অসমতা সমাধান এবং উত্তর ব্যবধি প্রতীকে লেখার উপায়

অসমতার প্রতীক এবং উত্তর দেখতে কেমন

অসমতা চারটি প্রতীকের একটি দিয়ে দুটি রাশির তুলনা করে: $<$ (ছোট), $>$ (বড়), $\le$ (ছোট বা সমান) এবং $\ge$ (বড় বা সমান)। এর সমাধান সাধারণত সংখ্যার একটি অসীম সেট, তাই উত্তর লেখা হয় একটি অসমতা, সংখ্যারেখার লেখচিত্র বা একটি ব্যবধি হিসেবে।

• $x < 5$ হলো ব্যবধি $(-\infty, 5)$; গোল বন্ধনী মানে 5 অন্তর্ভুক্ত নয়, সংখ্যারেখায় যা একটি ফাঁকা বৃত্ত দিয়ে দেখানো হয়।
• $x \le 3$ হলো $(-\infty, 3]$; বর্গ বন্ধনী মানে 3 অন্তর্ভুক্ত, যা একটি ভরাট বৃত্ত দিয়ে দেখানো হয়।
• $-2 \le x < 4$ হলো $[-2, 4)$।
• অসীমের পাশে সবসময় গোল বন্ধনী বসে, কারণ এটি এমন কোনো সংখ্যা নয় যা অন্তর্ভুক্ত করা যায়।

যে একটি নিয়ম সমীকরণ থেকে আলাদা

সমীকরণের মতোই আপনি দুই পক্ষে যেকোনো সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ করতে পারেন, এবং দুই পক্ষকে ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করতে পারেন। কিন্তু দুই পক্ষকে ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে অসমতার দিক উল্টে যায়।

কেন তা দেখতে সত্য বিবৃতি $-2 < 3$ দিয়ে শুরু করুন এবং দুই পক্ষকে $-1$ দিয়ে গুণ করুন। পাবেন $2$ ও $-3$, এবং $2 > -3$। ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে সংখ্যারেখা প্রতিফলিত হয়, যা কোন পক্ষ বড় তা অদলবদল করে দেয়। অসমতার দুই পক্ষ অদলবদল করলেও একই কথা খাটে: $5 > x$ আর $x < 5$ একই অর্থ বহন করে।

রৈখিক অসমতা

সীমার প্রতিটি পাশে একটি করে মান পরীক্ষা করতে দশ সেকেন্ড লাগে এবং প্রতিবারই ভুলে যাওয়া চিহ্ন-উল্টানো ধরে ফেলে।

যৌগিক অসমতা: এবং, অথবা

$-3 \le 2x + 1 < 9$-এর মতো দ্বৈত অসমতার অর্থ দুটি শর্তই খাটে। তিনটি অংশে একসঙ্গে একই প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে এটি সমাধান করুন।

উত্তর $[-2, 4)$, দুটি শর্তের সাধারণ অংশ। একটি অথবা-বিবৃতি, যেমন $x < -1$ অথবা $x \ge 3$, দুটি অংশের সংযোগ এবং লেখা হয় $(-\infty, -1) \cup [3, \infty)$।

পরমমান অসমতা

পরমমান $|A|$ হলো শূন্য থেকে $A$-এর দূরত্ব। $k$-এর চেয়ে কম দূরত্ব মানে শূন্যের কাছাকাছি থাকা, যা একটি ব্যবধি দেয়; $k$-এর চেয়ে বেশি দূরত্ব মানে দূরে থাকা, যা দুটি অংশ দেয়। $k > 0$-এর জন্য:

$k$ ঋণাত্মক হলে $|A| < k$-এর কোনো সমাধান নেই এবং $|A| > k$ প্রতিটি বাস্তব সংখ্যার জন্য সত্য, কারণ পরমমান কখনো ঋণাত্মক হয় না।

চিহ্ন-তালিকা দিয়ে দ্বিঘাত অসমতা

অসমতার দুই পাশে বর্গমূল নেওয়ার চেষ্টা করবেন না। বরং সবকিছু এক পক্ষে নিন, রাশিটি কোথায় শূন্য হয় খুঁজুন, এবং সেই বিন্দুগুলোর মাঝে চিহ্ন পরীক্ষা করুন।

লেখচিত্রে $y = x^2 - x - 6$ একটি ঊর্ধ্বমুখী অধিবৃত্ত, যা মূলগুলোর বাইরে x-অক্ষের ওপরে থাকে, এবং এটি চিহ্ন-তালিকার সঙ্গে মেলে। সহজে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা না গেলে দ্বিঘাত ক্যালকুলেটর মূলগুলো খুঁজে দেয়।

মূলদ অসমতা

হরে চলক থাকা অসমতায় কখনো দুই পক্ষকে সেই হর দিয়ে গুণ করবেন না: আপনি জানেন না সেটি ধনাত্মক না ঋণাত্মক। বরং লব ও হরের শূন্যগুলো নিয়ে একটি চিহ্ন-তালিকা ব্যবহার করুন।

দুই চলকের অসমতা

$y > 2x + 1$-এর মতো অসমতা তলের একটি অঞ্চল বর্ণনা করে। সীমারেখা $y = 2x + 1$ আঁকুন, কঠোর অসমতার জন্য ভাঙা রেখায় এবং $\le$ বা $\ge$-এর জন্য অবিচ্ছিন্ন রেখায়, তারপর যে পাশ অসমতাটি মানে তা ছায়াযুক্ত করুন। মূলবিন্দু পরীক্ষা করাই দ্রুততম: $0 > 1$ মিথ্যা, তাই যে পাশে $(0, 0)$ নেই সেটি ছায়াযুক্ত করুন। লেখচিত্র ক্যালকুলেটর এমন অসমতা সরাসরি ছায়াযুক্ত করে দেখায়।

প্রচলিত ভুল

• ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগের পরে চিহ্ন উল্টাতে ভুলে যাওয়া।
• অজানা চিহ্নের চলকযুক্ত রাশি দিয়ে গুণ করা।
• $|x - 4| < 3$-কে শুধু $x - 4 < 3$ হিসেবে লেখা, যাতে নিম্নসীমা হারিয়ে যায়।
• অসীমের পাশে বর্গ বন্ধনী ব্যবহার, বা প্রান্তবিন্দুতে ভুল বন্ধনী।
• এমন মান অন্তর্ভুক্ত করা যা হরকে শূন্য করে।

অসমতা ক্যালকুলেটর প্রতিটি ধাপ এবং ব্যবধি প্রতীক দেখায়। পুরো আলোচনায় ব্যবহৃত সমীকরণ সমাধানের কৌশলগুলোর জন্য দেখুন রৈখিক সমীকরণ কীভাবে সমাধান করবেন।

অসমতাসহ একটি কথায় প্রকাশিত সমস্যা

যখনই কোনো পরিস্থিতিতে সীমা, ন্যূনতম বা বাজেট থাকে, অসমতা দেখা দেয়। অন্তত, এর বেশি নয়, সর্বাধিক এবং ছাড়িয়ে যায়-এর মতো শব্দগুচ্ছ বলে দেয় কোন প্রতীক ব্যবহার করতে হবে: অন্তত মানে $\ge$, সর্বাধিক ও এর বেশি নয় মানে $\le$, এবং ছাড়িয়ে যায় বা এর চেয়ে বেশি মানে $>$।

প্রেক্ষাপট এমন একটি শর্ত যোগ করেছে যা শুধু বীজগণিত দেয়নি। বাস্তব সমস্যায় $t \ge 0$ বা পূর্ণ সংখ্যার শর্ত প্রায়ই লাগে, তাই চূড়ান্ত ব্যবধি লেখার আগে সবসময় জিজ্ঞেস করুন কোন মানগুলো অর্থবহ।

ব্যবধি-উত্তর যাচাই

অসমতার উত্তরের তিনটি অংশ থাকে, যার প্রতিটিতে ভুল হতে পারে: সীমার মানগুলো, প্রতিটি সীমা অন্তর্ভুক্ত কি না, এবং সীমার কোন পাশ রাখা হয়েছে। এই ক্রমেই যাচাই করুন। প্রতিটি সীমা মূল অসমতায় বসিয়ে দেখুন তা সমতা দেয় কি না, যা বলে দেয় প্রান্তবিন্দুটি উত্তরে থাকবে কি না। তারপর উত্তরের প্রতিটি ব্যবধির ভেতরের একটি মান এবং বাইরের একটি মান পরীক্ষা করুন।

মূলদ উদাহরণে $x = 1$ দেয় $\frac{0}{3} = 0$, এবং $0 \le 0$ সত্য, তাই 1 অন্তর্ভুক্ত। $x = -2$-এ রাশিটি অসংজ্ঞায়িত, তাই অসমতা সমতার অনুমতি দিলেও $-2$ বাদ। এই দুটি যাচাই $(-2, 1]$-এর বন্ধনীগুলো নিশ্চিত করে।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন