ফাংশন সংযোজন ক্যালকুলেটর: ধাপে ধাপে f(g(x))

ফাংশন সংযোজন ক্যালকুলেটর সম্পর্কে

সংযোজন দুটি ফাংশনকে এমনভাবে জোড়ে যে একটির আউটপুট অন্যটির ইনপুট হয়ে যায়। সরল সূত্র থেকে জটিল সূত্র এভাবেই তৈরি হয়: $\sqrt{x - 4}$ হলো 4 বিয়োগের পর প্রয়োগ করা বর্গমূল, আর $(2x - 3)^2 + 1$ হলো একটি রৈখিক রূপান্তরের পর বর্গ করে এক যোগ করা। এই স্তরগুলো চিনতে পারা চেইন রুল, বিপরীত ফাংশন এবং ধাপে ধাপে ঘটা প্রক্রিয়ার মডেল তৈরির জন্য অপরিহার্য।

এই ক্যালকুলেটর একটি ফাংশনকে অন্যটিতে প্রতিস্থাপন করে, ফলাফল বিস্তার ও সরল করে, এবং অভ্যন্তরীণ ফাংশন থেকে আসা শর্তসহ সংযোজিত ফাংশনের ডোমেন নির্ণয় করে। আপনি একটি মান দিলে এটি সেখানে ভেতর থেকে বাইরে সংযোজনের মানও বের করে, যাতে দেখা যায় সংখ্যাটি একে একে প্রতিটি ফাংশনের মধ্য দিয়ে কীভাবে যায়।

ফাংশন সংযোজন কী?

$g$ -এর সঙ্গে $f$ -এর সংযোজন, যা $(f \circ g)(x)$ লেখা হয়, সংজ্ঞায়িত হয় $f(g(x))$ হিসেবে: প্রথমে $g$ প্রয়োগ করুন, তারপর ফলাফলে $f$ প্রয়োগ করুন। ডানে লেখা ফাংশনটি আগে কাজ করে, যা পড়ার ক্রমের উল্টো।

সংযোজন বিনিময়যোগ্য নয়। $f(x) = x^2$ ও $g(x) = x + 1$ -এর জন্য $f(g(x)) = (x + 1)^2$ , অথচ $g(f(x)) = x^2 + 1$ । কোনো ফাংশনকে নিজের সঙ্গেও সংযোজন করা যায়: $f \circ f$ মানে $f$ দুবার প্রয়োগ।

ফাংশন সংযোজন ক্যালকুলেটর কীভাবে ব্যবহার করবেন

বাইরের ফাংশন f(x) ও দ্বিতীয় ফাংশন g(x) লিখুন, দুটিই $x$ -এর মাধ্যমে।
সংযোজন বেছে নিন: f∘g, g∘f, f∘f বা g∘g।
চাইলে সেই বিন্দুতে সংযোজিত ফাংশনের মান পেতে $x$ -এর একটি মান লিখুন।
প্রতিস্থাপন, সরলীকৃত ফলাফল ও তার ডোমেন দেখতে “সংযোজন করুন” চাপুন।
ফলাফল কীভাবে বদলায় দেখতে উল্টো ক্রমের সঙ্গে তুলনা করুন।

সূত্র

সংজ্ঞা

(f \circ g)(x) = f(g(x))

সংযোজিত ফাংশনের ডোমেন

\operatorname{Dom}(f \circ g) = \{x \in \operatorname{Dom}(g) : g(x) \in \operatorname{Dom}(f)\}

সহযোজন ধর্ম

f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h

বিপরীত ফাংশন যাচাই

f(f^{-1}(x)) = x

সমাধান করা উদাহরণ: x = 2 বিন্দুতে f(g(x)), f = x² + 1, g = 2x − 3

উদাহরণে $f(x) = x^2 + 1$ ও $g(x) = 2x - 3$ নিয়ে $f \circ g$ তৈরি করা হয়েছে। $f$ -এর প্রতিটি $x$ -এর জায়গায় পুরো রাশি $2x - 3$ বসানো হয়, ফলে পাওয়া যায় $(2x - 3)^2 + 1$ , যা বিস্তার করলে হয় $4x^2 - 12x + 10$ ।

উদাহরণে $x = 2$ -এ মানও নির্ণয় করা হয়েছে। ধাপে ধাপে $g(2) = 1$ ও $f(1) = 2$ ; সরলীকৃত সূত্র দেয় $16 - 24 + 10 = 2$ , একই মান। দুটি ফাংশনই বহুপদী, তাই ডোমেন সব বাস্তব সংখ্যা।

নিচের সমাধানটি সেই একই ইঞ্জিন তৈরি করেছে, যা ওপরের ক্যালকুলেটরটি চালায়।

চূড়ান্ত উত্তর

(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10

আমরা আপনার সমস্যাটি যেভাবে পড়েছি

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) নির্ণয় করুন এবং এর মান বের করুন।

f(x) = {x}^{2}+1,\ g(x) = 2x-3

ধাপে ধাপে সমাধান

ফাংশনগুলো লিখুন
$f(x) = {x}^{2}+1,\quad g(x) = 2x-3$
(f ∘ g)(x) মানে f(g(x)): f-এ প্রতিটি x-এর জায়গায় g(x) বসান
$(f \circ g)(x) = f\big(2x-3\big)$
প্রতিস্থাপন করুন
$(f \circ g)(x) = {\left(2x-3\right)}^{2}+1$
বিস্তার করে সদৃশ পদগুলো একত্র করুন
$(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10$
ডোমেন: x অবশ্যই g-এ অনুমোদিত হতে হবে, এবং g(x) অবশ্যই f-এ অনুমোদিত হতে হবে
$\text{ডোমেন } f \circ g:\ (-\infty, \infty)$
x = 2-এ ভেতর থেকে বাইরে মান নির্ণয়: প্রথমে g(2) = 1
$g(2) = 1$
তারপর f(1) = 2
$f\big(1\big) = 2$

ব্যবহৃত সূত্র

সংযোজন
$(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$

সংযোজন g-এর আউটপুটকে f-এর ইনপুট হিসেবে দেয়। ক্রম গুরুত্বপূর্ণ: f∘g প্রথমে g প্রয়োগ করে এবং সাধারণত g∘f থেকে ভিন্ন। সরল করার আগেই ডোমেন নির্ণয় করা হয়, কারণ উৎপাদক কাটাকাটি এমন মান লুকিয়ে ফেলতে পারে যা সংযোজিত ফাংশন গ্রহণ করতে পারে না।

যাচাই

যাচাই করা হয়েছে: নমুনা বিন্দুগুলোতে f(g(x)) ও চূড়ান্ত সূত্র একই মান দেয়।
যাচাই করা হয়েছে: সরলীকৃত সূত্রও x = 2-এ 2 দেয়।

বিস্তারিত ব্যাখ্যা

সঠিকভাবে প্রতিস্থাপন

সংযোজনের সবচেয়ে নিরাপদ উপায় হলো বাইরের ফাংশনটি $x$ -এর জায়গায় খালি বন্ধনী দিয়ে লেখা, যেমন $f(\;) = (\;)^2 + 1$ , তারপর প্রতিটি বন্ধনীর ভেতরে পুরো অভ্যন্তরীণ রাশিটি বসানো। বন্ধনী গুরুত্বপূর্ণ: $x^2$ -এ $x$ -এর জায়গায় $2x - 3$ বসালে পাওয়া যায় $(2x - 3)^2$ , $2x - 3^2$ নয়।

প্রতিস্থাপনের পর ফলাফল বিস্তার করে সদৃশ পদগুলো একত্র করা হয়। ক্যালকুলেটর প্রথমে অসরলীকৃত প্রতিস্থাপন দেখায়, যাতে আপনি নিজের কাজের সঙ্গে মেলাতে পারেন, তারপর সরলীকৃত আকার।

ডোমেন নির্ণয়

কোনো ইনপুট $f \circ g$ -এর ডোমেনে থাকে কেবল তখনই, যখন $g$ সেটি গ্রহণ করে এবং $g$ যা দেয় তা $f$ গ্রহণ করে। $f(x) = \sqrt{x}$ ও $g(x) = x - 4$ -এর জন্য $g$ প্রতিটি সংখ্যা গ্রহণ করে, কিন্তু $f$ -এর অঋণাত্মক ইনপুট দরকার, তাই $x - 4 \geq 0$ এবং ডোমেন $[4, \infty)$ ।

সরলীকরণ লুকিয়ে ফেললেও অভ্যন্তরীণ ফাংশনের শর্তগুলো টিকে থাকে। $f(x) = x^2$ ও $g(x) = \sqrt{x}$ হলে সংযোজিত ফাংশন সরল হয়ে $x$ হয়, তবু কেবল $x \geq 0$ অনুমোদিত, কারণ আগে $g$ সংজ্ঞায়িত হতে হবে। এ কারণেই ডোমেন কেবল চূড়ান্ত সূত্র থেকে নয়, দুটি ধাপ থেকেই নির্ণয় করা হয়।

সংযোজন কোথায় ব্যবহৃত হয়

ক্যালকুলাসের চেইন রুল সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজ নেয়: $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$ । এটি ব্যবহারের প্রথম ধাপ হলো অভ্যন্তরীণ ও বাইরের ফাংশন চেনা। সংযোজন এককের রূপান্তর, বারবার শতকরা পরিবর্তন এবং লেখচিত্রের রূপান্তরও বর্ণনা করে: $f(x - 2)$ হলো ডানে দুই একক সরণের সঙ্গে $f$ -এর সংযোজন।

বিশ্লেষণ হলো উল্টো দক্ষতা: $h(x) = \sqrt{3x + 7}$ দেওয়া থাকলে একটি অভ্যন্তরীণ ফাংশন $g(x) = 3x + 7$ ও একটি বাইরের ফাংশন $f(x) = \sqrt{x}$ বেছে নিন, যাতে $h = f \circ g$ হয়। সাধারণত একাধিক বৈধ বিকল্প থাকে, আর সবচেয়ে ভালো সেই বিভাজন যা পরের ধাপ, যেমন অন্তরজ নেওয়া বা বিপরীত নির্ণয়, সবচেয়ে সহজ করে। দুই দিকেই ক্যালকুলেটর দিয়ে অনুশীলন করলে ফাংশনকে স্তর হিসেবে দেখার অভ্যাস গড়ে ওঠে।

সাধারণ ভুল

ভুল ক্রমে ফাংশন প্রয়োগ করা; $f(g(x))$ -এ অভ্যন্তরীণ ফাংশন $g$ আগে কাজ করে।
সংযোজনের বদলে ফাংশন দুটি গুণ করা: $f(g(x))$ মানে $f(x)\,g(x)$ নয়।
প্রতিস্থাপনের সময় বন্ধনী বাদ দেওয়া, যা ঘাত ও চিহ্ন বদলে দেয়।
শুধু সরলীকৃত সূত্র থেকে ডোমেন নেওয়া এবং অভ্যন্তরীণ ফাংশনের শর্তগুলো হারিয়ে ফেলা।
$f \circ g = g \circ f$ ধরে নেওয়া; দুটি ক্রমই যাচাই করুন।

পরামর্শ

সরলীকৃত সংযোজিত ফাংশন যাচাই করতে একটি সহজ সংখ্যায় ধাপে ধাপে মান নির্ণয় করুন।
প্রতিস্থাপনের আগে বাইরের ফাংশনটি খালি বন্ধনী দিয়ে লিখুন।
আগে অভ্যন্তরীণ ফাংশনের ডোমেন-শর্তগুলো তালিকা করুন, তারপর বাইরের ফাংশনেরগুলো।
বিপরীত ফাংশন ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন, তারপর সংযোজন করে নিশ্চিত হোন যে $f(f^{-1}(x)) = x$ ।
চেইন রুল দিয়ে অন্তরজ নেওয়ার আগে অভ্যন্তরীণ ও বাইরের ফাংশনের নাম দিন।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন

f(g(x)) মানে কী?

এর মানে প্রথমে x-এ g প্রয়োগ করুন, তারপর ফলাফলে f প্রয়োগ করুন। সংযোজিত ফাংশনটি f∘g লেখা হয়, এবং ডানের ফাংশনটি সব সময় আগে কাজ করে।

f∘g কি g∘f-এর সমান?

সাধারণত নয়। f(x) = x² ও g(x) = x + 1-এর জন্য f(g(x)) = (x + 1)², কিন্তু g(f(x)) = x² + 1। ক্যালকুলেটর দিয়ে আপনি দুটি ক্রমই হিসাব করতে পারেন।

সংযোজিত ফাংশনের ডোমেন কীভাবে নির্ণয় করব?

অভ্যন্তরীণ ফাংশন যে ইনপুটগুলো অনুমোদন করে সেগুলো নিন, তারপর শুধু সেগুলোই রাখুন যাদের আউটপুট বাইরের ফাংশন অনুমোদন করে। সরলীকৃত সূত্র লুকিয়ে ফেললেও অভ্যন্তরীণ ফাংশনের শর্তগুলো থেকে যায়।

কোনো ফাংশনকে কি নিজের সঙ্গে সংযোজন করা যায়?

হ্যাঁ। f∘f বা g∘g বেছে নিন। f(x) = 2x + 1-এর জন্য f(f(x)) = 4x + 3, তাই f(f(3)) = 15।

সংযোজন চেইন রুলের সঙ্গে কীভাবে সম্পর্কিত?

চেইন রুল সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজ নেয়: f(g(x))-এর অন্তরজ হলো f′(g(x)) গুণ g′(x)। অভ্যন্তরীণ ও বাইরের ফাংশন চেনাই প্রথম ধাপ।

ক্যালকুলেটর কি কোনো বিন্দুতে সংযোজিত ফাংশনের মান নির্ণয় করে?

হ্যাঁ। x-এর একটি মান লিখুন, এটি ভেতর থেকে বাইরে মান নির্ণয় করবে: প্রথমে সেই মানে অভ্যন্তরীণ ফাংশন, তারপর ফলাফলে বাইরের ফাংশন। একই মান সরলীকৃত সূত্রে বসালে একই সংখ্যা পাওয়া উচিত।

দুটি ফাংশন একে অপরের বিপরীত কি না কীভাবে যাচাই করব?

দুই ক্রমেই সংযোজন করুন। প্রাসঙ্গিক ডোমেনে f(g(x)) ও g(f(x)) দুটিই সরল হয়ে x হলে ফাংশন দুটি একে অপরের বিপরীত।

আপনার ফাংশনগুলোর সংযোজন করুন

ওপরে f(x) ও g(x) লিখুন এবং প্রতিস্থাপন থেকে সরলীকৃত সূত্র ও ডোমেন পর্যন্ত প্রতিটি ধাপ দেখুন।

ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন AI ম্যাথ সলভারকে জিজ্ঞাসা করুন

ফাংশন সংযোজন ক্যালকুলেটর