ক্রস গুণফল ক্যালকুলেটর: 3 মাত্রিক ভেক্টর, ক্ষেত্রফল ও অভিলম্ব

ক্রস গুণফল ক্যালকুলেটর সম্পর্কে

ক্রস গুণফল ত্রিমাত্রিক স্থানের দুটি ভেক্টর নিয়ে তৃতীয় একটি ভেক্টর তৈরি করে, যা দুটির ওপরই লম্ব। কোনো সমতলের অভিলম্ব ভেক্টর বের করা, 3 মাত্রিক স্থানে সামান্তরিক বা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হিসাব করা, এবং পদার্থবিজ্ঞানে টর্ক ও কৌণিক ভরবেগের মতো ঘূর্ণনজনিত রাশি বর্ণনা করার এটিই প্রচলিত উপায়।

এই ক্যালকুলেটর পরিচিত নির্ণায়ক বিন্যাস ব্যবহার করে ত্রিমাত্রিক ভেক্টরের জন্য $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ হিসাব করে, যার প্রথম সারিতে থাকে $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ ও $\mathbf{k}$ । এটি প্রতিটি উপাংশ আলাদাভাবে দেখায়, মাঝের পদের সেই চিহ্ন পরিবর্তনসহ যা থেকে বেশিরভাগ ভুল হয়, তারপর মান দেয় এবং নিশ্চিত করে যে ফলটি দুটি ইনপুটের ওপরই লম্ব।

ক্রস গুণফল কী?

ভেক্টর $\mathbf{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle$ ও $\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ -এর ক্রস গুণফল হলো ভেক্টর $\langle u_2v_3 - u_3v_2,\; u_3v_1 - u_1v_3,\; u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$ । এটি ত্রিমাত্রিক ভেক্টরের জন্য সংজ্ঞায়িত, এবং ফলও আবার একটি ত্রিমাত্রিক ভেক্টর।

এর দিক $\mathbf{u}$ ও $\mathbf{v}$ দুটির ওপরই লম্ব, যা ডান হাতের নিয়মে ঠিক হয়: ডান হাতের আঙুলগুলো $\mathbf{u}$ থেকে $\mathbf{v}$ -এর দিকে বাঁকান, বুড়ো আঙুল নির্দেশ করবে $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ -এর দিক। এর দৈর্ঘ্য $|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta$ , যা ভেক্টর দুটি দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল।

ক্রস গুণফল ক্যালকুলেটর কীভাবে ব্যবহার করবেন

প্রথম ভেক্টরের তিনটি উপাংশ কমা দিয়ে আলাদা করে লিখুন, যেমন 1, 2, 3।
দ্বিতীয় ভেক্টরের তিনটি উপাংশ লিখুন।
“হিসাব করুন” চাপুন।
i, j ও k উপাংশ এবং ফলাফল ভেক্টরটি পড়ুন।
ক্ষেত্রফলের জন্য মানের ধাপ এবং ফল নিশ্চিত করতে লম্বতার যাচাই ব্যবহার করুন।

সূত্র

নির্ণায়ক রূপ

\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}

মান

|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta

বিপরীত বিনিময় ধর্ম

\mathbf{v} \times \mathbf{u} = -(\mathbf{u} \times \mathbf{v})

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

A = \tfrac12\,|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|

সমাধান করা উদাহরণ: ⟨1,2,3⟩ × ⟨4,5,6⟩

উদাহরণে $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ ও $\mathbf{v} = \langle 4, 5, 6 \rangle$ -এর ক্রস গুণফল নেওয়া হয়েছে। $\mathbf{i}$ উপাংশ $2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = -3$ ; $\mathbf{j}$ উপাংশ $-(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) = 6$ ; $\mathbf{k}$ উপাংশ $1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3$ ।

সুতরাং $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle -3, 6, -3 \rangle$ , যার মান $\sqrt{54} = 3\sqrt6 \approx 7.348$ , অর্থাৎ ভেক্টর দুটি দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল। প্রতিটি ইনপুটের সঙ্গে এর ডট গুণফল 0, যা নিশ্চিত করে যে এটি দুটির ওপরই লম্ব।

নিচের সমাধানটি সেই একই ইঞ্জিন তৈরি করেছে, যা ওপরের ক্যালকুলেটরটি চালায়।

চূড়ান্ত উত্তর

u \times v = \langle -3, 6, -3 \rangle

আমরা আপনার সমস্যাটি যেভাবে পড়েছি

দুটি 3D ভেক্টরের ক্রস গুণফল।

\langle 1, 2, 3 \rangle \times \langle 4, 5, 6 \rangle

ধাপে ধাপে সমাধান

প্রথম সারিতে একক ভেক্টর i, j, k রেখে নির্ণায়কটি লিখুন
$u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}$
i উপাংশ
$(2)(6) - (3)(5) = -3$
j উপাংশ (বিস্তারে বিয়োগ চিহ্নটি লক্ষ করুন)
$-\big((1)(6) - (3)(4)\big) = 6$
k উপাংশ
$(1)(5) - (2)(4) = -3$
মান =, অর্থাৎ u ও v দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
$|u \times v| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348469228$
লম্বতা যাচাই করুন
$(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0$

ব্যবহৃত সূত্র

ক্রস গুণফল
$u \times v = \langle u_2v_3 - u_3v_2,\ u_3v_1 - u_1v_3,\ u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$
মান
$|u \times v| = |u||v|\sin\theta$

ফলটি u ও v উভয়ের ওপর লম্ব; এর দৈর্ঘ্য 3√6 ≈ 7.348469228 হলো এদের দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল (ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার অর্ধেক)।

যাচাই

ফলটি দুটি ইনপুট ভেক্টরের ওপরই লম্ব (দুটি ডট গুণফলই 0)।

বিস্তারিত ব্যাখ্যা

নির্ণায়ক পদ্ধতি

একটি $3 \times 3$ নির্ণায়কের প্রথম সারিতে একক ভেক্টরগুলো লিখে সেই সারি বরাবর বিস্তার করাই সূত্রটি মনে রাখার সবচেয়ে সহজ উপায়। প্রতিটি উপাংশ হলো সেই একক ভেক্টরের কলাম বাদে বাকি কলামগুলো দিয়ে গঠিত একটি $2 \times 2$ নির্ণায়ক। সহগুণকের চিহ্ন-নকশা $+, -, +$ থেকে মাঝের পদে একটি বিয়োগ চিহ্ন আসে, আর এজন্যই ক্যালকুলেটর সেটি স্পষ্টভাবে চিহ্নিত করে।

ক্রস গুণফল যোগের ওপর বণ্টনযোগ্য, $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}$ , এবং যেকোনো ইনপুটকে গুণক দিয়ে গুণ করলে ফলও সেই গুণকে গুণিত হয়। তবে এটি সংযোজনযোগ্য নয়: $(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w}$ ও $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ সাধারণত ভিন্ন ভেক্টর। $\langle 1, 2, 0 \rangle$ ও $\langle 3, 4, 0 \rangle$ -এর মতো সমতলীয় ভেক্টরের ক্ষেত্রে ফল $\langle 0, 0, -2 \rangle$ সোজা $z$ -অক্ষ বরাবর নিচের দিকে নির্দেশ করে, আর এর দৈর্ঘ্য 2 হলো সমতলে সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল।

জ্যামিতিক অর্থ

ক্রস গুণফলের মান $\mathbf{u}$ ও $\mathbf{v}$ বাহুবিশিষ্ট সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের সমান, তাই এর অর্ধেক হলো এদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল। $P$ , $Q$ ও $R$ শীর্ষবিশিষ্ট ত্রিভুজের জন্য $\overrightarrow{PQ}$ ও $\overrightarrow{PR}$ -এর ক্রস গুণফল নিয়ে দৈর্ঘ্যের অর্ধেক নিন।

ভেক্টর দুটি সমান্তরাল হলে সামান্তরিকটি চুপসে যায় এবং ক্রস গুণফল শূন্য ভেক্টর হয়। $\langle 1, 2, 3 \rangle$ ও $\langle 2, 4, 6 \rangle$ -এর জন্য ক্যালকুলেটর দেয় $\langle 0, 0, 0 \rangle$ , যা সমান্তরাল ভেক্টরের একটি দ্রুত পরীক্ষা।

অভিলম্ব, সমতল ও পদার্থবিজ্ঞান

একটি সমতলে অবস্থিত দুটি দিক-ভেক্টরের ক্রস গুণফল সমতলটির একটি অভিলম্ব ভেক্টর দেয়, আর সমতলের একটি বিন্দু জানা থাকলে এর সমীকরণ লেখা যায় $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ । কম্পিউটার গ্রাফিক্সে একই হিসাব আলো ফেলার জন্য পৃষ্ঠের অভিলম্ব দেয়।

পদার্থবিজ্ঞানে টর্ক $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ , এবং গতিশীল আধানের ওপর চৌম্বক বল $q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ । প্রতিটি ক্ষেত্রে ফল দুটি ইনপুটের সমতলের লম্ব দিকে নির্দেশ করে, যেমনটা ডান হাতের নিয়ম বলে।

সাধারণ ভুল

$\mathbf{j}$ উপাংশের বিয়োগ চিহ্ন ভুলে যাওয়া।
ধরে নেওয়া যে $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{v} \times \mathbf{u}$ ; ক্রম উল্টালে দিকও উল্টে যায়।
আগে শূন্য তৃতীয় উপাংশ যোগ না করে দ্বিমাত্রিক ভেক্টরে ক্রস গুণফল প্রয়োগ করা।
ক্রস গুণফলকে ডট গুণফলের সঙ্গে গুলিয়ে ফেলা, যা একটি সংখ্যা দেয়।
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করার সময় মানকে অর্ধেক করতে ভুলে যাওয়া।

পরামর্শ

প্রতিটি ইনপুটের সঙ্গে ডট গুণফল নিয়ে উত্তর যাচাই করুন; দুটি ফলই 0 হতে হবে।
মনে রাখার সহায়ক হিসেবে $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ , $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ ও $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$ ব্যবহার করুন।
2 মাত্রিক ভেক্টরের জন্য তৃতীয় উপাংশ হিসেবে 0 লিখুন; তখন উত্তর $z$ -অক্ষ বরাবর নির্দেশ করে।
ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ বের করতে ডট গুণফল ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন।
স্কেলার ত্রৈধ গুণফল $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ -কে একটি $3 \times 3$ নির্ণায়ক হিসেবে হিসাব করতে নির্ণায়ক ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন।
হিসাবের আগে ভেক্টর দুটি এঁকে ডান হাতের নিয়ম প্রয়োগ করে প্রতিটি উপাংশের চিহ্ন অনুমান করুন।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন

ক্রস গুণফল কীভাবে হিসাব করবেন?

একটি 3×3 নির্ণায়কের প্রথম সারিতে i, j ও k এবং পরের সারিগুলোতে ভেক্টর দুটি বসান, তারপর প্রথম সারি বরাবর বিস্তার করুন। j উপাংশের বিয়োগ চিহ্নটি মনে রাখুন।

ক্রস গুণফলের মান কী নির্দেশ করে?

ভেক্টর দুটি দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল। এর অর্ধেক হলো এদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।

ক্রস গুণফল কি বিনিময়যোগ্য?

না। ক্রম উল্টালে দিক উল্টে যায়: v × u = −(u × v)।

2 মাত্রিক ভেক্টরের ক্রস গুণফল কি নেওয়া যায়?

সরাসরি নয়; ক্রস গুণফল তিনটি উপাংশের জন্য সংজ্ঞায়িত। প্রতিটি ভেক্টরের তৃতীয় উপাংশ হিসেবে 0 যোগ করুন, তখন ফল z-অক্ষ বরাবর নির্দেশ করবে।

শূন্য ক্রস গুণফল মানে কী?

ভেক্টর দুটি সমান্তরাল (অথবা একটি শূন্য ভেক্টর), তাই এরা কোনো ক্ষেত্রফল গঠন করে না।

ক্রস গুণফল কীভাবে যাচাই করব?

প্রতিটি মূল ভেক্টরের সঙ্গে এর ডট গুণফল নিন। দুটি ফলই শূন্য হওয়া উচিত, কারণ ক্রস গুণফল দুটি ইনপুটের ওপরই লম্ব। ক্যালকুলেটর আপনার হয়ে এই যাচাই করে।

কোনো সমতলের অভিলম্ব ভেক্টর কীভাবে বের করব?

সমতলে অবস্থিত দুটি অসমান্তরাল ভেক্টর নিয়ে এদের ক্রস গুণফল হিসাব করুন। ফলটি সমতলের ওপর লম্ব।

আপনার ভেক্টরের ক্রস গুণফল বের করুন

ওপরে দুটি ত্রিমাত্রিক ভেক্টর লিখুন এবং প্রতিটি উপাংশ, মান ও লম্বতার যাচাই ধাপে ধাপে দেখুন।

ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন AI ম্যাথ সলভারকে জিজ্ঞাসা করুন

ক্রস গুণফল ক্যালকুলেটর