مواد پر جائیں
MathSolver Pro
  • میتھ سولور کھولیں
  • اے آئی ٹیوٹر سے پوچھیں
  • AP کورس تلاش کریں
  • کوئز بنائیں
  • کیلکولیٹر کھولیں
  • گرافنگ کیلکولیٹر
  • تمام کیلکولیٹر دیکھیں
  • ریاضی کی گائیڈز پڑھیں
↑ ↓کھولنے کے لیے Enter · بند کرنے کے لیے Esc
سوال حل کریں
سلسلے اور تسلسلالجبرایونیورسٹی≈ 2:00

n/2ⁿ کا n=1 سے ∞ تک مجموعہ معلوم کریں

ایک متحرک مرحلہ وار سبق۔ ہر مرحلہ سب ٹائٹلز کے ساتھ دیکھنے کے لیے چلائیں دبائیں، یا نیچے مراحل اور مکمل متن پڑھیں۔ جواب: سیریز کنورج کرتی ہے (ریشیو ٹیسٹ); مجموعہ ≈ 2 (مطابقت رکھتا ہے 2 10+ ہندسوں تک).

ریکارڈ شدہ ویڈیو: آواز اور تصویر میں لکھی تحریر انگریزی میں ہے۔ سب ٹائٹلز: اردو۔ اس زبان میں نیریشن (وضاحت) کے لیے، انٹرایکٹو ورژن کھولیں۔

انگریزی ویڈیو: MP4 ڈاؤن لوڈ کریں (0.7 MB) · سب ٹائٹلز (WebVTT): اردو · انگریزی کیپشنز (WebVTT)

اسکرین پر مراحل

  1. 1. سوال
    حل شدہ مثال
    ∑n=1∞n2n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{{2}^{n}}
  2. 2. مرحلہ وار
    1. ∑n=1∞n2n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{{2}^{n}}
      سلسلہ لکھیں
    2. lim⁡n→∞n2n=0\lim_{n\to\infty} \frac{n}{{2}^{n}} = 0
      n ویں رکن کی آزمائش
    3. L=lim⁡n→∞n+12n=12L = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n+1}{2}}{n} = \frac{1}{2}
      نسبتی آزمائش
    4. مجموعے کا عددی اندازہ
  3. 3. جواب
    ∑n=1∞n2n مرتکز≈2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{{2}^{n}} \ \text{مرتکز} \approx 2

    ratio test ⇒ converges, S ≈ 2 (matches 2 to 10+ digits)

  4. 4. جانچ
    • جزوی مجموعے (معاون شہادت، ثبوت نہیں): S₁₀ = 1.9882813، S₁₀₀ = 2، S₁₀₀₀ = 2، S₁₀₀₀₀ = 2

مکمل متن

سوال. یہ رہا سوال: n/2 کی طاقت n کا n برابر 1 سے انفینٹی تک مجموعہ معلوم کریں. معلوم کریں کہ 1 سے ∞) تک Σ n / 2 کی طاقت n (n مرتکز ہے یا منتشر۔

مرحلہ وار. سلسلہ لکھیں. Σ a(n) برائے n برابر 1, 2, 3، … جبکہ a(n) برابر n / 2 کی طاقت n۔ پہلے ارکان: 0.5, 0.5, 0.375, 0.25، …. n ویں رکن کی آزمائش. lim a(n) برابر 0، اس لیے انتشار کی آزمائش غیر فیصلہ کن ہے؛ ارکان گھٹتے ضرور ہیں، اس لیے زیادہ باریک آزمائش درکار ہے۔ نسبتی آزمائش. مثبت ارکان: a(n جمع 1)/a(n) سادہ ہو کر (n جمع 1) / 2 / n بنتا ہے، اور n → ∞ پر اس کی حد L برابر 1 تقسیم 2 ہے۔ L سے کم 1، اس لیے سلسلہ (مطلق طور پر) مرتکز ہے۔ مجموعے کا عددی اندازہ. جزوی مجموعے S N کئی N کے لیے نکالے گئے اور N → ∞ تک بیرونی تخمینہ لگایا گیا (رچرڈسن تخمینہ؛ متبادل حدوں میں پہلے اوسط لیا جاتا ہے)۔ دو آزاد تخمینے 10 کی طاقت منفی 10 سے بہتر متفق ہیں اور S تقریباً 2 دیتے ہیں۔ دکھائی گئی بند شکل ایک عددی شناخت ہے، ثبوت نہیں۔

جواب. تو جواب ہے سیریز کنورج کرتی ہے (ریشیو ٹیسٹ); مجموعہ تقریباً 2 (مطابقت رکھتا ہے 2 10+ ہندسوں تک). سلسلہ اس وقت مرتکز ہوتا ہے جب اس کے جزوی مجموعے کسی متناہی عدد کے قریب پہنچیں۔ اس کے لیے ارکان کا 0 کی طرف جانا ضروری ہے، مگر صرف اتنا کافی نہیں (ہارمونک سلسلہ منتشر ہے)، اس لیے فیصلے کے لیے موازنہ، نسبتی، جذری، متبادل یا تکملی آزمائش استعمال ہوتی ہے۔

جانچ. جزوی مجموعے (معاون شہادت، ثبوت نہیں): S₁₀ برابر 1.9882813، S₁₀₀ برابر 2، S₁₀₀₀ برابر 2، S₁₀₀₀₀ برابر 2.

اس جیسے مزید اسباق

n/2ⁿ کا n=1 سے ∞ تک مجموعہ معلوم کریں — مرحلہ وار ویڈیو سبق