ডট গুণফল ক্যালকুলেটর: ভেক্টরের কোণ ও অভিক্ষেপ

ডট গুণফল ক্যালকুলেটর সম্পর্কে

দুটি ভেক্টর তুলনা করার সবচেয়ে সরল উপায় হলো ডট গুণফল। এটি অনুরূপ উপাংশগুলো গুণ করে ফলগুলো যোগ করে, এবং একটিমাত্র সংখ্যা দেয় যা মাপে ভেক্টর দুটি কতটা একই দিকে নির্দেশ করে। সেই সংখ্যা থেকে এদের মধ্যবর্তী কোণ বের করা যায়, এরা লম্ব কি না যাচাই করা যায় এবং একটি ভেক্টরকে অন্যটির ওপর অভিক্ষিপ্ত করা যায়।

এই ক্যালকুলেটর যেকোনো সংখ্যক উপাংশবিশিষ্ট ভেক্টর গ্রহণ করে, যদি দুটির দৈর্ঘ্য সমান হয়। এটি উপাংশের গুণফল, তাদের যোগফল, দুটি মান, ডিগ্রিতে কোণ এবং দ্বিতীয়টির ওপর প্রথম ভেক্টরের স্কেলার ও ভেক্টর অভিক্ষেপ দেখায়। কোনো ভেক্টর শূন্য ভেক্টর হলে এটি ব্যাখ্যা করে কেন কোণ সংজ্ঞায়িত করা যায় না।

ডট গুণফল কী?

$\mathbf{u} = \langle u_1, \dots, u_n \rangle$ ও $\mathbf{v} = \langle v_1, \dots, v_n \rangle$ -এর ডট গুণফল বা স্কেলার গুণফল হলো $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n$ । ক্রস গুণফলের বিপরীতে, এর ফল একটি সংখ্যা, ভেক্টর নয়।

জ্যামিতিকভাবে, $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\cos\theta$ , যেখানে $\theta$ ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ। কোণ সূক্ষ্মকোণ হলে ডট গুণফল ধনাত্মক, ভেক্টর দুটি লম্ব হলে শূন্য, আর কোণ স্থূলকোণ হলে ঋণাত্মক।

ডট গুণফল ক্যালকুলেটর কীভাবে ব্যবহার করবেন

প্রথম ভেক্টরের উপাংশগুলো কমা দিয়ে আলাদা করে লিখুন, যেমন 1, 2, 3।
একই সংখ্যক উপাংশ দিয়ে দ্বিতীয় ভেক্টরটি লিখুন।
“হিসাব করুন” চাপুন।
ডট গুণফল, মানগুলো এবং ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ পড়ুন।
একটি ভেক্টরের অন্যটির দিক বরাবর উপাংশ দরকার হলে অভিক্ষেপের ধাপটি ব্যবহার করুন।

সূত্র

ডট গুণফল

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i

মান

|\mathbf{u}| = \sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}

ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ

\cos\theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|}

v-এর ওপর u-এর অভিক্ষেপ

\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2}\,\mathbf{v}

সমাধান করা উদাহরণ: ⟨1,2,3⟩ · ⟨4,−5,6⟩

উদাহরণে $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ ও $\mathbf{v} = \langle 4, -5, 6 \rangle$ ব্যবহার করা হয়েছে। উপাংশের গুণফলগুলো 4, $-10$ ও 18, যাদের যোগফল 12।

মানগুলো $\sqrt{14}$ ও $\sqrt{77}$ , তাই $\cos\theta = \frac{12}{\sqrt{14}\sqrt{77}}$ এবং কোণটি প্রায় $68.56°$ । ধনাত্মক ডট গুণফল নিশ্চিত করে যে কোণটি সূক্ষ্মকোণ।

নিচের সমাধানটি সেই একই ইঞ্জিন তৈরি করেছে, যা ওপরের ক্যালকুলেটরটি চালায়।

চূড়ান্ত উত্তর

u v = 12

আমরা আপনার সমস্যাটি যেভাবে পড়েছি

দুটি 3-মাত্রিক ভেক্টরের ডট গুণফল।

\langle 1, 2, 3 \rangle \cdot \langle 4, -5, 6 \rangle

ধাপে ধাপে সমাধান

অনুরূপ উপাংশগুলো গুণ করুন
$(1)(4) + (2)(-5) + (3)(6)$
গুণফলগুলো যোগ করুন
$u v = 4 - 10 + 18 = 12$
মান নির্ণয় করুন
$|u| = \sqrt{14} = \sqrt{14} \approx 3.741657387,\quad |v| = \sqrt{77} = \sqrt{77} \approx 8.774964387$
ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ
$\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{12}{32.83291} \approx 0.36548694 \Rightarrow \theta \approx 68.562447° \ (1.1966404\text{ রেডিয়ান})$
v-এর ওপর u-এর স্কেলার ও ভেক্টর অভিক্ষেপ
$\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 1.3675269,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle \frac{48}{77}, -\frac{60}{77}, \frac{72}{77} \rangle$

ব্যবহৃত সূত্র

ডট গুণফল
$u \cdot v = \sum u_i v_i = |u||v|\cos\theta$

ডট গুণফল ধনাত্মক, তাই ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ সূক্ষ্মকোণ।

যাচাই

নির্ভুলভাবে হিসাব করা হয়েছে; ডট গুণফল প্রতিসম, তাই v·u-ও একই মান দেয়।

বিস্তারিত ব্যাখ্যা

কোণ ও লম্বতা পরিমাপ

জ্যামিতিক সূত্রটি পুনর্বিন্যাস করলে যেকোনো দুটি অশূন্য ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ পাওয়া যায়। কোণটি সূক্ষ্ম না স্থূল, তা কেবল $\cos\theta$ -এর চিহ্নই ঠিক করে, তাই কোনো মান হিসাব করার আগেই শুধু ডট গুণফলের চিহ্ন থেকে তা বোঝা যায়।

দুটি ভেক্টর ঠিক তখনই লম্ব, যখন এদের ডট গুণফল শূন্য। $\langle 1, 0 \rangle$ ও $\langle 0, 1 \rangle$ -এর ক্ষেত্রে ডট গুণফল 0 এবং কোণ $90°$ । এই পরীক্ষা যেকোনো মাত্রায় কাজ করে, আর এজন্যই চার বা তার বেশি মাত্রায়, যেখানে কোণ আঁকা যায় না, লম্বতা ডট গুণফলের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

অভিক্ষেপ

স্কেলার অভিক্ষেপ $\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ হলো $\mathbf{v}$ -এর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখার ওপর $\mathbf{u}$ -এর ছায়ার চিহ্নযুক্ত দৈর্ঘ্য। ভেক্টর অভিক্ষেপ $\mathbf{v}$ -এর দিকের একক ভেক্টরকে সেই দৈর্ঘ্য দিয়ে গুণ করে। $\mathbf{u}$ থেকে অভিক্ষেপ বিয়োগ করলে থাকে $\mathbf{v}$ -এর লম্ব উপাংশ, যা গ্রাম–শ্মিট প্রক্রিয়া ও ন্যূনতম বর্গ পদ্ধতির মূল ধারণা।

পদার্থবিজ্ঞানে, একটি ধ্রুব বল $\mathbf{F}$ কোনো বস্তুকে সরণ $\mathbf{d}$ বরাবর সরালে কৃতকাজ $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}$ : কেবল গতির দিক বরাবর বলের উপাংশই কাজ করে।

ধর্মসমূহ

ডট গুণফল বিনিময়যোগ্য, $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$ , এবং যোগের ওপর বণ্টনযোগ্য। একটি ভেক্টরের নিজের সঙ্গে ডট গুণফল তার দৈর্ঘ্যের বর্গ, আর এভাবেই মান হিসাব করা হয়। একটি ভেক্টরকে $k$ দিয়ে গুণ করলে ডট গুণফলও $k$ গুণ হয়, তবে $k$ ধনাত্মক হলে কোণ অপরিবর্তিত থাকে।

ডট গুণফল কোসাইন সূত্রের সঙ্গেও যুক্ত। $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = (\mathbf{u} - \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} - \mathbf{v})$ বিস্তার করলে পাওয়া যায় $|\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ , যা ভেক্টর দুটি ও তাদের অন্তর দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের জন্য হুবহু কোসাইন সূত্র। এই অভেদের কারণেই কোণের সূত্রটি কাজ করে।

সাধারণ ভুল

উত্তর হিসেবে ভেক্টর আশা করা; ডট গুণফল একটিমাত্র সংখ্যা।
অমিল উপাংশ বা ভিন্ন দৈর্ঘ্যের ভেক্টর গুণ করা।
মান হিসাব করার সময় বর্গমূল নিতে ভুলে যাওয়া।
কোণ ডিগ্রিতে দরকার হলেও ক্যালকুলেটর রেডিয়ানে রেখে দেওয়া।
ভুল ভেক্টরের ওপর অভিক্ষেপ করা; $\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}$ ও $\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}$ আলাদা।

পরামর্শ

প্রথমে লম্বতা যাচাই করুন: শূন্য ডট গুণফল মানে সমকোণ।
কোণ সূক্ষ্ম না স্থূল, তা আগেই অনুমান করতে ডট গুণফলের চিহ্ন ব্যবহার করুন।
আগে ভেক্টরগুলোকে দৈর্ঘ্য 1-এ প্রমিত করুন, তাহলে ডট গুণফল সরাসরি $\cos\theta$ -এর সমান হয়।
দুটির ওপরই লম্ব একটি ভেক্টর দরকার হলে ক্রস গুণফল ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন।
একসঙ্গে অনেকগুলো ডট গুণফল ম্যাট্রিক্স গুণফল হিসেবে হিসাব করতে ম্যাট্রিক্স ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন।
গুণ করার আগে প্রতিটি ভেক্টরকে অন্যটির পাশে কলাম হিসেবে লিখুন, যাতে অনুরূপ উপাংশগুলো এক সারিতে থাকে।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন

ডট গুণফল কীভাবে হিসাব করবেন?

দুটি ভেক্টরের অনুরূপ উপাংশগুলো গুণ করে গুণফলগুলো যোগ করুন। ⟨1, 2, 3⟩ ও ⟨4, −5, 6⟩-এর জন্য এতে পাওয়া যায় 4 − 10 + 18 = 12।

দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ কীভাবে বের করব?

ডট গুণফলকে মানগুলোর গুণফল দিয়ে ভাগ করে বিপরীত কোসাইন নিন। ক্যালকুলেটর এটি ডিগ্রিতে দেখায়।

শূন্য ডট গুণফল মানে কী?

ভেক্টর দুটি লম্ব, যদি কোনোটিই শূন্য ভেক্টর না হয়।

ডট গুণফল কি ঋণাত্মক হতে পারে?

হ্যাঁ। ঋণাত্মক ডট গুণফল মানে ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ 90°-এর চেয়ে বড়।

ক্যালকুলেটর কি তিনের বেশি মাত্রায় কাজ করে?

হ্যাঁ। ভেক্টরের যেকোনো সংখ্যক উপাংশ থাকতে পারে, যদি দুটি ভেক্টরের উপাংশ সংখ্যা সমান হয়।

ডট গুণফল ও ক্রস গুণফলের পার্থক্য কী?

ডট গুণফল একটি সংখ্যা দেয়, যা ভেক্টর দুটি কতটা একমুখী তা মাপে এবং যেকোনো মাত্রায় কাজ করে। ক্রস গুণফল দুটি ইনপুটের ওপরই লম্ব একটি ভেক্টর দেয় এবং ত্রিমাত্রিক ভেক্টরের জন্য সংজ্ঞায়িত।

একটি ভেক্টর শূন্য হলে কী হয়?

ডট গুণফল 0, কিন্তু কোণ অসংজ্ঞায়িত, কারণ শূন্য ভেক্টরের কোনো দিক নেই। ক্যালকুলেটর কোণ না দিয়ে এ কথা জানায়।

আপনার ভেক্টরের ডট গুণফল বের করুন

ওপরে দুটি ভেক্টর লিখুন এবং ডট গুণফল, মান, কোণ ও অভিক্ষেপ ধাপে ধাপে দেখুন।

ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন AI ম্যাথ সলভারকে জিজ্ঞাসা করুন

ডট গুণফল ক্যালকুলেটর