অসমতা ক্যালকুলেটর: ধাপে ধাপে অসমতার সমাধান

Q: ব্যবধান সংকেত কী?

বন্ধনী দিয়ে সমাধান সেট লেখার একটি পদ্ধতি। গোল বন্ধনী প্রান্তবিন্দু বাদ দেয়, তৃতীয় বন্ধনী তা অন্তর্ভুক্ত করে, আর অংশগুলো সংযোগ চিহ্ন দিয়ে জোড়া হয়।

Q: দ্বিঘাত অসমতা কীভাবে সমাধান করব?

সবকিছু এক পক্ষে আনুন, উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন বা মূল বের করুন, সংখ্যারেখায় সেগুলো চিহ্নিত করুন, প্রতিটি ব্যবধানে একটি মান পরীক্ষা করুন এবং যেখানে চিহ্ন মেলে সেই ব্যবধানগুলো রাখুন।

Q: মূলদ অসমতায় কিছু প্রান্তবিন্দু কেন বাদ যায়?

যে মানগুলো হরকে শূন্য করে সেগুলোতে রাশিটি অসংজ্ঞায়িত, তাই ছোট-অথবা-সমান বা বড়-অথবা-সমান চিহ্ন থাকলেও সেগুলো কখনো সমাধানের অংশ হতে পারে না।

Q: অসমতার কি কোনো সমাধান না থাকতে পারে?

হ্যাঁ। যেমন x² + 1 < 0-এর কোনো বাস্তব সমাধান নেই, কারণ x² + 1 সব সময় ধনাত্মক। ক্যালকুলেটর ফাঁকা সেট জানায়।

Q: অসমতা কি সব বাস্তব সংখ্যার জন্য সত্য হতে পারে?

হ্যাঁ। যেমন x² ≥ 0 প্রতিটি বাস্তব x-এর জন্য সত্য, আর ক্যালকুলেটর উত্তর দেয় সম্পূর্ণ বাস্তব সংখ্যারেখা।

অসমতা ক্যালকুলেটর সম্পর্কে

সমীকরণ জানতে চায় দুটি রাশি কোথায় সমান; অসমতা জানতে চায় কোথায় একটি অন্যটির চেয়ে বড় বা ছোট। উত্তর সাধারণত একটি সংখ্যা নয়, বরং সংখ্যার একটি পরিসর, যেমন 2 ও 3-এর মধ্যবর্তী সব $x$ । সঠিক বন্ধনী ও প্রান্তবিন্দুসহ সেই পরিসর নির্ভুলভাবে লেখাতেই সবচেয়ে বেশি নম্বর কাটা যায়।

এই ক্যালকুলেটর $3x - 5 \ge 7$ -এর মতো রৈখিক অসমতা, $x^2 - 5x + 6 < 0$ -এর মতো বহুপদী অসমতা, $\frac{x+1}{x-2} \le 0$ -এর মতো মূলদ অসমতা, $-3 < 2x + 1 \le 9$ -এর মতো যৌগিক অসমতা এবং $|x - 4| < 3$ -এর মতো পরমমান অসমতা সমাধান করে। এটি সব সময় দেখায় কোন বিন্দুগুলো সংখ্যারেখাকে ভাগ করে এবং প্রতিটি ব্যবধান পরীক্ষা করে, তাই আপনি বুঝতে পারেন উত্তরটি কেন এমন।

অসমতা কী?

অসমতা দুটি রাশিকে $<$ , $>$ , $\le$ বা $\ge$ চিহ্নগুলোর একটি দিয়ে তুলনা করে। এর সমাধান সেট হলো চলকের সেই সব মান যা তুলনাটিকে সত্য করে। $x + 2 > 5$ -এর সমাধান সেট হলো 3-এর চেয়ে বড় সব সংখ্যা, লেখা হয় $(3, \infty)$ ।

ব্যবধান সংকেতে বাদ পড়া প্রান্তবিন্দুর জন্য গোল বন্ধনী এবং অন্তর্ভুক্ত প্রান্তবিন্দুর জন্য তৃতীয় বন্ধনী ব্যবহৃত হয়। অসীমের পাশে সব সময় গোল বন্ধনী বসে, কারণ এটি এমন কোনো সংখ্যা নয় যেখানে পৌঁছানো যায়। আলাদা অংশগুলো সংযোগ চিহ্ন দিয়ে জোড়া হয়, যেমন $(-\infty, 1) \cup [4, \infty)$ ।

অসমতা ক্যালকুলেটর কীভাবে ব্যবহার করবেন

<, >, <= বা >= দিয়ে অসমতাটি লিখুন, যেমন x^2 - 5x + 6 < 0 বা 2x + 3 >= 7।
যৌগিক অসমতার জন্য দুটি তুলনাই এক লাইনে লিখুন, যেমন -3 < 2x + 1 <= 9।
পরমমানের জন্য abs() ব্যবহার করুন, যেমন abs(x - 4) < 3।
“সমাধান করুন” চাপুন। সংকট বিন্দু ও চিহ্ন সারণি দেখুন, তারপর ব্যবধান সংকেতে সমাধান সেট পড়ুন।

সূত্র

চিহ্ন উল্টে যাওয়া

a < b \text{ এবং } k < 0 \Rightarrow ka > kb

ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে অসমতার দিক উল্টে যায়।

পরমমান, ছোট

|u| < c \iff -c < u < c \quad (c > 0)

পরমমান, বড়

|u| > c \iff u < -c \ \text{অথবা}\ u > c

গুণফলের চিহ্ন

(x - r_1)(x - r_2) < 0 \iff r_1 < x < r_2 \quad (r_1 < r_2)

সমাধান করা উদাহরণ: x² − 5x + 6 < 0

উদাহরণে $x^2 - 5x + 6 < 0$ -কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে লেখা হয় $(x - 2)(x - 3) < 0$ । সংকট বিন্দু 2 ও 3 সংখ্যারেখাকে তিনটি ব্যবধানে ভাগ করে, আর ইঞ্জিন প্রতিটিতে একটি করে মান পরীক্ষা করে।

শুধু মাঝের ব্যবধানেই গুণফল ঋণাত্মক হয়, আর অসমতাটি কঠোর বলে প্রান্তবিন্দুগুলো বাদ যায়, তাই উত্তর খোলা ব্যবধান $(2, 3)$ ।

নিচের সমাধানটি সেই একই ইঞ্জিন তৈরি করেছে, যা ওপরের ক্যালকুলেটরটি চালায়।

চূড়ান্ত উত্তর

(2, 3)

আমরা আপনার সমস্যাটি যেভাবে পড়েছি

অসমতাটি সমাধান করে উত্তর ব্যবধান সংকেতে দিন।

{x}^{2}-5x+6 < 0

ধাপে ধাপে সমাধান

সবকিছু এক পক্ষে এনে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন
চিহ্ন সারণির জন্য f(x)-কে 0-এর সঙ্গে তুলনা করার আকার লাগে, উৎপাদকগুলোর গুণফল/ভাগফল হিসেবে লেখা।
$(x - 3)(x - 2) < 0$
সংকট বিন্দুগুলো নির্ণয় করুন
চিহ্ন বদলাতে পারে শুধু 2 (শূন্য), 3 (শূন্য)-তে।
প্রতিটি ব্যবধানে একটি বিন্দু পরীক্ষা করুন (চিহ্ন সারণি)
(-∞, 2): পরীক্ষা x = 1 → চিহ্ন + → বাদ; (2, 3): পরীক্ষা x = 2.5 → চিহ্ন − → অন্তর্ভুক্ত; (3, ∞): পরীক্ষা x = 4 → চিহ্ন + → বাদ
প্রান্তবিন্দুগুলো নির্ধারণ করুন
2: বাদ; 3: বাদ
সমাধান সেটটি লিখুন
$x \in (2, 3)$

ব্যবহৃত সূত্র

চিহ্ন উল্টে যাওয়া
$a < b,\; c < 0 \Rightarrow ac > bc$
পরমমান
$|A| < c \iff -c < A < c,\qquad |A| > c \iff A < -c \text{ অথবা } A > c$

অসমতাটি ঠিক তখনই সত্য যখন x থাকে (2, 3)-এ। যেসব বিন্দুতে রাশি অসংজ্ঞায়িত সেগুলো কখনো অন্তর্ভুক্ত হয় না, আর প্রান্তবিন্দু অন্তর্ভুক্ত হয় শুধু ≤ বা ≥-এর ক্ষেত্রে, যেখানে রাশির মান শূন্য।

যাচাই

x = 1: অসমতাটি সিদ্ধ করে না।
x = 2.5: অসমতাটি সিদ্ধ করে।
x = 4: অসমতাটি সিদ্ধ করে না।

বিস্তারিত ব্যাখ্যা

রৈখিক অসমতা

রৈখিক অসমতা ঠিক সমীকরণের মতো সমাধান করুন, শুধু একটি বাড়তি নিয়মসহ: দুই পক্ষকে যখনই কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করবেন, চিহ্নের দিক উল্টে দিন। $-2x > 6$ থেকে পাওয়া যায় $x < -3$ , কারণ $-\tfrac12$ দিয়ে গুণ করলে রেখার ওপর সংখ্যাগুলোর ক্রম উল্টে যায়।

কারণটি হলো, ঋণাত্মক করা সংখ্যারেখার দর্পণ প্রতিবিম্ব তৈরি করে। যদি $5 > 2$ হয়, তবে $-5 < -2$ । দুই পক্ষে একই সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ করলে দিক কখনো বদলায় না।

চিহ্ন সারণি পদ্ধতি

বহুপদী ও মূলদ অসমতার ক্ষেত্রে সবকিছু এক পক্ষে আনুন যাতে অন্য পক্ষ শূন্য হয়। তারপর সংকট বিন্দুগুলো খুঁজুন: লবের শূন্যবিন্দু এবং মূলদ রাশির ক্ষেত্রে হরের শূন্যবিন্দুও। বহুপদী কেবল শূন্যবিন্দুতেই চিহ্ন বদলাতে পারে, তাই পরপর দুটি সংকট বিন্দুর মধ্যে এর চিহ্ন স্থির থাকে।

প্রতিটি ব্যবধানের ভেতরে যেকোনো একটি পরীক্ষামূলক মান নিয়ে চিহ্ন নির্ণয় করুন। যে ব্যবধানগুলোতে চিহ্ন অসমতার সঙ্গে মেলে সেগুলো রাখুন। শেষে প্রতিটি প্রান্তবিন্দু ঠিক করুন: $\le$ বা $\ge$ হলে লবের শূন্যবিন্দু অন্তর্ভুক্ত হয়, কিন্তু হরের শূন্যবিন্দু সব সময় বাদ যায়, কারণ সেখানে রাশিটি অসংজ্ঞায়িত।

পুনরাবৃত্ত মূলে মনোযোগ দরকার। $(x - 1)^2 (x + 2) > 0$ -এ উৎপাদক $(x - 1)^2$ কখনো চিহ্ন বদলায় না, তাই $x = 1$ -এর দুই পাশে রাশিটির চিহ্ন একই থাকে। চিহ্ন সারণি এটি আপনাআপনি সামলায়, কিন্তু চিহ্ন পালাক্রমে বদলানোর সংক্ষিপ্ত কৌশল তা পারে না।

যৌগিক ও পরমমান অসমতা

$-3 < 2x + 1 \le 9$ -এর মতো যৌগিক অসমতা একসঙ্গে তিনটি অংশেই একই প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে সমাধান করা হয়, যা দেয় $-2 < x \le 4$ । পরমমান অসমতাকে যৌগিক অসমতায় রূপান্তর করা হয়: $|x - 4| < 3$ মানে $x$ থেকে 4-এর দূরত্ব 3-এর চেয়ে কম, তাই $1 < x < 7$ ।

সাধারণ ভুল

ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করার পর চিহ্ন উল্টাতে ভুলে যাওয়া।
দুই পক্ষকে $x - 2$ -এর মতো এমন রাশি দিয়ে গুণ করা যার চিহ্ন অজানা। এর বদলে চিহ্ন সারণি ব্যবহার করুন।
যে মান হরকে শূন্য করে তাকে সমাধান সেটে রাখা।
অসীমের পাশে তৃতীয় বন্ধনী ব্যবহার করা।
$|x| > 3$ -কে $-3 > x > 3$ লেখা, যা কোনো সংখ্যাই সিদ্ধ করে না; এর অর্থ $x < -3$ অথবা $x > 3$ ।

পরামর্শ

উৎপাদকে বিশ্লেষণের আগে এক পক্ষে শূন্য আনুন।
প্রতিবার সংকট বিন্দুসহ সংখ্যারেখা আঁকুন; এতে প্রান্তবিন্দুর বেশির ভাগ ভুল এড়ানো যায়।
মূল অসমতায় আপনার উত্তরের ভেতরের একটি মান এবং বাইরের একটি মান বসিয়ে যাচাই করুন।
কঠোর চিহ্ন গোল বন্ধনী দেয়; সমতাযুক্ত চিহ্ন লবের শূন্যবিন্দুতে তৃতীয় বন্ধনী দেয়।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন

ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন কেন উল্টে যায়?

ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে সংখ্যারেখায় সংখ্যাগুলোর ক্রম উল্টে যায়। যেমন 5 > 2, কিন্তু −5 < −2, তাই সত্য থাকতে হলে তুলনার দিকও উল্টাতে হবে।

ব্যবধান সংকেত কী?