ নির্ণয় করুন। উত্তর: $(x - 3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 10$।
2. একই ফাংশন দিয়ে $g(f(x))$ নির্ণয় করুন। উত্তর: $x^2 + 1 - 3 = x^2 - 2$।
3. $f(x) = \sqrt{x}$ এবং $g(x) = 4 - x$ হলে $f(g(x))$-এর ডোমেন নির্ণয় করুন। উত্তর: $4 - x \ge 0$, তাই $(-\infty, 4]$।
4. $h(x) = \ln(x^2 + 1)$-কে বিয়োজন করুন। উত্তর: ভেতরের $x^2 + 1$, বাইরের $\ln u$।
5. $f(x) = 3x - 2$ হলে $f(f(2))$ নির্ণয় করুন। উত্তর: $f(2) = 4$ এবং $f(4) = 10$।

প্রথম সমস্যার উত্তর $x^2 - 2$ পেলে আপনি ভুল ক্রমে ফাংশন প্রয়োগ করেছেন; ওটি দ্বিতীয় সমস্যার উত্তর। দুই ক্রম গুলিয়ে ফেলাই সবচেয়ে প্রচলিত ভুল, এবং $x = 0$-এর মতো একটি সংখ্যা দিয়ে যাচাই করলে দ্রুত ধরা পড়ে: $f(g(0)) = f(-3) = 10$, অথচ $g(f(0)) = g(1) = -2$।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন