উদাহরণসহ কোসাইন সূত্রের ব্যাখ্যা

সূত্রটি

ত্রিভুজের নাম দিন প্রচলিত উপায়ে: কোণ $A$, $B$, $C$, এবং তাদের বিপরীত বাহু $a$, $b$, $c$। কোসাইন সূত্রের তিনটি রূপ আছে, প্রতিটি বাহুর জন্য একটি, এবং সবগুলো একই ধাঁচ মেনে চলে:

এভাবে পড়ুন: একটি বাহুর বর্গ অন্য দুটি বাহুর বর্গের যোগফল থেকে একটি সংশোধন পদ বাদ দেওয়ার সমান। সংশোধন পদের কোণটি বাম পক্ষের বাহুর বিপরীত কোণ, যা ডান পক্ষের দুটি বাহুর অন্তর্ভুক্ত কোণও। $C = 90^\circ$ হলে $\cos C = 0$ এবং সংশোধনটি লোপ পায়, থাকে $c^2 = a^2 + b^2$। তাই পিথাগোরাসের উপপাদ্য এর একটি বিশেষ ক্ষেত্র।

কোসাইনের জন্য সমাধান করলে পাওয়া যায় কোণ নির্ণয়ে ব্যবহৃত রূপটি:

স্থানাঙ্ক দিয়ে একটি ছোট প্রমাণ

শীর্ষবিন্দু $C$-কে মূলবিন্দুতে এবং বাহু $a$-কে ধনাত্মক x-অক্ষ বরাবর রাখুন, তাহলে শীর্ষবিন্দু $B$ থাকে $(a, 0)$-তে। শীর্ষবিন্দু $A$ মূলবিন্দু থেকে কোণ $C$-এর দিকে $b$ দূরত্বে, তাই এর স্থানাঙ্ক $(b\cos C, b\sin C)$।

বাহু $c$ হলো $A$ থেকে $B$-এর দূরত্ব। দূরত্বের সূত্র অনুযায়ী $c^2 = (b\cos C - a)^2 + (b\sin C)^2$। বিস্তৃত করলে পাওয়া যায় $b^2\cos^2 C - 2ab\cos C + a^2 + b^2\sin^2 C$, এবং যেহেতু $\cos^2 C + \sin^2 C = 1$, এটি $a^2 + b^2 - 2ab\cos C$। $C$ সূক্ষ্মকোণ বা স্থূলকোণ যা-ই হোক, প্রমাণটি কাজ করে, কারণ স্থানাঙ্ক নিজে থেকেই চিহ্নগুলো সামলায়।

একই অভেদ ভেক্টর রূপে আসে $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$ হিসেবে, আর এ কারণেই ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়ে ডট গুণফল ব্যবহার করা যায়।

বাহু নির্ণয়: দুটি বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ

দুটি বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ (বাহু-কোণ-বাহু) জানা থাকলে সাইন সূত্র দিয়ে শুরু করা যায় না, কারণ কোনো বাহুই তার বিপরীত কোণের সঙ্গে জোড়া বাঁধা নেই। কোসাইন সূত্র সরাসরি তৃতীয় বাহুটি দেয়।

কোণ নির্ণয়: তিনটি বাহু

তিনটি বাহুই জানা থাকলে (বাহু-বাহু-বাহু) প্রতিটি কোণের জন্য কোসাইন রূপটি ব্যবহার করুন। বৃহত্তম কোণ, অর্থাৎ দীর্ঘতম বাহুর বিপরীত কোণ দিয়ে শুরু করুন। এটি স্থূলকোণ হলে এর কোসাইন ঋণাত্মক, এবং বিপরীত কোসাইন তা সঠিকভাবে সামলায়, কারণ এটি $0^\circ$ থেকে $180^\circ$ পর্যন্ত কোণ দেয়। বৃহত্তম কোণ জানা হয়ে গেলে বাকি দুটিকে সূক্ষ্মকোণ হতেই হবে, তাই সাইন সূত্রও কোনো দ্ব্যর্থতা ছাড়াই কাজ শেষ করতে পারত।

তিনটি দৈর্ঘ্য দিয়ে ত্রিভুজ গঠন সম্ভব না হলে সূত্রটিই তা জানিয়ে দেয়: কোসাইনের মান $[-1, 1]$-এর বাইরে আসে। 3, 4 ও 8 বাহুর ক্ষেত্রে 8-এর বিপরীত কোণের জন্য $\cos = \frac{9 + 16 - 64}{24} = -1.625$, যা অসম্ভব, এবং তা ত্রিভুজ অসমতা $3 + 4 < 8$-এর সঙ্গে মেলে।

ক্যালকুলেটর ছাড়াই সূক্ষ্মকোণী, সমকোণী নাকি স্থূলকোণী

$a^2 + b^2 - c^2$-এর চিহ্ন $\cos C$-এর চিহ্নের সঙ্গে মেলে। $c$ দীর্ঘতম বাহু হলে এটি একটি দ্রুত শ্রেণিবিভাগ দেয়:

• $c^2 < a^2 + b^2$: বৃহত্তম কোণটি সূক্ষ্মকোণ, তাই ত্রিভুজটি সূক্ষ্মকোণী।
• $c^2 = a^2 + b^2$: ত্রিভুজটি সমকোণী।
• $c^2 > a^2 + b^2$: ত্রিভুজটি স্থূলকোণী।

5, 7 ও 10 বাহুর জন্য $100 > 74$, তাই ত্রিভুজটি স্থূলকোণী, যেমন উদাহরণ 3 নিশ্চিত করেছে। 6, 8 ও 9-এর জন্য $81 < 100$, তাই এটি সূক্ষ্মকোণী।

তিন বাহু থেকে ক্ষেত্রফল: হেরনের সূত্র

কোসাইন সূত্রকে ক্ষেত্রফলের সূত্র $\frac{1}{2}ab\sin C$-এর সঙ্গে মেলালে পাওয়া যায় হেরনের সূত্র, যার জন্য কেবল বাহুর দৈর্ঘ্য দরকার। ধরুন $s = \frac{a + b + c}{2}$ হলো অর্ধপরিসীমা। তাহলে:

5, 7 ও 10 বাহুর জন্য $s = 11$ এবং ক্ষেত্রফল $\sqrt{11 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{264} \approx 16.25$। যাচাই হিসেবে, $\frac{1}{2}(5)(7)\sin 111.80^\circ$ একই 16.25 দেয়।

কোন সূত্র বেছে নেবেন

বাহু-কোণ-বাহু ও বাহু-বাহু-বাহু, যে দুটি ক্ষেত্রে বাহু ও বিপরীত কোণের কোনো জোড়া নেই, সেখানে কোসাইন সূত্র ব্যবহার করুন। একটি বাহু ও তার বিপরীত কোণ জানা থাকলে সাইন সূত্র ব্যবহার করুন। মিশ্র সমস্যায় প্রায়ই কোসাইন সূত্র আগে আসে এবং সাইন সূত্র কাজ শেষ করে। ত্রিভুজ সমাধানের নির্দেশিকা প্রতিটি ক্ষেত্র এক জায়গায় সাজিয়ে দেয়।

কোসাইন সূত্রের একটি ব্যবহারিক সুবিধা হলো, এটি কোণের জন্য কখনো দ্ব্যর্থক উত্তর দেয় না, কারণ $-1$ ও 1-এর মাঝের প্রতিটি কোসাইন $0^\circ$ ও $180^\circ$-এর মাঝের ঠিক একটি কোণের সংশ্লিষ্ট। অন্যদিকে সাইন সূত্র একটি সূক্ষ্মকোণকে তার স্থূল সম্পূরক কোণ থেকে আলাদা করতে পারে না। এ কারণেই স্থূলকোণ সম্ভব হলেই অনেক পাঠ্যবই কোসাইন দিয়ে বৃহত্তম কোণ নির্ণয়ের পরামর্শ দেয়।

সাধারণ ভুল

• আগে $a^2 + b^2 - 2ab$ হিসাব করে তারপর $\cos C$ দিয়ে গুণ করা। গুণ $2ab\cos C$ বিয়োগের আগেই করতে হবে।
• দেওয়া দুটি বাহুর অন্তর্ভুক্ত নয় এমন কোণ ব্যবহার করা।
• বাহু নির্ণয়ের সময় শেষে বর্গমূল নিতে ভুলে যাওয়া।
• ক্যালকুলেটরে ডিগ্রি ও রেডিয়ান মিশিয়ে ফেলা।
• $c$-কে আগেভাগে আসন্ন করে সেই আসন্ন মান দিয়ে কোণ নির্ণয় করা।

কোসাইন সূত্র ক্যালকুলেটর প্রতিটি প্রতিস্থাপন দেখিয়ে বাহু-কোণ-বাহু, বাহু-বাহু-বাহু ও অন্যান্য ক্ষেত্রের সমাধান করে। বিশেষ কোণে কোসাইনের যথার্থ মান ঝালিয়ে নিতে দেখুন একক বৃত্ত ক্যালকুলেটর।

কোসাইন সূত্র কোথায় ব্যবহৃত হয়

দুটি জানা দূরত্ব ও তাদের মধ্যবর্তী কোণ আছে এমন যেকোনো পরিস্থিতিই কোসাইন সূত্রের সমস্যা। নাবিকেরা ভিন্ন ভিন্ন দিকে যাত্রার দুটি পর্বের পর একটি জাহাজ বন্দর থেকে কত দূরে তা বের করতে এটি ব্যবহার করেন। প্রকৌশলীরা জানা কোণে মিলিত দুটি বিমের প্রান্ত যুক্তকারী ঠেকনা বা তারের দৈর্ঘ্য বের করতে এটি ব্যবহার করেন। রোবোটিক্সে দুই সংযোগের একটি বাহুর প্রতিটি সন্ধিকে কোনো বিন্দুতে পৌঁছাতে কোন কোণ নিতে হবে, তা কোণের জন্য কোসাইন সূত্র সমাধান করে বের করা হয়, কারণ দুটি সংযোগের দৈর্ঘ্য ও লক্ষ্যবিন্দুর দূরত্ব সবই জানা।

ডেটা বিজ্ঞানে সংখ্যার দুটি তালিকা কতটা সদৃশ তা একই সূত্র দিয়ে মাপা হয়। প্রতিটি তালিকাকে ভেক্টর হিসেবে ধরলে, ডট গুণফল থেকে হিসাব করা তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনকে কোসাইন সাদৃশ্য বলে, এবং এটি সার্চ ইঞ্জিন ও সুপারিশ ব্যবস্থায় ব্যবহৃত হয়। জ্যামিতিটি ত্রিভুজের রূপের সঙ্গে হুবহু এক; কেবল মাত্রার সংখ্যা বদলায়।

উত্তরসহ অনুশীলনী

1. 4 ও 6 দৈর্ঘ্যের বাহু $120^\circ$ কোণে মিলিত। তৃতীয় বাহু নির্ণয় করুন। উত্তর: $\sqrt{16 + 36 + 24} = \sqrt{76} \approx 8.72$, কারণ $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$।
2. 7, 8 ও 13 বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ নির্ণয় করুন। উত্তর: $\cos C = \frac{49 + 64 - 169}{112} = -\frac{1}{2}$, তাই কোণটি যথার্থভাবে $120^\circ$।
3. 9, 12 ও 15 বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজটি সূক্ষ্মকোণী, সমকোণী নাকি স্থূলকোণী? উত্তর: $81 + 144 = 225 = 15^2$, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ।
4. 13, 14 ও 15 বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। উত্তর: $s = 21$, ক্ষেত্রফল $= \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন