বিপরীত ফাংশন: কীভাবে বিপরীত ফাংশন নির্ণয়, অঙ্কন ও যাচাই করবেন

বিপরীত ফাংশন কী করে

একটি ফাংশন একটি ইনপুট নিয়ে একটি আউটপুট তৈরি করে। এর বিপরীত ফাংশন, যা লেখা হয় $f^{-1}$, প্রক্রিয়াটিকে উল্টো দিকে চালায়: এটি $f$-এর একটি আউটপুট নিয়ে সেই ইনপুটটি ফেরত দেয় যা থেকে আউটপুটটি তৈরি হয়েছিল। $f(a) = b$ হলে $f^{-1}(b) = a$। একটির পর অন্যটি প্রয়োগ করলে আপনি যেখান থেকে শুরু করেছিলেন সেখানেই ফিরে আসেন।

দৈনন্দিন জীবনের একটি সরল উদাহরণ হলো তাপমাত্রার রূপান্তর। ফাংশন $F = \frac{9}{5}C + 32$ সেলসিয়াসকে ফারেনহাইটে রূপান্তর করে। এর বিপরীত ফাংশন $C = \frac{5}{9}(F - 32)$ আবার ফিরিয়ে আনে। প্রথমটিতে 37 ডিগ্রি সেলসিয়াস দিলে পাওয়া যায় 98.6 ডিগ্রি ফারেনহাইট, এবং দ্বিতীয়টিতে 98.6 দিলে ফিরে আসে 37।

প্রতীকটি নিয়ে সতর্ক থাকতে হয়। $f^{-1}$-এর $-1$ কোনো সূচক নয়। বিপরীত ফাংশন $f^{-1}(x)$ অন্যোন্যক $\frac{1}{f(x)}$ থেকে আলাদা। $f(x) = 2x$-এর জন্য বিপরীত ফাংশন $f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$, কিন্তু অন্যোন্যক $\frac{1}{2x}$।

বিপরীত ফাংশনের অস্তিত্ব কখন থাকে?

একটি ফাংশনকে উল্টানো তখনই সম্ভব যখন প্রতিটি আউটপুট ঠিক একটি ইনপুট থেকে এসেছে। এমন ফাংশনকে এক-এক বা একৈক ফাংশন বলে। দুটি ভিন্ন ইনপুট একই আউটপুট দিলে কোন ইনপুট ফেরত দিতে হবে তা জানার উপায় থাকে না, তাই সেই ডোমেনে কোনো বিপরীত ফাংশনের অস্তিত্ব নেই।

সব বাস্তব সংখ্যার ওপর ফাংশন $f(x) = x^2$ এই পরীক্ষায় ব্যর্থ হয়, কারণ $f(3) = f(-3) = 9$। 9-কে উল্টাতে বলা হলে বিপরীত ফাংশন জানত না 3 ফেরত দেবে নাকি $-3$। লেখচিত্রে এটিই অনুভূমিক রেখা পরীক্ষা: একটি ফাংশন ঠিক তখনই এক-এক, যখন কোনো অনুভূমিক রেখা এর লেখচিত্রকে একবারের বেশি ছেদ করে না। রেখা $y = 9$ অধিবৃত্ত $y = x^2$-কে দুবার ছেদ করে, তাই অধিবৃত্তটি ব্যর্থ হয়।

যে ফাংশন সর্বদা বর্ধমান বা সর্বদা হ্রাসমান, সেগুলো আপনা থেকেই উত্তীর্ণ হয়। অশূন্য ঢালের রৈখিক ফাংশন, $x^3$, $e^x$ এবং $\ln x$ সবই নিজ নিজ স্বাভাবিক ডোমেনে এক-এক।

বীজগাণিতিকভাবে বিপরীত ফাংশন নির্ণয়ের উপায়

1. $f(x)$-এর জায়গায় $y$ লিখুন।
2. সব জায়গায় $x$ ও $y$ অদলবদল করুন।
3. নতুন সমীকরণটি $y$-এর জন্য সমাধান করুন।
4. $y$-এর জায়গায় $f^{-1}(x)$ লিখুন এবং এর ডোমেন উল্লেখ করুন, যা $f$-এর রেঞ্জ।

অদলবদলের পরে $y$ একাধিকবার এলে সব $y$-যুক্ত পদ এক পাশে জড়ো করে $y$ সাধারণ উৎপাদক হিসেবে বের করুন, ঠিক উদাহরণ 3-এর মতো।

ডোমেন সীমিত করা

যে ফাংশন এক-এক নয়, তার ডোমেনকে এমন একটি অংশে সীমিত করলে যেখানে সেটি এক-এক, তখনও এর বিপরীত ফাংশন থাকতে পারে। বর্গমূল ও বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এভাবেই সংজ্ঞায়িত হয়।

$f(x) = x^2$-কে $x \ge 0$-তে সীমিত করলে অধিবৃত্তের কেবল ডান অর্ধেক থাকে, যা এক-এক। এর বিপরীত ফাংশন $x \ge 0$-এর জন্য $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$। এর বদলে $x \le 0$ বেছে নিলে পাওয়া যেত $-\sqrt{x}$।

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনও একইভাবে কাজ করে। সাইন এক-এক নয়, তাই $\arcsin x$-কে $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$-এ সীমিত সাইনের বিপরীত ফাংশন হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এ কারণেই $\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$ নয়: উত্তরটিকে সীমিত ব্যবধানের মধ্যে থাকতে হবে।

সূচকীয় ফাংশন ও লগারিদম

প্রাক-ক্যালকুলাসে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিপরীত জোড়া হলো $e^x$ ও $\ln x$: প্রতিটি বাস্তব $x$-এর জন্য $\ln(e^x) = x$, এবং $x > 0$-এর জন্য $e^{\ln x} = x$। আরও সাধারণভাবে, $\log_b x$ হলো $b^x$-এর বিপরীত ফাংশন। লগারিদম বিষয়ক নির্দেশিকা এই তথ্য থেকেই এদের সব নিয়ম গড়ে তোলে।

বিপরীত ফাংশনের লেখচিত্র

বিপরীত ফাংশন ইনপুট ও আউটপুট অদলবদল করে বলে $f$-এর লেখচিত্রের প্রতিটি বিন্দু $(a, b)$ হয়ে যায় $f^{-1}$-এর লেখচিত্রের বিন্দু $(b, a)$। জ্যামিতিকভাবে স্থানাঙ্ক অদলবদল করা মানে রেখা $y = x$-এ প্রতিফলন। তাই বিপরীত ফাংশনের লেখচিত্র হলো ওই কর্ণরেখা বরাবর মূল লেখচিত্রের দর্পণ প্রতিবিম্ব।

এতে বিপরীত ফাংশনের খসড়া আঁকার একটি দ্রুত উপায় ও একটি কাজের যাচাই পাওয়া যায়: $e^x$ ও $\ln x$-এর লেখচিত্র পরস্পরের প্রতিফলন, তেমনি $x^3$ ও $\sqrt[3]{x}$। বৈশিষ্ট্যগুলোও অদলবদল হয়। $f$-এর একটি অনুভূমিক অসীমতট $f^{-1}$-এর উল্লম্ব অসীমতটে পরিণত হয়, যা ঠিক উদাহরণ 3-এ ঘটেছে। লেখচিত্র ক্যালকুলেটরে রেখা $y = x$-সহ দুটি ফাংশন আঁকলে প্রতিসাম্যটি স্পষ্ট হয়।

বিপরীত ফাংশন যাচাই

দুটি ফাংশন পরস্পরের বিপরীত তা প্রমাণ করতে দুই ক্রমেই এদের সংযোজন করে সরল করুন। প্রাসঙ্গিক ডোমেনে দুটি সংযোজনই $x$-এর সমান হলে ফাংশন দুটি পরস্পরের বিপরীত। উদাহরণ 3-এর জন্য:

একটি দ্রুততর অনানুষ্ঠানিক যাচাই হলো একটি ইনপুট বেছে নিয়ে $f$ প্রয়োগ করা, তারপর আপনার বিপরীত ফাংশন প্রয়োগ করে দেখা ইনপুটটি ফিরে আসে কি না। এটি সূত্রটি সঠিক বলে প্রমাণ করে না, তবে বেশিরভাগ ভুল ধরে ফেলে। ফাংশনের সংযোজন নির্দেশিকায় সংযোজন আরও বিস্তারিত ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

ক্যালকুলাসে বিপরীত ফাংশন

$f$ অন্তরীকরণযোগ্য ও এক-এক হলে কোনো বিন্দুতে বিপরীত ফাংশনের ঢাল হলো সংশ্লিষ্ট বিন্দুতে $f$-এর ঢালের অন্যোন্যক। $f(a) = b$ এবং $f'(a) \neq 0$ হলে:

$f(x) = x^3 + x$-এর জন্য আমরা পাই $f(1) = 2$ এবং $f'(x) = 3x^2 + 1$, তাই $f'(1) = 4$ এবং $(f^{-1})'(2) = \frac{1}{4}$। $f^{-1}$-এর সূত্র বের করা খুব কঠিন হলেও এটি কাজ করে। এ কারণেই $\ln x$-এর অন্তরজ $\frac{1}{x}$, কেননা $\ln$ হলো $e^x$-এর বিপরীত ফাংশন।

সাধারণ ভুল

• $f^{-1}(x)$-কে $\frac{1}{f(x)}$ হিসেবে ধরা।
• $x$ ও $y$ অদলবদল করতে ভুলে যাওয়া, যাতে কেবল মূল ফাংশনটিই পুনর্বিন্যস্ত হয়।
• ডোমেন সীমিত না করে এক-এক নয় এমন ফাংশনের সূত্র বের করা।
• ডোমেন সীমিত করার পর বর্গমূলের ভুল চিহ্ন বেছে নেওয়া।
• বিপরীত ফাংশনের ডোমেন উল্লেখ না করা, যা মূল ফাংশনের রেঞ্জের সমান হওয়া উচিত।

বিপরীত ফাংশন ক্যালকুলেটর অদলবদল ও সমাধানের ধাপগুলো দেখায় এবং সংযোজন দিয়ে ফলাফল যাচাই করে।

সারণি থেকে ও প্রয়োগে বিপরীত ফাংশন

সবসময় সূত্রের দরকার হয় না। একটি সারণিতে এক-এক ফাংশন দেওয়া থাকলে দুটি কলাম অদলবদল করেই এর বিপরীত ফাংশন পাওয়া যায়। ধরুন একটি ডেলিভারি সংস্থা ওজন অনুযায়ী মাশুল নেয়, এবং এর মূল্যতালিকা দেখায় যে 1 কিলোগ্রামের দাম 6 ডলার, 2 কিলোগ্রামের 9 ডলার এবং 3 কিলোগ্রামের 12 ডলার। বিপরীত সারণি উল্টো প্রশ্নের উত্তর দেয়: একজন গ্রাহক কত দিয়েছেন তা জানা থাকলে পার্সেলটি কত ভারী ছিল? 9 ডলার পরিশোধ মানে 2 কিলোগ্রাম। দুটি ওজনের দাম একই হলে বিপরীত প্রশ্নের কোনো একক উত্তর থাকত না; ব্যবহারিক পরিস্থিতিতে এটিই এক-এক শর্তের রূপ।

অনেক বাস্তব সূত্র দুই দিকেই ব্যবহৃত হয়। একটি ঋণ ক্যালকুলেটর ধার নেওয়া অর্থ থেকে মাসিক কিস্তি হিসাব করে, আর এর বিপরীত ফাংশন বলে দেয় আপনার সামর্থ্যের কিস্তিতে কত ধার নিতে পারবেন। পরিবেশনের সংখ্যা অনুযায়ী মাপ বদলানো একটি রেসিপিকে উল্টে দেখা যায় নির্দিষ্ট পরিমাণ ময়দায় কতজনের পরিবেশন হবে। বিজ্ঞানে একটি ক্রমাঙ্কন বক্ররেখা জানা ঘনমাত্রাকে যন্ত্রের পাঠে রূপান্তর করে, আর এর বিপরীত ফাংশন মাপা পাঠকে আবার ঘনমাত্রায় ফিরিয়ে আনে। প্রতিবারই বিপরীত ফাংশনটি কাজের, ঠিক এই কারণে যে প্রাসঙ্গিক মানের পরিসরে মূল সম্পর্কটি এক-এক।

বিপরীত ফাংশনকে এভাবে দেখলে বীজগাণিতিক ধাপগুলোও স্বাভাবিক মনে হয়। $x$ ও $y$ অদলবদল করা আসলে সংক্ষেপে বলা যে ইনপুট ও আউটপুটের ভূমিকা বদলে গেছে, আর $y$-এর জন্য সমাধান করা মানে উল্টো প্রশ্নটির উত্তর দেওয়া।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন