সাইন সূত্র, দ্ব্যর্থক ক্ষেত্রসহ

সূত্র ও নামকরণের রীতি

একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর নাম দিন $A$, $B$ ও $C$, এবং প্রতিটি কোণের বিপরীত বাহুকে যথাক্রমে $a$, $b$ ও $c$ বলুন। কোনো কোণের বিপরীত বাহু হলো সেটি, যা ওই কোণকে স্পর্শ করে না। এই রীতিতে সাইন সূত্র বলে:

এখানে $R$ হলো তিনটি শীর্ষবিন্দু দিয়ে যাওয়া বৃত্তের ব্যাসার্ধ, যাকে পরিবৃত্ত বলে। আপনি একসঙ্গে তিনটি ভগ্নাংশের কেবল দুটিই ব্যবহার করেন, তাই সূত্রটি আসলে একটি বাহু, তার বিপরীত কোণ, আরেকটি বাহু এবং সেই বাহুর বিপরীত কোণের মধ্যে একটি সমানুপাত। একে উল্টেও লেখা যায়, $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$, যা অজানাটি কোণ হলে বেশি সুবিধাজনক।

সূত্রটি কেবল সমকোণী ত্রিভুজ নয়, প্রতিটি ত্রিভুজের জন্য কাজ করে, আর এ কারণেই এটি তির্যক ত্রিভুজের ত্রিকোণমিতি নামে পরিচিত অংশের অন্তর্ভুক্ত। $C = 90^\circ$ বিশিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজে এটি পরিচিত $\sin A = \frac{a}{c}$-তে পরিণত হয়, কারণ $\sin 90^\circ = 1$।

সাইন সূত্র কেন সত্য

শীর্ষবিন্দু $C$ থেকে বাহু $c$-এর ওপর একটি লম্ব টানুন এবং এর দৈর্ঘ্যকে $h$ বলুন। এটি ত্রিভুজটিকে দুটি সমকোণী ত্রিভুজে ভাগ করে। কোণ $A$ যে ত্রিভুজে আছে তার অতিভুজ $b$, তাই $h = b\sin A$। কোণ $B$ যে ত্রিভুজে আছে তার অতিভুজ $a$, তাই $h = a\sin B$।

দুটি রাশিই একই উচ্চতার সমান, তাই $b\sin A = a\sin B$। দুই পক্ষকে $\sin A\sin B$ দিয়ে ভাগ করলে পাওয়া যায় $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$। অন্য একটি শীর্ষবিন্দু থেকে লম্ব নিয়ে যুক্তিটি পুনরাবৃত্তি করলে বাহু $c$ যুক্ত হয়। কোণ $A$ স্থূলকোণ হলে লম্বের পাদবিন্দু ত্রিভুজের বাইরে পড়ে, কিন্তু একই সমীকরণগুলো খাটে, কারণ $\sin(180^\circ - A) = \sin A$।

একই লম্ব ক্ষেত্রফলের সূত্র দেয়। ক্ষেত্রফল হলো ভূমি ও উচ্চতার গুণফলের অর্ধেক, তাই ভূমি $c$ ও উচ্চতা $b\sin A$ নিয়ে:

যেমন, 8 ও 11 দৈর্ঘ্যের দুটি বাহু $50^\circ$ কোণে মিলিত হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $\frac{1}{2}(8)(11)\sin 50^\circ \approx 33.71$ বর্গ একক।

কখন ব্যবহার করবেন: কোণ-কোণ-বাহু ও কোণ-বাহু-কোণ

সাইন সূত্রের জন্য অন্তত একটি পূর্ণ জোড়া দরকার: একটি বাহু এবং তার বিপরীত কোণ। দুটি কোণ জানলে তৃতীয়টিও জানা যায়, কারণ ত্রিভুজের কোণগুলোর যোগফল $180^\circ$। তাই দুটি কোণ ও একটি বাহু দেওয়া যেকোনো সমস্যা সাইন সূত্র দিয়ে সম্পূর্ণ করা যায়। এই ক্ষেত্রগুলোকে বলে কোণ-কোণ-বাহু এবং কোণ-বাহু-কোণ।

হিসাব করে আসন্ন মানে পরিণত করা বাহুর বদলে প্রতিটি হিসাবে দেওয়া বাহুটি ব্যবহার করুন। তাতে আসন্নীকরণের ত্রুটি জমতে পারে না।

দ্ব্যর্থক ক্ষেত্র (বাহু-বাহু-কোণ)

দুটি বাহু এবং তাদের একটির বিপরীত কোণ জানা থাকলে তথ্যটি কোনো ত্রিভুজ না-ও বোঝাতে পারে, ঠিক একটি, অথবা দুটি ভিন্ন ত্রিভুজ বোঝাতে পারে। কারণ হলো, একটি সূক্ষ্মকোণের সাইন আর তার সম্পূরক কোণের সাইন সমান, তাই $\sin B = k$ সমাধান করলে দুটি সম্ভাব্য কোণ পাওয়া যায়, $B$ ও $180^\circ - B$, এবং দুটিই খাপ খেতে পারে।

ধরুন কোণ $A$ সূক্ষ্মকোণ, $a$ তার বিপরীত বাহু এবং $b$ অন্য জানা বাহু। উচ্চতা $h = b\sin A$ হিসাব করুন। তাহলে:

• $a < h$ হলে বাহুটি ভূমি পর্যন্ত পৌঁছানোর জন্য খুব ছোট: কোনো ত্রিভুজ নেই।
• $a = h$ হলে এটি ঠিক পৌঁছায়: একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
• $h < a < b$ হলে এটি দুটি অবস্থানে ঘুরে যেতে পারে: দুটি ত্রিভুজ।
• $a \ge b$ হলে কেবল একটি অবস্থান কাজ করে: একটি ত্রিভুজ।

$A$ স্থূলকোণ হলে $a > b$ হলে একটি ত্রিভুজ আছে, অন্যথায় নেই, কারণ স্থূলকোণের বিপরীত বাহুকে দীর্ঘতম হতেই হবে।

জরিপের একটি সমস্যা

জরিপকারীরা যেসব দূরত্ব হেঁটে মাপা যায় না, সেগুলো মাপতে সাইন সূত্র ব্যবহার করেন। একটি নদীর এক তীরে দুটি বিন্দু $P$ ও $Q$ পরস্পর থেকে 100 মি দূরে। ওপারের তীরে একটি গাছ $T$ দাঁড়িয়ে আছে। $P$ বিন্দুতে তীর ও গাছের দিকে দৃষ্টিরেখার মধ্যবর্তী কোণ $52^\circ$, এবং $Q$ বিন্দুতে তা $71^\circ$।

ত্রিভুজের বড় বড় জাল জুড়ে পুনরাবৃত্ত এই একই ত্রিভুজীকরণ ধারণা দিয়ে উপগ্রহভিত্তিক অবস্থান নির্ণয় আসার আগে গোটা দেশের মানচিত্র তৈরি হয়েছিল, এবং জিপিএস রিসিভার ও ফোন নেটওয়ার্ক কোণ ও দূরত্ব থেকে কীভাবে অবস্থান অনুমান করে, তার ভিত্তি আজও এটিই।

সাইন সূত্র নাকি কোসাইন সূত্র?

দেখুন কী দেওয়া আছে। একটি বাহু ও তার বিপরীত কোণ, সঙ্গে আরও একটি অংশ থাকলে সাইন সূত্র ব্যবহার করুন। দুটি বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ (বাহু-কোণ-বাহু), অথবা তিনটি বাহুই (বাহু-বাহু-বাহু) জানা থাকলে কোনো পূর্ণ জোড়া পাওয়া যায় না, তাই কোসাইন সূত্র দিয়ে শুরু করুন। কোসাইন সূত্র একবার প্রয়োগের পর সাধারণত একটি জোড়া পাওয়া যায়, এবং সাইন সূত্র কাজটি শেষ করতে পারে, যদিও বিপরীত সাইনের দ্ব্যর্থতা এড়াতে আগে কোসাইন সূত্র দিয়ে বৃহত্তম কোণটি বের করা বেশি নিরাপদ।

প্রতিটি ক্ষেত্র ধরে সিদ্ধান্তের পুরো প্রক্রিয়া সাজানো আছে আমাদের ত্রিভুজ সমাধান নির্দেশিকায়। কোণের মানের জন্য, একক বৃত্ত ব্যাখ্যা করে কেন $\sin\theta = \sin(180^\circ - \theta)$, যা দ্ব্যর্থক ক্ষেত্রের উৎস।

সাধারণ ভুল

• কোনো বাহুকে এমন কোণের সঙ্গে জোড়া বাঁধা যা তার বিপরীত নয়। আগে ত্রিভুজটি এঁকে নাম দিন।
• বাহু-বাহু-কোণ ক্ষেত্রে দ্বিতীয় সমাধান $180^\circ - B$ ভুলে যাওয়া।
• এমন দ্বিতীয় সমাধান গ্রহণ করা, যাতে কোণগুলোর যোগফল $180^\circ$-এর বেশি হয়।
• ডিগ্রিতে দেওয়া কোণের জন্য রেডিয়ান মোডে ক্যালকুলেটর ব্যবহার করা।
• মধ্যবর্তী কোণগুলোকে অতিরিক্ত আসন্ন করা, যা চূড়ান্ত বাহুগুলোকে লক্ষণীয়ভাবে সরিয়ে দিতে পারে।

একটি দ্রুত যৌক্তিকতা পরীক্ষা বেশিরভাগ ভুল ধরে: দীর্ঘতম বাহু বৃহত্তম কোণের বিপরীতে এবং ক্ষুদ্রতম বাহু ক্ষুদ্রতম কোণের বিপরীতে থাকতে হবে। কোসাইন সূত্র ক্যালকুলেটর তিনটি জানা অংশ থেকে যেকোনো ত্রিভুজ সমাধান করে এবং দ্ব্যর্থক ক্ষেত্রে দুটি সমাধানই জানায়, তাই আপনি নিজের কাজ যাচাই করতে পারেন।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন