ডট গুণফলের ব্যাখ্যা

উপাংশের সূত্র

ডট গুণফল, যাকে স্কেলার গুণফলও বলে, একই দৈর্ঘ্যের দুটি ভেক্টর নিয়ে একটি ভেক্টর নয়, একটিমাত্র সংখ্যা দেয়। এটি হিসাব করতে সংশ্লিষ্ট উপাংশগুলো গুণ করে ফলগুলো যোগ করুন:

সূত্রটি যেকোনো সংখ্যক মাত্রায় কাজ করে, আর এ কারণেই উপাত্ত বিজ্ঞানে ডট গুণফল এত প্রচলিত, যেখানে ভেক্টরের হাজার হাজার উপাংশ থাকতে পারে। এটি ম্যাট্রিক্স গুণেরও মূল উপাদান: ম্যাট্রিক্স গুণফলের প্রতিটি ভুক্তি একটি সারি ও একটি কলামের ডট গুণফল।

জ্যামিতিক সূত্র ও ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ

ডট গুণফলের একটি দ্বিতীয়, জ্যামিতিক বর্ণনা আছে। দুটি ভেক্টর একই বিন্দু থেকে আঁকলে তাদের মধ্যবর্তী কোণ যদি $\theta$ হয়, তবে:

এখানে $|\mathbf{a}|$ হলো $\mathbf{a}$-এর দৈর্ঘ্য বা মান। দুটি সূত্র সবসময় মেলে, যা $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ ও $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ দিয়ে গঠিত ত্রিভুজে কোসাইন সূত্র প্রয়োগ করে পাওয়া যায়। দুটিকে মেলালে যেকোনো দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়ের একটি ব্যবহারিক উপায় পাওয়া যায়:

চিহ্ন যা বলে

দৈর্ঘ্য ধনাত্মক বলে ডট গুণফলের চিহ্ন $\cos\theta$-এর চিহ্নের সঙ্গে মেলে। এতে কোণ হিসাব না করেই এর একটি দ্রুত ধারণা পাওয়া যায়:

• ধনাত্মক: কোণটি সূক্ষ্মকোণ, 90 ডিগ্রির কম, এবং ভেক্টর দুটি মোটামুটি একই দিকে নির্দেশ করে।
• শূন্য: ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব, যাকে অর্থোগোনালও বলে।
• ঋণাত্মক: কোণটি স্থূলকোণ, 90 ডিগ্রির বেশি, এবং ভেক্টর দুটি মোটামুটি বিপরীত দিকে নির্দেশ করে।

শূন্যের ক্ষেত্রটিই সবচেয়ে কাজের। যেমন, $(3, 4) \cdot (4, -3) = 12 - 12 = 0$, তাই এই ভেক্টর দুটি লম্ব। দুই মাত্রায় একটি ভেক্টরের উপাংশ দুটি অদলবদল করে একটির চিহ্ন বদলালে সবসময় একটি লম্ব ভেক্টর পাওয়া যায়, যা রেখার অভিলম্ব খোঁজার একটি সহজ কৌশল।

দৈর্ঘ্য ও একক ভেক্টর

একটি ভেক্টরের নিজের সঙ্গে ডট গুণফল তার দৈর্ঘ্যের বর্গ দেয়, কারণ কোণটি শূন্য এবং $\cos 0 = 1$:

তাই $(2, -1, 3)$-এর দৈর্ঘ্য $\sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \approx 3.742$। একটি ভেক্টরকে তার দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করলে একটি একক ভেক্টর পাওয়া যায়, যার দৈর্ঘ্য 1 এবং যা একই দিকে নির্দেশ করে। একক ভেক্টর সুবিধাজনক, কারণ দুটি একক ভেক্টরের ডট গুণফল কেবল তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন।

একটি ভেক্টরকে অন্যটির ওপর অভিক্ষেপ

$\mathbf{b}$-এর ওপর $\mathbf{a}$-এর অভিক্ষেপ হলো সেই ছায়া, যা $\mathbf{b}$-এর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখার ওপর লম্বভাবে আলো পড়লে $\mathbf{a}$ ওই রেখায় ফেলে। ডট গুণফল এটি সরাসরি দেয়:

$\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$ সংখ্যাটি, এখানে প্রায় 4.427, হলো $\mathbf{b}$ বরাবর $\mathbf{a}$-এর স্কেলার উপাংশ: ছায়াটির চিহ্নযুক্ত দৈর্ঘ্য। অভিক্ষেপ একটি ভেক্টরকে একটি দিক বরাবর অংশ ও তার ওপর লম্ব অংশে ভাগ করে, যা পদার্থবিজ্ঞান থেকে পরিসংখ্যানের ন্যূনতম বর্গ পদ্ধতি পর্যন্ত সর্বত্র ব্যবহৃত একটি ধাপ।

বল দ্বারা কৃত কাজ

পদার্থবিজ্ঞানে বলের কেবল সেই অংশই কাজ করে, যা গতির দিক বরাবর ক্রিয়া করে। তাই একটি স্থির বল $\mathbf{F}$ একটি বস্তুকে $\mathbf{d}$ সরণে সরালে কৃত কাজ একটি ডট গুণফল: $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta$।

বৈশিষ্ট্য ও প্রয়োগ

• বিনিময় বিধি: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$।
• বণ্টন বিধি: $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$।
• স্কেলার বাইরে আনা যায়: $(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$।
• কোশি-শোয়ার্জ অসমতা: $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \le |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|$, যা নিশ্চিত করে কোসাইন সূত্র সবসময় $-1$ ও 1-এর মধ্যে একটি মান দেয়।

জ্যামিতির বাইরে ডট গুণফল চালায় কোসাইন সাদৃশ্য, যা সার্চ ইঞ্জিন ও সুপারিশ ব্যবস্থা দুটি নথি বা ব্যবহারকারী কতটা একরকম তা মাপতে ব্যবহার করে; 3D গ্রাফিক্সের আলো, যেখানে উজ্জ্বলতা নির্ভর করে পৃষ্ঠের অভিলম্ব ও আলোর দিকের ডট গুণফলের ওপর; এবং নিউরাল নেটওয়ার্ক, যার নিউরনগুলো ইনপুট ও ওজনের ডট গুণফল হিসাব করে। ডট গুণফল ক্যালকুলেটর ধাপসহ গুণফল, কোণ ও অভিক্ষেপ হিসাব করে, আর ক্রস গুণফল ক্যালকুলেটর ভেক্টর গুণের অন্য উপায়টি সামলায়, যা আমাদের ক্রস গুণফল নির্দেশিকায় আলোচিত।

জ্যামিতির একটি চিরায়ত সমস্যা

ডট গুণফল কিছু জ্যামিতিক প্রশ্নকে আশ্চর্য রকম দ্রুত করে দেয়। একটি ঘনকের দীর্ঘ কর্ণ তার একটি ধারের সঙ্গে কত কোণ তৈরি করে? ঘনকটিকে এমনভাবে রাখুন যাতে একটি কোণ মূলবিন্দুতে থাকে এবং দৈর্ঘ্য 1-এর ধারগুলো অক্ষ বরাবর থাকে। কর্ণটি মূলবিন্দু থেকে $(1, 1, 1)$ পর্যন্ত যায়, আর একটি ধার যায় $(1, 0, 0)$ পর্যন্ত।

এদের ডট গুণফল 1, কর্ণের দৈর্ঘ্য $\sqrt{3}$ এবং ধারের দৈর্ঘ্য 1, তাই $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ এবং $\theta \approx 54.7^\circ$। চিরায়ত জ্যামিতিতে এটি করতে ঘনকের ভেতরে একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে তার বাহুগুলো নিয়ে সাবধানে যুক্তি দিতে হয়; ভেক্টর দিয়ে লাগে মাত্র তিন লাইন। দিকগুলোকে ভেক্টর হিসেবে বর্ণনা করতে পারলে একই পদ্ধতিতে যেকোনো দুটি রেখা, সমতল বা রাসায়নিক বন্ধনের মধ্যবর্তী কোণ পাওয়া যায়।

সাধারণ ভুল

• উত্তরকে ভেক্টর হিসেবে লেখা, যেমন যোগফল 2-এর বদলে $(8, 0, -6)$।
• কোণের সূত্রের জন্য দৈর্ঘ্য হিসাবের সময় বর্গমূল নিতে ভুলে যাওয়া।
• ভেক্টর অভিক্ষেপের সূত্রে $|\mathbf{b}|^2$-এর বদলে $|\mathbf{b}|$ দিয়ে ভাগ করা।
• ক্যালকুলেটরে $\cos\theta$ বা এর বিপরীতের মান নির্ণয়ের সময় ডিগ্রি ও রেডিয়ান অসংগতভাবে ব্যবহার করা।
• ভেক্টর দুটিকে লম্ব ধরে নেওয়া, যখন আসলে এদের একটি শূন্য ভেক্টর।

চিহ্নটি একটি ভালো যৌক্তিকতা যাচাই। আপনার নকশায় দুটি ভেক্টর স্পষ্টতই কাছাকাছি দিকে নির্দেশ করলে ডট গুণফল অবশ্যই ধনাত্মক হবে; হিসাবে ঋণাত্মক সংখ্যা এলে কোনো একটি উপাংশে চিহ্নের ভুল খুঁজুন।

অনুশীলনী

এগুলো সমাধান করুন, তারপর পরের উত্তরগুলোর সঙ্গে মেলান। প্রথমত, $(1, 3, -2) \cdot (4, -1, 5)$ নির্ণয় করুন; গুণফলগুলো 4, $-3$ ও $-10$, তাই উত্তর $-9$, এবং ঋণাত্মক মান মানে কোণটি স্থূলকোণ। দ্বিতীয়ত, $k$ নির্ণয় করুন যাতে $(2, k)$ ভেক্টরটি $(3, -6)$-এর ওপর লম্ব হয়: $6 - 6k = 0$ ধরলে $k = 1$। তৃতীয়ত, $(1, 0)$ ও $(1, 1)$-এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করুন: ডট গুণফল 1 এবং দৈর্ঘ্য 1 ও $\sqrt{2}$, তাই কোণটি 45 ডিগ্রি, যা একটি দ্রুত নকশাও নিশ্চিত করে।

সংক্ষিপ্ত ইতিহাস

ভেক্টরের প্রতীকপদ্ধতি স্কুলের বেশিরভাগ গণিতের চেয়ে নবীন। 1840-এর দশকে উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিল্টন কোয়াটার্নিয়ন উদ্ভাবন করেন, যা একটি বাস্তব ও তিনটি কাল্পনিক অংশের সংখ্যা, এবং তাঁর দুটি বিশুদ্ধ কোয়াটার্নিয়নের গুণফলে একটি স্কেলার অংশ ও একটি ভেক্টর অংশ দুটিই থাকত। 1880-এর দশকে জোসায়া উইলার্ড গিবস ও অলিভার হেভিসাইড এই দুই অংশকে আলাদা করে ডট গুণফল ও ক্রস গুণফল করেন, যা পদার্থবিদদের সেই সরলতর ভেক্টর বীজগণিত দেয় যা আজও পড়ানো হয়। গিবস প্রতীক হিসেবে মাঝখানের বিন্দু (ডট) বেছে নেন, আর এভাবেই প্রক্রিয়াটি তার প্রচলিত নাম পায়।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন