নির্দিষ্ট সমাকলন ক্যালকুলেটর

F(b) − F(a) কেন ক্ষেত্রফল দেয়

একটি ক্ষেত্রফল-ফাংশন $A(t)$ কল্পনা করুন, যা $a$ থেকে একটি চলমান বিন্দু $t$ পর্যন্ত $f$-এর নিচের ক্ষেত্রফল মাপে। $t$-কে সামান্য পরিমাণ $h$ এগিয়ে দিলে বাড়তি ক্ষেত্রফলটি প্রায় $f(t)$ উচ্চতা ও $h$ প্রস্থের একটি সরু ফালি, তাই $A(t+h) - A(t) \approx f(t)\,h$। $h$ দিয়ে ভাগ করে একে ছোট হতে দিলে দেখা যায় $A'(t) = f(t)$: ক্ষেত্রফল-ফাংশনটি $f$-এর একটি প্রতি-অন্তরজ।

যেকোনো দুটি প্রতি-অন্তরজ কেবল একটি ধ্রুবকে ভিন্ন, তাই আপনি যে প্রতি-অন্তরজ $F$-ই পান না কেন, $A(t) = F(t) + C$। যেহেতু $A(a) = 0$, ধ্রুবকটি $-F(a)$, এবং পূর্ণ ক্ষেত্রফল $A(b) = F(b) - F(a)$। এ কারণেই নির্দিষ্ট সমাকলনে সমাকলন ধ্রুবক কখনো দেখা যায় না: বিয়োগে এটি কেটে যায়।

চিহ্নযুক্ত ক্ষেত্রফল ও পরম ক্ষেত্রফল

লেখচিত্র অক্ষের নিচে নামলে সমাকলন সেই অংশ বিয়োগ করে। $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx$-এ ধনাত্মক কুঁজ ও ঋণাত্মক কুঁজ ঠিক কেটে যায়, এবং উত্তর হয় 0। এটিই সমাকলনের সঠিক মান, তবে লেখচিত্রে আপনি যে ক্ষেত্রফল ছায়া দিয়ে দেখাতেন তা নয়।

মোট ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে ব্যবধানের ভেতরে ফাংশনের শূন্যগুলো খুঁজুন, প্রতিটি অংশে সমাকলন করুন এবং অংশগুলোর পরম মান যোগ করুন। ক্যালকুলেটর abs() গ্রহণ করে, তাই 0 থেকে 2 পর্যন্ত abs(x-1) লিখলে ফেরত আসে 1, যা দুটি ত্রিভুজের মিলিত ক্ষেত্রফল, অথচ একই ব্যবধানে x-1 ফেরত দেয় 0।

অনুচিত সমাকলন: অসীম সীমা ও উল্লম্ব অসীমতট

কোনো প্রান্তবিন্দু অসীম হলে বা ব্যবধানের কোথাও সমাকল্য অসীমভাবে বেড়ে গেলে সমাকলনটি অনুচিত। তখন মানটি একটি সীমা হিসেবে সংজ্ঞায়িত হয়। $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$-এর জন্য ক্যালকুলেটর $F(x) = -\frac1x$ নির্ণয় করে, $x \to \infty$ অবস্থায় সীমা নেয়, যা 0, $F(1) = -1$ বিয়োগ করে এবং জানায় সমাকলনটি 1-এ অভিসারী।

একই ধারণা অসীমতটেও খাটে। $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ 2-এ অভিসারী, কারণ 0-তে $2\sqrt{x}$-এর সসীম সীমা আছে, অথচ $\int_0^1 \frac1x\,dx$ অপসারী, কারণ $\ln x$ যায় $-\infty$-এর দিকে। দুটি সমাকল্যই শূন্যে অসীম হয়ে যায়; ফলাফল নির্ধারণ করে কত দ্রুত তা ঘটে। বিচ্ছিন্নতা ব্যবধানের মাঝখানে থাকলে সেখানে সমাকলনটি ভাগ করতে হবে, এবং প্রতিটি অর্ধেককে আলাদাভাবে অভিসারী হতে হবে।

পুরো বাস্তব সংখ্যারেখায় দুই প্রান্তেই সীমা প্রয়োজন। ক্যালকুলেটর $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx$-কে $-\frac{\pi}{2}$ থেকে $\frac{\pi}{2}$ পর্যন্ত $\arctan x$ হিসেবে নির্ণয় করে এবং ঠিক $\pi$ ফেরত দেয়।

যখন কোনো সূত্র নেই: সংখ্যাগত সমাকলন

কিছু একেবারে সাধারণ ফাংশনের প্রতি-অন্তরজ প্রাথমিক ফাংশন দিয়ে লেখা যায় না। ঘণ্টাকৃতি $e^{-x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$ এবং $\sqrt{1 + x^3}$ প্রচলিত উদাহরণ। এদের নির্দিষ্ট সমাকলন তবু বিদ্যমান; কেবল সেগুলো সংখ্যাগতভাবে নির্ণয় করতে হয়।

সে ক্ষেত্রে ক্যালকুলেটর অভিযোজী সিম্পসন নিয়ম ব্যবহার করে, যা বক্ররেখার ছোট ছোট অংশে অধিবৃত্ত বসায় এবং যেখানে অনুমান এখনো যথেষ্ট নির্ভুল নয় সেখানে আরও ভাগ করে, $10^{-10}$-এর কম ত্রুটির লক্ষ্যে। $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$-এর জন্য এটি জানায় প্রায় 0.7468241328, যা সংখ্যাগত আসন্ন মান হিসেবে চিহ্নিত থাকে, যাতে কখনো নির্ভুল মানের সঙ্গে গুলিয়ে না যায়।

শ্রম বাঁচানো দরকারি বৈশিষ্ট্য

সীমা অদলবদল করলে চিহ্ন বদলায়, তাই $\int_1^0 x^2\,dx = -\frac13$। শূন্য প্রস্থের ব্যবধানে সমাকলন শূন্য। $x^3$ বা $\sin x$-এর মতো অযুগ্ম ফাংশনের জন্য প্রতিসম ব্যবধান $[-a, a]$-এ সমাকলন শূন্য, আর যুগ্ম ফাংশনের জন্য তা 0 থেকে $a$ পর্যন্ত সমাকলনের দ্বিগুণ। হিসাবের আগে প্রতিসাম্য চিনে ফেললে একটি জটিল সমস্যা এক লাইনের উত্তরে পরিণত হতে পারে।

সমাকলন রৈখিকও: ধ্রুবক বাইরে আসে এবং যোগফল আলাদা আলাদা সমাকলনে ভাগ হয়। ব্যবধান ভাগ করার নিয়মের সঙ্গে মিলিয়ে এই বৈশিষ্ট্যগুলো একটি জটিল অঞ্চলকে এমন অংশে ভাঙতে দেয় যার প্রতিটি সহজে সামলানো যায়।