مشتق کیا ہے؟ ایک واضح تعارف

اوسط شرح سے لمحاتی شرح تک

اگر کوئی گاڑی 2 گھنٹے میں 120 کلومیٹر طے کرے تو اس کی اوسط رفتار 60 کلومیٹر فی گھنٹہ ہے۔ یہ عدد اس رفتار کے بارے میں کچھ نہیں بتاتا جو کسی خاص لمحے رفتار پیما پر نظر آ رہی تھی، جو ٹریفک سگنل پر 0 یا موٹروے پر 100 رہی ہو سکتی ہے۔ مشتق رفتار پیما کی ریڈنگ کی ریاضیاتی صورت ہے: کسی وقفے کے بجائے ایک لمحے پر تبدیلی کی شرح۔

کسی بھی فنکشن $f$ کے لیے $x$ اور $x + h$ کے درمیان تبدیلی کی اوسط شرح گراف پر ان دو نقطوں سے گزرنے والے خط کی ڈھلوان ہے، جسے قاطع خط کہتے ہیں:

لمحاتی شرح حاصل کرنے کے لیے وقفہ چھوٹا کریں۔ جیسے جیسے $h$ عدد 0 کی طرف جاتا ہے، قاطع خط گھوم کر مماس خط کی طرف آتا ہے، یعنی وہ خط جو اس نقطے پر منحنی کو بس چھوتا ہے۔ قاطع ڈھلوانوں کی حد ہی مشتق ہے۔

رسمی تعریف

نقطہ $x$ پر $f$ کا مشتق یہ ہے

بشرطیکہ حد موجود ہو۔ جب موجود ہو تو $f$ کو $x$ پر قابلِ تفرق کہتے ہیں۔ آپ کسر میں سیدھا $h = 0$ نہیں رکھ سکتے، کیونکہ اس سے $\frac{0}{0}$ ملتا ہے۔ اس کے بجائے الجبرا سے سادہ کریں یہاں تک کہ نسب نما والا $h$ کٹ جائے، پھر حد لیں۔ اگر حد آپ کے لیے نیا موضوع ہے تو ہمارا حد کا رہنما پہلے یہ تصور سمجھاتا ہے۔

علامات

کئی علامات عام استعمال میں ہیں، اور سب کا مطلب ایک ہی ہے۔ لاگرانج کی پرائم علامت $f'(x)$ لکھتی ہے۔ لائبنز کی علامت $\frac{dy}{dx}$ یا $\frac{d}{dx}f(x)$ لکھتی ہے، جو یاد دلاتی ہے کہ مشتق چھوٹی تبدیلیوں کی نسبت ہے اور زنجیری قاعدے کو فطری بنا دیتی ہے۔ ماہرین طبیعیات وقت کے لحاظ سے مشتق کے لیے اکثر ایک نقطہ لگاتے ہیں، $\dot{x}$۔

مشتق دو بار لینے سے دوسرا مشتق ملتا ہے، جسے $f''(x)$ یا $\frac{d^2y}{dx^2}$ لکھتے ہیں۔ اگر $s(t)$ مقام ہو تو $s'(t)$ رفتار اور $s''(t)$ اسراع ہے۔

مشتق گراف کے بارے میں کیا بتاتا ہے

• جہاں $f'(x) > 0$ ہو، فنکشن بڑھ رہا ہوتا ہے۔
• جہاں $f'(x) < 0$ ہو، وہ گھٹ رہا ہوتا ہے۔
• جہاں $f'(x) = 0$ ہو، مماس افقی ہوتا ہے؛ مقامی انتہائی بڑی اور انتہائی چھوٹی قیمتیں ایسے ہی نقطوں پر آتی ہیں (یا جہاں $f'$ موجود نہ ہو)۔
• جہاں $f''(x) > 0$ ہو، گراف اوپر کی طرف مقعر ہوتا ہے اور پیالے کی طرح مڑتا ہے؛ جہاں $f''(x) < 0$ ہو، وہ نیچے کی طرف مقعر ہوتا ہے۔

وہ قواعد جو یہ کام تیز بناتے ہیں، جیسے یہاں استعمال ہونے والا قوت کا قاعدہ، مشتق کے قواعد کی وضاحت میں سمجھائے گئے ہیں۔

ایک طبیعی مثال: گرتا ہوا پتھر

سکون کی حالت سے چھوڑا گیا پتھر، ہوا کی مزاحمت نظر انداز کرتے ہوئے، $t$ سیکنڈ بعد $s(t) = 4.9t^2$ میٹر فاصلہ طے کرتا ہے۔ $t = 1$ اور $t = 3$ کے درمیان وہ 4.9 میٹر سے 44.1 میٹر تک گرتا ہے، اس لیے اس کی اوسط رفتار $\frac{44.1 - 4.9}{2} = 19.6$ میٹر فی سیکنڈ ہے۔

اس کی لمحاتی رفتار مشتق ہے، $s'(t) = 9.8t$ میٹر فی سیکنڈ۔ $t = 2$ پر یہ 19.6 میٹر فی سیکنڈ ہے، جو 1 سے 3 سیکنڈ کے وقفے کی اوسط کے بالکل برابر ہے؛ دو درجی فنکشن کے لیے کسی وقفے پر اوسط شرح ہمیشہ اس کے وسطی نقطے پر لمحاتی شرح کے برابر ہوتی ہے۔ دوسرا مشتق، $s''(t) = 9.8$ میٹر فی مربع سیکنڈ، کششِ ثقل کی وجہ سے مستقل اسراع ہے۔

اکائیاں کسی بھی مشتق کی اچھی جانچ ہیں۔ میٹر میں ناپی گئی مقدار کا سیکنڈوں میں وقت کے لحاظ سے مشتق میٹر فی سیکنڈ میں ناپا جاتا ہے۔ معاشیات میں ڈالر میں کل لاگت کا پیدا شدہ مقدار کے لحاظ سے مشتق حاشیائی لاگت ہے، جو ڈالر فی اکائی میں ہوتی ہے۔

جب مشتق موجود نہ ہو

کوئی فنکشن کسی نقطے پر قابلِ تفرق نہیں ہوتا اگر وہاں فرقی خارج قسمت کی حد موجود نہ ہو۔ گراف پر یہ چار طرح ظاہر ہوتا ہے:

• کونا، جیسے 0 پر $|x|$، جہاں بائیں سے ڈھلوان $-1$ اور دائیں سے $+1$ ہے۔
• نوک، جیسے 0 پر $x^{2/3}$، جہاں ڈھلوانیں مخالف سمتوں میں لامتناہی ڈھلوان بن جاتی ہیں۔
• عمودی مماس، جیسے 0 پر $\sqrt[3]{x}$، جہاں ڈھلوان لامتناہی ہے۔
• عدم استمرار، جیسے چھلانگ یا سوراخ۔

قابلِ تفرق ہونا استمرار کو لازم کرتا ہے: اگر $f'(a)$ موجود ہو تو $f$ نقطہ $a$ پر مسلسل ہے۔ اس کا الٹ درست نہیں، جیسا کہ $|x|$ دکھاتا ہے، کیونکہ وہ ہر جگہ مسلسل ہے مگر 0 پر اس کا کونا ہے۔

مشتق کا عددی اندازہ

جب فارمولا دستیاب نہ ہو، مثلاً ناپے گئے ڈیٹا کے ساتھ، تو مشتق کا اندازہ ایک چھوٹے قدم سے لگایا جا سکتا ہے۔ متشاکل فرقی خارج قسمت عموماً یک طرفہ صورت سے زیادہ درست ہوتی ہے:

$x = 0$ پر $f(x) = \sin x$ کے لیے $h = 0.01$ کے ساتھ یہ $\frac{\sin 0.01 - \sin(-0.01)}{0.02} \approx 0.99998$ دیتی ہے، جو درست قیمت $\cos 0 = 1$ کے بہت قریب ہے۔ گراف کیلکولیٹر اور اسپریڈشیٹ اسی قسم کا اندازہ استعمال کرتے ہیں۔ اس کے برعکس مشتق کیلکولیٹر علامتی طور پر مشتق لیتا ہے اور ہر لاگو کیا گیا قاعدہ دکھاتا ہے، اور حد کیلکولیٹر حد والی تعریف براہ راست نکالتا ہے۔

مشتق کہاں استعمال ہوتے ہیں

ہر وہ سوال جو کتنی تیزی سے، یا کون سی قیمت بہترین ہے، کی صورت میں ہو، مشتق کا سوال ہے۔ انجینئر سطحی رقبے کا مشتق صفر کے برابر رکھ کر کسی برتن کی وہ پیمائشیں نکالتے ہیں جن میں سب سے کم مواد لگے۔ ماہرین معاشیات منافع کو زیادہ سے زیادہ کرنے والی پیداوار کی سطح نکالتے ہیں، جو وہاں ہے جہاں حاشیائی آمدنی حاشیائی لاگت کے برابر ہو۔ ڈاکٹر ماڈل بناتے ہیں کہ خون میں کسی دوا کا ارتکاز وقت کے ساتھ کیسے بدلتا ہے، اور مشتق بتاتا ہے کہ وہ کب عروج پر ہوتا ہے۔

مشین لرننگ بہت بڑے پیمانے پر مشتقات پر انحصار کرتی ہے۔ کسی ماڈل کی تربیت کا مطلب غلطی کے کسی پیمانے کو کم کرنے کے لیے لاکھوں پیرامیٹر ایڈجسٹ کرنا ہے، اور ہر پیرامیٹر کو کس سمت لے جانا ہے یہ ایک مشتق بتاتا ہے، جس طریقے کو ڈھلوانی نزول کہتے ہیں۔ طبیعیات تقریباً پوری کی پوری مشتقات میں لکھی گئی ہے: نیوٹن کا دوسرا قانون کہتا ہے کہ قوت کمیت ضرب مقام کے دوسرے مشتق کے برابر ہے۔

مختصر تاریخ

آئزک نیوٹن اور گوٹفریڈ ولہلم لائبنز نے سترھویں صدی کے دوسرے نصف میں ایک دوسرے سے آزادانہ طور پر کیلکولس تیار کیا۔ نیوٹن وقت میں بہتی مقداروں کے لحاظ سے سوچتے تھے، جبکہ لائبنز لامتناہی چھوٹے فرقوں کے ساتھ کام کرتے تھے، اور ان کی $\frac{dy}{dx}$ علامت ہی آج زیادہ تر درسی کتابوں میں استعمال ہوتی ہے۔ ان کے طریقے شاندار طور پر کام کرتے تھے مگر لامتناہی چھوٹے اعداد کے مبہم تصورات پر قائم تھے۔ اس مضمون میں استعمال ہونے والی حد کی دقیق تعریف انیسویں صدی میں، زیادہ تر آگسٹن لوئی کوشی اور کارل وائرسٹراس نے، تیار کی، جس نے آخرکار اس مضمون کو ٹھوس بنیاد فراہم کی۔

اکثر پوچھے جانے والے سوالات