দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণফলের ব্যাখ্যা

ক্রস গুণফল কী দেয়

ডট গুণফল দুটি ভেক্টরকে একটি সংখ্যায় পরিণত করে। ক্রস গুণফল, যাকে ভেক্টর গুণফলও বলে, দুটি ভেক্টরকে একটি তৃতীয় ভেক্টরে পরিণত করে। এটি কেবল তিন মাত্রায় সংজ্ঞায়িত, এবং ফলাফলের দুটি সংজ্ঞাসূচক বৈশিষ্ট্য আছে। এর দিক মূল দুটি ভেক্টরের উভয়ের ওপর লম্ব, এবং এর দৈর্ঘ্য তাদের গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের সমান:

এখানে $\theta$ হলো ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ, 0 থেকে 180 ডিগ্রি পর্যন্ত। 0 ও 180 ডিগ্রির সাইন শূন্য বলে সমান্তরাল ভেক্টরের ক্রস গুণফল সবসময় শূন্য, আর লম্ব ভেক্টরগুলো তাদের আকারের তুলনায় সর্বোচ্চ সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য দেয়।

উপাংশের সূত্র

$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ এবং $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$-এর জন্য উপাংশগুলো হলো:

এই সূত্র মুখস্থ রাখা কঠিন, তাই বেশিরভাগ মানুষ এর বদলে একটি প্রতীকী নির্ণায়ক ব্যবহার করেন। প্রথম সারিতে একক ভেক্টর $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ ও $\mathbf{k}$ বসান, তারপর $\mathbf{a}$ ও $\mathbf{b}$-এর উপাংশগুলো, এবং প্রথম সারি বরাবর বিস্তার করুন:

সবসময় দুটি ডট গুণফল যাচাই দিয়ে শেষ করুন। এতে কয়েক সেকেন্ড লাগে এবং প্রায় প্রতিটি চিহ্নের ভুল ধরা পড়ে, বিশেষত মাঝের উপাংশে।

ডান-হাতের নিয়ম ও ক্রম

দুটি বিপরীত দিকই উভয় ভেক্টরের ওপর লম্ব, এবং ডান-হাতের নিয়ম এদের একটি বেছে নেয়। ডান হাতের আঙুলগুলো $\mathbf{a}$ বরাবর রাখুন, সেগুলো $\mathbf{b}$-এর দিকে বাঁকান, তাহলে বুড়ো আঙুল $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ বরাবর নির্দেশ করবে। আদর্শ একক ভেক্টরগুলোর জন্য এটি দেয় $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$, $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ এবং $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$।

ক্রম উল্টালে বুড়ো আঙুল উল্টো দিকে নির্দেশ করে, তাই ক্রস গুণফল প্রতিবিনিময়ী:

এটি সংযোজ্যও নয়: $(\mathbf{i} \times \mathbf{i}) \times \mathbf{j} = \mathbf{0}$, অথচ $\mathbf{i} \times (\mathbf{i} \times \mathbf{j}) = \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}$। তবে এটি যোগের ওপর বণ্টিত হয়, এবং স্কেলার বাইরে আনা যায়, তাই $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$।

সামান্তরিক ও ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

এর দৈর্ঘ্য একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল বলে ক্রস গুণফল স্থানাঙ্ক থেকে সরাসরি ক্ষেত্রফল দেয়। উদাহরণ 1-এর ভেক্টর দুটি $|(-3, 6, -3)| = \sqrt{54} \approx 7.35$ ক্ষেত্রফলের একটি সামান্তরিক গঠন করে, এবং ওই দুটি বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার অর্ধেক, প্রায় 3.67।

অভিলম্ব ভেক্টর ও সমতলের সমীকরণ

একটি সমতল নির্ধারিত হয় তার ওপরের একটি বিন্দু এবং তার ওপর লম্ব একটি অভিলম্ব ভেক্টর দিয়ে। সমতলে অবস্থিত দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণফল উভয়ের ওপর লম্ব বলে এটি ঠিক তেমনই একটি অভিলম্ব। উদাহরণ 2-এ $(6, 3, 2)$ ভেক্টরটি $P$, $Q$ ও $R$-এর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমতলের অভিলম্ব, তাই সমতলের সমীকরণ $6x + 3y + 2z = d$। $P(1, 0, 0)$ বসালে পাওয়া যায় $d = 6$।

সমতলটি $6x + 3y + 2z = 6$, এবং $Q$ ও $R$-ও এটি সিদ্ধ করে: $3 \cdot 2 = 6$ এবং $2 \cdot 3 = 6$। একই ধারণা 3D গ্রাফিক্সে সারাক্ষণ ব্যবহৃত হয়, যেখানে একটি মডেলের প্রতিটি ত্রিভুজের একটি অভিলম্ব ভেক্টর দরকার, যাতে ঠিক করা যায় এটি কীভাবে আলোকিত হবে এবং কোন পাশ ক্যামেরার দিকে মুখ করে আছে।

টর্ক ও পদার্থবিজ্ঞানের অন্যান্য প্রয়োগ

টর্ক, অর্থাৎ বলের ঘূর্ণন প্রভাব, একটি ক্রস গুণফল: $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$, যেখানে $\mathbf{r}$ ঘূর্ণন-অক্ষবিন্দু থেকে বলের প্রয়োগবিন্দু পর্যন্ত বিস্তৃত। এর মান $|\mathbf{r}|\,|\mathbf{F}|\sin\theta$।

কৌণিক ভরবেগ এবং গতিশীল আধানের ওপর চৌম্বক বলও ক্রস গুণফল, এবং প্রতিটি ক্ষেত্রে ডান-হাতের নিয়ম ফলাফলের দিক দেয়।

স্কেলার ত্রৈধ গুণফল ও আয়তন

দুই ধরনের গুণফল মেলালে পাওয়া যায় স্কেলার ত্রৈধ গুণফল $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$, যা $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ ও $\mathbf{c}$ সারিবিশিষ্ট $3 \times 3$ নির্ণায়কের সমান। এর পরম মান তিনটি ভেক্টর দিয়ে গঠিত হেলানো বাক্সের আয়তন। $(1, 0, 0)$, $(0, 2, 0)$ ও $(0, 0, 3)$-এর জন্য বাক্সটি একটি সাধারণ আয়তাকার বাক্স এবং ত্রৈধ গুণফল $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$। ত্রৈধ গুণফল শূন্য হলে তিনটি ভেক্টর একই সমতলে অবস্থিত।

ক্রস গুণফল ক্যালকুলেটর নির্ণায়কের প্রতিটি ধাপ দেখিয়ে ক্রস গুণফল হিসাব করে, এবং ক্ষেত্রফল ও ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণও জানায়। লম্বতা যাচাইয়ের জন্য এর সঙ্গে ডট গুণফল ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন।

একটি বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্ব

ক্ষেত্রফলের ব্যাখ্যা দূরত্বের একটি চিরায়ত সমস্যাও সমাধান করে। একটি বিন্দু $A$-এর মধ্য দিয়ে দিক ভেক্টর $\mathbf{u}$ বরাবর একটি রেখা এবং রেখার বাইরে একটি বিন্দু $P$ নিন। $\overrightarrow{AP}$ ও $\mathbf{u}$ দিয়ে গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $|\overrightarrow{AP} \times \mathbf{u}|$, এবং এর ভূমি $|\mathbf{u}|$ বলে এর উচ্চতা, অর্থাৎ $P$ থেকে রেখার দূরত্ব, হলো ক্ষেত্রফলকে ভূমি দিয়ে ভাগ করলে যা হয়।

যেমন, মূলবিন্দুর মধ্য দিয়ে $(1, 2, 2)$ দিক বরাবর রেখা এবং $P(2, 1, 3)$ বিন্দুটি নিন। ক্রস গুণফল $(2, 1, 3) \times (1, 2, 2) = (-4, -1, 3)$-এর দৈর্ঘ্য $\sqrt{26}$, এবং দিক ভেক্টরের দৈর্ঘ্য 3, তাই দূরত্ব $\frac{\sqrt{26}}{3} \approx 1.70$। একটি অভিক্ষেপ দিয়ে এটি নিশ্চিত করা যায়: বিন্দুটি মূলবিন্দু থেকে $\sqrt{14}$ দূরে এবং রেখা বরাবর এর অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য $\frac{10}{3}$, আর পিথাগোরাসের উপপাদ্য একই দূরত্ব দেয়।

সাধারণ ভুল ও অনুশীলন

• নির্ণায়ক বিস্তারের সময় মাঝের উপাংশের বিয়োগ চিহ্ন ভুলে যাওয়া।
• ভেক্টরগুলোর ক্রম উল্টে ফেলা, যা উত্তরের দিক উল্টে দেয়।
• ক্রস গুণফলের দৈর্ঘ্যের অর্ধেকের বদলে পুরো দৈর্ঘ্যকে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হিসেবে নেওয়া।
• প্রথমে শূন্য তৃতীয় উপাংশ যোগ না করেই দ্বিমাত্রিক ভেক্টরের ক্রস গুণফল নেওয়ার চেষ্টা করা।

অনুশীলনের জন্য যাচাই করুন যে $(1, 0, 0) \times (0, 1, 0) = (0, 0, 1)$, যা $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ নিয়মটি। তারপর নিশ্চিত করুন যে $(1, 2, 3) \times (2, 4, 6)$ শূন্য ভেক্টর, কারণ দ্বিতীয় ভেক্টরটি প্রথমটির দ্বিগুণ। শেষে $(1, 1, 0) \times (0, 1, 1)$ হিসাব করুন; আপনার পাওয়া উচিত $(1, -1, 1)$, এবং দুটি ডট গুণফল যাচাইয়েরই ফল শূন্য আসা উচিত।

সূত্রটি কেন একটি লম্ব ভেক্টর দেয়

উপাংশের সূত্রে কেবল বিশ্বাস না রেখে এটি কেন কাজ করে তা দেখা সার্থক। ফলাফলের সঙ্গে স্বয়ং $\mathbf{a}$-এর ডট গুণফল নিন: পাবেন $a_1(a_2b_3 - a_3b_2) + a_2(a_3b_1 - a_1b_3) + a_3(a_1b_2 - a_2b_1)$। বন্ধনী খুললে প্রতিটি পদ বিপরীত চিহ্নে দুবার আসে, তাই মোট ঠিক শূন্য। $\mathbf{b}$-এর সঙ্গে ডট গুণফল নিলেও একই কাটাকাটি ঘটে। নির্ণায়কের ভাষায়, $\mathbf{a}$-এর সঙ্গে ডট গুণফল নেওয়া মানে একক ভেক্টরের সারিটিকে $\mathbf{a}$ দিয়ে প্রতিস্থাপন করা, যা দুটি সমান সারিবিশিষ্ট একটি নির্ণায়ক তৈরি করে, আর এমন নির্ণায়ক সবসময় শূন্য। যেভাবেই দেখুন, লম্বতা সূত্রের ভেতরেই নিহিত, নির্দিষ্ট উদাহরণের কাকতালীয় ঘটনা নয়।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন