আংশিক অন্তরজ ক্যালকুলেটর: fx, fy, মিশ্র ও দ্বিতীয় ক্রম

আংশিক অন্তরজ ক্যালকুলেটর সম্পর্কে

বিজ্ঞান ও অর্থনীতির বেশিরভাগ রাশি একাধিক ইনপুটের ওপর নির্ভর করে। একটি সিলিন্ডারের আয়তন নির্ভর করে তার ব্যাসার্ধ ও উচ্চতার ওপর, একটি কোম্পানির মুনাফা নির্ভর করে দাম ও বিজ্ঞাপন ব্যয়ের ওপর, আর একটি ঘরের তাপমাত্রা নির্ভর করে তিনটি স্থানাঙ্কের ওপরই। আংশিক অন্তরজ এমন ফাংশন সম্পর্কে একটি নির্দিষ্ট প্রশ্নের উত্তর দেয়: একটি ইনপুট সরলে এবং বাকি সব ইনপুট স্থির থাকলে আউটপুট কত দ্রুত বদলায়?

এই ক্যালকুলেটর সেই হারগুলো নির্ভুলভাবে নির্ণয় করে। $x^2 y + \sin(xy)$ -এর মতো একটি ফাংশন লিখুন, চলকটি বেছে নিন, আর এটি যোগ, ধ্রুবক গুণিতক, ঘাত, গুণফল ও শৃঙ্খল নিয়ম ব্যবহার করে পদে পদে অন্তরীকরণ করে, বাকি প্রতিটি অক্ষরকে ধ্রুবক ধরে। প্রতিটি নিয়ম আলাদা ধাপ হিসেবে আসে, তাই দেখতে পাবেন কেন $\cos(xy)$ -এর সামনে $y$ টিকে থাকে এবং $x$ -এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণে $4y$ -এর মতো পদ কেন মুছে যায়।

উচ্চতর ক্রমের অন্তরজও একইভাবে কাজ করে। $x$ -এ দ্বিতীয় আংশিক অন্তরজের জন্য xx লিখুন, অথবা প্রথমে $x$ -এ ও পরে $y$ -এ অন্তরীকরণ করা মিশ্র আংশিক অন্তরজের জন্য xy। সেখানে ফলের মান জানতে x = 1, y = 2-এর মতো একটি বিন্দু যোগ করুন। দেখানোর আগে প্রতিটি উত্তর একটি সংখ্যাগত সসীম-অন্তর আনুমানিক মানের সঙ্গে মিলিয়ে দেখা হয়।

আংশিক অন্তরজ কী?

একটি ফাংশন $f(x, y)$ -এর জন্য $x$ -এর সাপেক্ষে আংশিক অন্তরজ, যা লেখা হয় $\frac{\partial f}{\partial x}$ বা $f_x$ , হলো $y$ -কে একটি স্থির সংখ্যা ধরে পাওয়া সাধারণ অন্তরজ। আনুষ্ঠানিকভাবে, $f_x(x, y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$ । বাঁকা প্রতীক $\partial$ জানায় যে অন্য চলকও আছে এবং সেগুলো ধ্রুবক রাখা হচ্ছে।

জ্যামিতিকভাবে $f(x, y)$ -এর লেখচিত্র একটি তল। তলটিকে $y =$ ধ্রুবক সমতল দিয়ে কাটলে একটি বক্ররেখা পাওয়া যায়, আর $f_x$ হলো সেই বক্ররেখার ঢাল। একইভাবে $f_y$ হলো $y$ -দিকে কাটা অংশের ঢাল। প্রথম ক্রমের আংশিক অন্তরজগুলো মিলে গঠন করে গ্রেডিয়েন্ট ভেক্টর $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ , যা সবচেয়ে খাড়া বৃদ্ধির দিক নির্দেশ করে।

আংশিক অন্তরজ দেখা যায় অপটিমাইজেশনে (সংকট বিন্দু হলো যেখানে প্রথম ক্রমের সব আংশিক অন্তরজ শূন্য), পদার্থবিজ্ঞানে (তাপ, তরঙ্গ ও লাপ্লাস সমীকরণ এগুলো দিয়েই লেখা), অর্থনীতিতে (প্রান্তিক ব্যয় ও প্রান্তিক উপযোগ) এবং মেশিন লার্নিংয়ে, যেখানে গ্রেডিয়েন্টই প্রতিটি নিউরাল নেটওয়ার্কের প্রশিক্ষণ চালায়।

আংশিক অন্তরজ ক্যালকুলেটর কীভাবে ব্যবহার করবেন

যেকোনো অক্ষরকে চলক হিসেবে ব্যবহার করে ফাংশনটি লিখুন, যেমন x^2 y + sin(x y) বা x^3 y^2 + 4y। অক্ষরের মাঝে ফাঁকা স্থান বা * মানে গুণ।
দ্বিতীয় ঘরে যে চলকের সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করবেন তা লিখুন, যেমন x বা y।
উচ্চতর ক্রমের জন্য প্রতিটি অন্তরীকরণের জন্য একটি করে অক্ষর ক্রমানুসারে লিখুন: f_xx-এর জন্য xx, f_xy-এর জন্য xy (প্রথমে x, পরে y), আর তৃতীয় ক্রমের জন্য তিনটি অক্ষর।
চাইলে প্রতিটি চলকের একটি মান দিন, যেমন x = 1, y = 2, যাতে সেই বিন্দুতে অন্তরজের মান নির্ণয় হয়।
“অন্তরীকরণ করুন” চাপুন এবং ধাপগুলো অনুসরণ করুন; প্রতিটি ধাপে ব্যবহৃত নিয়মের নাম লেখা থাকে।

সূত্র

সংজ্ঞা

f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,\,y) - f(x,\,y)}{h}

মিশ্র আংশিক অন্তরজের চিহ্নপদ্ধতি

f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}

ক্লেরোর উপপাদ্য

f_{xy} = f_{yx}\quad\text{যখন দুটিই অবিচ্ছিন্ন}

গ্রেডিয়েন্ট

\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle

আংশিক অন্তরজের ভেতরে শৃঙ্খল নিয়ম

\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = \cos(xy)\cdot y

সমাধান করা উদাহরণ: x²y + sin(xy)-এর ∂/∂x

নিচের সমাধান করা উদাহরণটি $f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)$ -এর জন্য সরাসরি নির্ণীত, $x$ -এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে। $y$ ধ্রুবক থাকায় প্রথম পদটি একটি ধ্রুবক গুণ $x^2$ , তাই তা হয় $2xy$ । দ্বিতীয় পদে শৃঙ্খল নিয়ম লাগে: $\sin u$ -এর অন্তরজ হলো $\cos u$ গুণ $\frac{\partial u}{\partial x}$ , আর $u = xy$ -এর জন্য সেই ভেতরের অন্তরজ $y$ ।

অংশগুলো যোগ করলে পাওয়া যায় $2xy + y\cos(xy)$ , যাকে ক্যালকুলেটর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে $f_x = y(2x + \cos(xy))$ হিসেবে লেখে। লক্ষ করুন, $y$ -এর কখনো অন্তরীকরণ হয় না; একই জায়গায় সংখ্যা 5 থাকলে যেমন আচরণ করত, এটি ঠিক তেমনই করে।

নিচের সমাধানটি সেই একই ইঞ্জিন তৈরি করেছে, যা ওপরের ক্যালকুলেটরটি চালায়।

চূড়ান্ত উত্তর

\frac{\partial f}{\partial x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)

আমরা আপনার সমস্যাটি যেভাবে পড়েছি

f(x, y)-এর প্রথম আংশিক অন্তরজ f_x নির্ণয় করুন।

\frac{\partial f}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right]

ধাপে ধাপে সমাধান

ফাংশন ও অন্তরীকরণের ক্রম চিহ্নিত করুন
x-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করুন; অন্য প্রতিটি চলক (y) ধ্রুবক রাখা হয়।
$f = {x}^{2} y+\sin\left( x y\right)$
যোগের নিয়ম: প্রতিটি পদের আলাদাভাবে অন্তরীকরণ করুন
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right] = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$
শৃঙ্খল নিয়ম — d/dx[sin u] = cos u · u′
$\frac{\partial}{\partial x}\left[\sin\left( x y\right)\right] = \cos\left( x y\right) y$
ধ্রুবক গুণিতকের নিয়ম
$\frac{\partial}{\partial x}\left[ x y\right] = y$
ধ্রুবক গুণিতকের নিয়ম
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y\right] = 2y x$
ঘাতের নিয়ম: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
সরল করুন: f_x
$f_{x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$

ব্যবহৃত সূত্র

সংজ্ঞা
$f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}$
মিশ্র আংশিক অন্তরজ (ক্লেরো)
$f_{xy} = f_{yx}\ \text{যখন দুটিই অবিচ্ছিন্ন}$

আংশিক অন্তরজ মাপে কেবল একটি চলক সরলে f কীভাবে বদলায়: অন্য চলকগুলোকে হুবহু সংখ্যার মতো ধরা হয়, তাই সাধারণ অন্তরজের নিয়মগুলোই খাটে।

যাচাই

একটি স্বাধীন প্রতীকী অন্তরীকারকের সঙ্গে কয়েকটি নমুনা বিন্দুতে মিলিয়ে দেখা হয়েছে ✓

বিস্তারিত ব্যাখ্যা

অন্য চলকগুলো ধ্রুবক রাখা

প্রতিটি আংশিক অন্তরজের পেছনের একমাত্র ধারণা হলো, যেসব চলকের সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করছেন না সেগুলো জমাট বাঁধা। এটি বুঝতে কষ্ট হলে আগে সেগুলোর জায়গায় একটি প্রকৃত সংখ্যা বসান। $y$ -এর সাপেক্ষে $x^3 y^2 + 4y$ -এর অন্তরীকরণ হলো $x = 2$ অবস্থায় $8y^2 + 4y$ -এর অন্তরীকরণের মতো: উত্তরের আকার $2 \cdot 8y + 4$ , আর 8-এর জায়গায় আবার $x^3$ বসালে পাওয়া যায় $f_y = 2x^3 y + 4$ ।

এটি আরও ব্যাখ্যা করে কোন পদগুলো মুছে যায়। যে পদে কেবল জমাট চলক আছে তা একটি ধ্রুবক, তাই তার আংশিক অন্তরজ শূন্য। $f = x^2 + 3xy$ -এ $y$ -এর সাপেক্ষে আংশিক অন্তরজ $x^2$ -কে পুরোপুরি উপেক্ষা করে এবং দেয় $f_y = 3x$ ।

পরিচিত নিয়মগুলো এখনো খাটে

আংশিক অন্তরীকরণ এক চলকের ক্যালকুলাসের হুবহু একই নিয়ম ব্যবহার করে: ঘাত, যোগ, ধ্রুবক গুণিতক, গুণফল, ভাগফল ও শৃঙ্খল। একমাত্র পরিবর্তন হিসাব রাখায়। দুটি উৎপাদকেই $x$ থাকলে $x$ -এ অন্তরীকরণের সময় তাদের গুণফলে গুণফলের নিয়ম লাগে, কিন্তু একটি উৎপাদকে কেবল $y$ থাকলে তা নিছক একটি ধ্রুবক গুণক।

বেশিরভাগ ভুল হয় শৃঙ্খল নিয়মে। কোনো ফাংশন একাধিক চলকযুক্ত রাশিতে প্রয়োগ করা হলে, যেমন $e^{xy}$ বা $\ln(x^2 + y^2)$ , ভেতরের অন্তরজটিও একটি আংশিক অন্তরজ। তাই $\frac{\partial}{\partial x} e^{xy} = y e^{xy}$ , এবং $\frac{\partial}{\partial y} \ln(x^2 + y^2) = \frac{2y}{x^2 + y^2}$ ।

দ্বিতীয় ক্রমের ও মিশ্র আংশিক অন্তরজ

একটি আংশিক অন্তরজের আবার অন্তরীকরণ করলে দ্বিতীয় ক্রমের আংশিক অন্তরজ পাওয়া যায়। দুই চলকের ফাংশনের এমন চারটি আছে: $f_{xx}$ , $f_{yy}$ এবং মিশ্র আংশিক অন্তরজ $f_{xy}$ ও $f_{yx}$ । নিম্নলিপি চিহ্ন বাম থেকে ডানে পড়া হয়, তাই $f_{xy}$ মানে আগে $x$ -এ, পরে $y$ -এ অন্তরীকরণ। ভগ্নাংশ চিহ্ন $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ ডান থেকে বামে পড়া হয় এবং একই জিনিস বোঝায়।

$f = x^2 y^3$ -এর জন্য $x$ -এ অন্তরীকরণে পাওয়া যায় $2xy^3$ , তারপর $y$ -এ অন্তরীকরণে $f_{xy} = 6xy^2$ , যা $(1, 2)$ বিন্দুতে 24-এর সমান। উল্টো ক্রমে অন্তরীকরণ করলে আসে $3x^2y^2$ এবং তারপর আবার $6xy^2$ । এই মিলই ক্লেরোর উপপাদ্য: যেসব ফাংশনের দ্বিতীয় ক্রমের আংশিক অন্তরজ অবিচ্ছিন্ন, তাদের ক্ষেত্রে মিশ্র অন্তরীকরণের ক্রমে কিছু যায় আসে না। ক্যালকুলেটর যখনই মিশ্র আংশিক অন্তরজ নির্ণয় করে, তখনই যাচাই হিসেবে এটি উল্লেখ করে।

দ্বিতীয় ক্রমের আংশিক অন্তরজের বাস্তব ব্যবহার আছে। $f(x, y)$ -এর সংকট বিন্দুর দ্বিতীয় অন্তরজ পরীক্ষায় রাশি $D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2$ ঠিক করে বিন্দুটি স্থানীয় সর্বোচ্চ, স্থানীয় সর্বনিম্ন নাকি পর্যাণ বিন্দু।

বিন্দুতে মান নির্ণয় ও সংখ্যাটির ব্যাখ্যা

আংশিক অন্তরজ নিজেই সব চলকের একটি ফাংশন, তাই এর মান নির্ভর করে আপনি কোথায় আছেন তার ওপর। $f = x^2 + 3xy$ -এর জন্য অন্তরজ $f_x = 2x + 3y$ বিন্দু $(1, 2)$ -এ 8-এর সমান। এর অর্থ, এই বিন্দুর কাছে $y = 2$ রেখে $x$ -কে সামান্য পরিমাণ $\Delta x$ বাড়ালে $f$ প্রায় $8\,\Delta x$ বাড়ে।

একক ব্যাখ্যাটিকে মূর্ত করে। $V(r, h) = \pi r^2 h$ যদি ঘন সেন্টিমিটারে একটি সিলিন্ডারের আয়তন হয়, তবে $V_r = 2\pi r h$ মাপা হয় ব্যাসার্ধের প্রতি সেন্টিমিটারে ঘন সেন্টিমিটারে, এবং উচ্চতা স্থির থাকলে ব্যাসার্ধের পরিবর্তনে আয়তন কতটা সংবেদনশীল তা জানায়।

সাধারণ ভুল

ধ্রুবক রাখা চলকটিরও অন্তরীকরণ করা, যেমন $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy + x^2$ লেখা।
$x$ -এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণে $4y$ -এর মতো পদকে টিকে থাকা ধরা; এটি একটি ধ্রুবক এবং 0 দেয়।
শৃঙ্খল নিয়মে ভেতরের আংশিক অন্তরজ ভুলে যাওয়া, যেমন $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)$ -এর জন্য $\cos(xy)$ লেখা।
$f_{xy}$ ভুল ক্রমে পড়া; নিম্নলিপির ক্রমই অন্তরীকরণের ক্রম।
$y$ নিজে $x$ -এর ওপর নির্ভর করলে $\frac{\partial f}{\partial x}$ -কে সম্পূর্ণ অন্তরজ $\frac{df}{dx}$ -এর সঙ্গে গুলিয়ে ফেলা।

পরামর্শ

কোনটি ধ্রুবক তা গুলিয়ে গেলে মনে মনে জমাট চলকগুলোর জায়গায় সংখ্যা বসান।
অন্তরীকরণের আগে ধ্রুবকগুলো বাইরে আনুন; $x$ -এ অন্তরীকরণের সময় $x^2 y^3$ হলো $y^3$ গুণ $x^2$ ।
ক্লেরোর উপপাদ্যকে বিনা খরচের যাচাই হিসেবে ব্যবহার করুন: $f_{xy}$ ও $f_{yx}$ নির্ণয় করে তুলনা করুন।
প্রথম ক্রমের দুটি আংশিক অন্তরজ পেলেই $\nabla f$ লিখে ফেলুন; বেশিরভাগ প্রয়োগে পুরো গ্রেডিয়েন্ট লাগে।
রাশি সামলানোর মতো রাখতে দ্বিতীয়টি নেওয়ার আগে প্রথম অন্তরজ সরল করুন।
কোনো বিন্দুতে আংশিক অন্তরজের চিহ্ন দেখে বুঝুন ফাংশনটি সেই দিকে বাড়ছে না কমছে।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন

দুই চলকের ফাংশন কীভাবে লিখব?

চলকের জন্য অক্ষর এবং গুণের জন্য ফাঁকা স্থান বা * ব্যবহার করুন, যেমন x^2 y + sin(x y) বা x^2*y + sin(x*y)। sin বা log-এর মতো ফাংশনের নাম নয় এমন যেকোনো অক্ষরকে চলক ধরা হয়।

f_xx-এর মতো দ্বিতীয় আংশিক অন্তরজ কীভাবে পাব?

“যার সাপেক্ষে অন্তরীকরণ” ঘরে প্রতিটি অন্তরীকরণের জন্য একবার করে চলকটি লিখুন: f_xx-এর জন্য xx, f_yy-এর জন্য yy। ক্যালকুলেটর বারবার অন্তরীকরণ করে এবং প্রতিটি পর্যায় আলাদাভাবে দেখায়।

f_xy কি f_yx-এর সমান?

পাঠ্যক্রমে দেখা প্রায় প্রতিটি ফাংশনের ক্ষেত্রে, হ্যাঁ। মিশ্র আংশিক অন্তরজগুলো অবিচ্ছিন্ন হলেই ক্লেরোর উপপাদ্য তা নিশ্চিত করে। ক্যালকুলেটর তুলনাটি জানায়, যাতে মিলটি দেখতে পান।

∂ প্রতীকের অর্থ কী?

এটি আংশিক অন্তরজের জন্য ব্যবহৃত একটি গোলাকার d। এটি জানায় যে ফাংশনটির একাধিক চলক আছে এবং অন্তরীকরণের সময় হরে থাকা চলকটি ছাড়া বাকি সব ধ্রুবক রাখা হচ্ছে।

এটি কি কোনো বিন্দুতে আংশিক অন্তরজের মান নির্ণয় করতে পারে?

হ্যাঁ। ঐচ্ছিক ঘরে প্রতিটি চলকের মান দিন, যেমন x = 1, y = 2। ক্যালকুলেটর সেগুলো চূড়ান্ত অন্তরজে বসিয়ে সংখ্যাটি দেয়, যেমন f_x = 2x + 3y বিন্দু (1, 2)-এ হয় 8।

এটি কি তিন চলকের সঙ্গে কাজ করে?

হ্যাঁ। x y z বা x^2 + y z-এর মতো ফাংশনের যেকোনো অক্ষরের সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করা যায়। x y z-এর ক্ষেত্রে z-এর সাপেক্ষে আংশিক অন্তরজ হলো xy।

আংশিক অন্তরজ সাধারণ অন্তরজ থেকে কীভাবে আলাদা?

নিয়মগুলো অভিন্ন, তবে সাধারণ অন্তরজে একটি চলক থাকে, আর আংশিক অন্তরজ একাধিক চলকের মধ্যে একটিকে বেছে নেয় এবং বাকিগুলোকে ধ্রুবক ধরে। ফলটি তবুও সব চলকের একটি ফাংশন।

গ্রেডিয়েন্ট কী এবং আংশিক অন্তরজ কীভাবে তা গঠন করে?

গ্রেডিয়েন্ট হলো প্রথম ক্রমের সব আংশিক অন্তরজের ভেক্টর, যেমন ⟨f_x, f_y⟩। এটি সেই দিক নির্দেশ করে যেদিকে ফাংশন সবচেয়ে দ্রুত বাড়ে, এবং এর দৈর্ঘ্য হলো সেই সর্বোচ্চ বৃদ্ধির হার।

আমার আংশিক অন্তরজ পাঠ্যবইয়ের উত্তর থেকে আলাদা দেখায় কেন?

সমতুল্য রাশি নানাভাবে সাজানো যায়। ক্যালকুলেটর একটি সাধারণ পদ উৎপাদক হিসেবে বের করতে পারে, যেমন 2xy + y cos(xy)-এর বদলে y(2x + cos(xy)), অথবা উৎপাদকগুলো ভিন্ন ক্রমে সাজাতে পারে। মিলে কি না নিশ্চিত হতে দুটি রূপই বিস্তার করুন, অথবা একই বিন্দুতে দুটির মান নির্ণয় করুন।

আপনার আংশিক অন্তরজ নির্ণয় করুন

ওপরে একটি বহুচলক ফাংশন লিখুন, চলকটি বেছে নিন এবং প্রতিটি নিয়মসহ ধাপগুলো দেখুন।

ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন AI ম্যাথ সলভারকে জিজ্ঞাসা করুন

আংশিক অন্তরজ ক্যালকুলেটর