বর্গ পূর্ণকরণ ক্যালকুলেটর: ধাপে ধাপে শীর্ষবিন্দু আকার

বর্গ পূর্ণকরণ ক্যালকুলেটর সম্পর্কে

বর্গ পূর্ণকরণ $2x^2 - 8x + 3$ -এর মতো দ্বিঘাত রাশিকে $2(x - 2)^2 - 5$ আকারে পরিণত করে। দ্বিতীয় আকারটি অনেক বেশি তথ্য দেয়: এক নজরে দেখা যায় যে অধিবৃত্তের সর্বনিম্ন বিন্দু $(2, -5)$ -এ, এটি ওপরের দিকে খোলে, এবং এটি কতটা প্রসারিত। একই কৌশলে দ্বিঘাত সূত্র প্রতিপাদন করা হয় এবং বৃত্ত ও উপবৃত্তকে আদর্শ আকারে আনা হয়।

এই ক্যালকুলেটর যেকোনো মুখ্য সহগ সামলায়, $0.5x^2 + 3x - 1$ -এর মতো ভগ্নাংশ ও দশমিকসহ। একটি রাশি দিলে এটি শীর্ষবিন্দু আকার ও শীর্ষবিন্দু দেয়; $= 0$ বা অন্য কোনো মানে শেষ হওয়া সমীকরণ দিলে এটি নির্ভুল সমাধান পর্যন্ত এগিয়ে যায়, অথবা অধিবৃত্তটি অক্ষ না কাটলে কেন কোনো বাস্তব সমাধান নেই তা ব্যাখ্যা করে।

বর্গ পূর্ণকরণ কী?

পূর্ণবর্গ ত্রিপদী হলো এমন ত্রিপদী যা কোনো দ্বিপদীর বর্গের সমান, যেমন $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ । এর ধ্রুবক পদ সব সময় $x$ -এর সহগের অর্ধেকের বর্গ। বর্গ পূর্ণকরণ মানে ঠিক সেই সংখ্যাটি যোগ ও বিয়োগ করা, যাতে রাশির একটি অংশ পূর্ণবর্গ হয়ে যায়।

ফলাফল হলো শীর্ষবিন্দু আকার, $a(x - h)^2 + k$ । বর্গ কখনো ঋণাত্মক হয় না বলে রাশিটির অবম মান ( $a > 0$ হলে) বা চরম মান ( $a < 0$ হলে) হলো $k$ , যা পাওয়া যায় $x = h$ হলে।

বর্গ পূর্ণকরণ ক্যালকুলেটর কীভাবে ব্যবহার করবেন

2x^2 - 8x + 3-এর মতো একটি দ্বিঘাত রাশি, অথবা x^2 - 4x - 1 = 0-এর মতো একটি সমীকরণ লিখুন।
সহগগুলো পূর্ণসংখ্যা, ভগ্নাংশ বা দশমিক হতে পারে।
“বর্গ পূর্ণ করুন” চাপুন। ক্যালকুলেটর a, b ও c চিহ্নিত করে, x-যুক্ত পদগুলো থেকে a বাইরে আনে, এবং রৈখিক সহগের অর্ধেকের বর্গ যোগ ও বিয়োগ করে।
শীর্ষবিন্দু আকার ও শীর্ষবিন্দু পড়ুন। সমীকরণ হলে বর্গমূলের ধাপ পেরিয়ে নির্ভুল সমাধান পর্যন্ত এগিয়ে যান।

সূত্র

পূর্ণবর্গ

x^2 + bx + \left(\tfrac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \tfrac{b}{2}\right)^2

সাধারণ শীর্ষবিন্দু আকার

ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}

শীর্ষবিন্দু

(h, k) = \left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

সমাধান করা উদাহরণ: 2x² − 8x + 3

উদাহরণে $2x^2 - 8x + 3$ -এর বর্গ পূর্ণ করা হয়েছে। যেহেতু $a = 2$ , ইঞ্জিন প্রথমে $x$ -যুক্ত পদগুলো থেকে 2 বাইরে আনে: $2(x^2 - 4x) + 3$ । $-4$ -এর অর্ধেক $-2$ এবং তার বর্গ 4।

বন্ধনীর ভেতরে 4 যোগ ও বিয়োগ করলে পাওয়া যায় $2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3 = 2(x - 2)^2 - 8 + 3$ , তাই শীর্ষবিন্দু আকার $2(x - 2)^2 - 5$ এবং শীর্ষবিন্দু $(2, -5)$ ।

নিচের সমাধানটি সেই একই ইঞ্জিন তৈরি করেছে, যা ওপরের ক্যালকুলেটরটি চালায়।

চূড়ান্ত উত্তর

2(x - 2)^{2} - 5

আমরা আপনার সমস্যাটি যেভাবে পড়েছি

বর্গ পূর্ণ করে দ্বিঘাত রাশিটি শীর্ষবিন্দু আকারে লিখুন।

ধাপে ধাপে সমাধান

a, b ও c চিহ্নিত করুন
a = 2, b = -8, c = 3
$2x^{2} - 8x + 3$
x-যুক্ত পদগুলো থেকে a = 2 বাইরে আনুন
$2\left(x^2 - 4x\right) + 3$
রৈখিক সহগের অর্ধেক নিয়ে বর্গ করুন
-4-এর অর্ধেক -2; এর বর্গ 4।
$\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4$
বন্ধনীর ভেতরে ওই বর্গটি যোগ ও বিয়োগ করুন
4 যোগ করলে একটি পূর্ণবর্গ ত্রিপদী তৈরি হয়; তা বিয়োগ করলে মান অপরিবর্তিত থাকে (বিয়োগ করা অংশটি বন্ধনী থেকে বেরোনোর সময় a = 2 দিয়ে গুণ হয়)।
$2\left(x^2 -4x + 4\right) - 8 + 3$
পূর্ণবর্গটি লিখুন এবং ধ্রুবকগুলো একত্র করুন
$2(x - 2)^{2} - 5$
শীর্ষবিন্দু পড়ুন
a(x − h)² + k-এ শীর্ষবিন্দু (h, k) = (2, -5); প্রতিসাম্য অক্ষ x = 2। যেহেতু a > 0, অধিবৃত্তটি ওপরের দিকে খোলে এবং k হলো অবম মান।

ব্যবহৃত সূত্র

বর্গ পূর্ণকরণ
$ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$
শীর্ষবিন্দু
$h = -\frac{b}{2a},\quad k = c - \frac{b^2}{4a}$

শীর্ষবিন্দু আকার: 2(x - 2)^2 - 5। শীর্ষবিন্দু (2, -5)।

যাচাই

2(x - 2)^2 - 5 বিস্তার করলে আবার 2x^2 - 8x + 3 পাওয়া যায়।

বিস্তারিত ব্যাখ্যা

সহগের অর্ধেকের বর্গ কেন?

$(x + p)^2$ বিস্তার করলে পাওয়া যায় $x^2 + 2px + p^2$ । $x^2 + bx$ -এর সঙ্গে তুলনা করলে মধ্যপদ মেলে যখন $2p = b$ , অর্থাৎ $p = b/2$ , এবং অনুপস্থিত ধ্রুবকটি $p^2 = (b/2)^2$ । জ্যামিতিকভাবে, $x^2 + bx$ হলো $x$ বাহুর একটি বর্গক্ষেত্র আর $x \times b/2$ মাপের দুটি আয়তক্ষেত্র; কোণের $(b/2)^2$ ক্ষেত্রফলের ছোট বর্গক্ষেত্রটিই বড় বর্গক্ষেত্রটি পূর্ণ করে।

মুখ্য সহগ 1 না হলে

শুধু $x^2$ ও $x$ -যুক্ত পদ থেকে $a$ বাইরে আনুন, ধ্রুবকটি বাইরে রেখে দিন। বন্ধনীর ভেতরে বর্গ পূর্ণ করুন, তারপর বিয়োগ করা বর্গটি বাইরে আনার সময় $a$ দিয়ে গুণ করুন। এই গুণ ভুলে যাওয়াই সবচেয়ে প্রচলিত ভুল: উদাহরণে বন্ধনীর ভেতরের $-4$ বাইরে এসে হয় $-8$ ।

$a$ ঋণাত্মক হলে অধিবৃত্তটি নিচের দিকে খোলে এবং শীর্ষবিন্দু হলো চরম বিন্দু। ক্যালকুলেটর ঋণাত্মক সহগটিও একইভাবে বাইরে আনে, তাই বন্ধনীর ভেতরের চিহ্নগুলো উল্টে যায়।

বর্গ পূর্ণ করে সমীকরণ সমাধান

$x^2 - 4x - 1 = 0$ -এর ক্ষেত্রে বর্গ পূর্ণ করলে পাওয়া যায় $(x - 2)^2 = 5$ । দুই চিহ্নসহ দুই পক্ষের বর্গমূল নিলে পাওয়া যায় $x - 2 = \pm\sqrt5$ , তাই $x = 2 \pm \sqrt5$ । সংখ্যার বদলে অক্ষর দিয়ে একই ধাপগুলো করলে দ্বিঘাত সূত্র পাওয়া যায়।

ডানপক্ষ ঋণাত্মক হলে, যেমন $x^2 + 6x + 13 = 0$ থেকে পাওয়া $(x + 3)^2 = -4$ , কোনো বাস্তব সমাধান নেই। ক্যালকুলেটর তা জানায়, এবং $\sqrt{-4} = 2i$ মেনে নিলে যে জটিল জোড় $-3 \pm 2i$ পাওয়া যায় সেটিও উল্লেখ করে।

শীর্ষবিন্দু আকার থেকে লেখচিত্র পড়া

শীর্ষবিন্দু আকার অধিবৃত্তটিকে $y = x^2$ -এর একটি রূপান্তর হিসেবে বর্ণনা করে। মান $h$ লেখচিত্রকে ডানে সরায় ( $h$ ঋণাত্মক হলে বামে), $k$ ওপরে বা নিচে সরায়, আর $a$ একে উল্লম্বভাবে প্রসারিত করে এবং ঋণাত্মক হলে উল্টে দেয়। প্রতিসাম্য অক্ষ হলো উল্লম্ব রেখা $x = h$ , তাই $h$ -এর দুই পাশে সমান দূরত্বের বিন্দুগুলোর উচ্চতা সমান।

এতে খসড়া আঁকা দ্রুত হয়। $2(x - 2)^2 - 5$ -এর জন্য শীর্ষবিন্দু $(2, -5)$ বসান, তারপর দুই পাশে এক একক সরুন: উচ্চতা বাড়ে $a \cdot 1^2 = 2$ , ফলে পাওয়া যায় $(1, -3)$ ও $(3, -3)$ । পরিসর সঙ্গে সঙ্গেই আসে $y \ge -5$ , আর এ কারণেই সংজ্ঞার অঞ্চল ও পরিসরের প্রশ্নে শীর্ষবিন্দু আকার স্বাভাবিক সূচনাবিন্দু।

সাধারণ ভুল

$(b/2)^2$ যোগ করে আবার বিয়োগ না করা, যা রাশিটিকেই বদলে দেয়।
$b/2$ -এর বদলে $b$ -কে বর্গ করা।
$a \ne 1$ হলে বিয়োগ করা বর্গটিকে $a$ দিয়ে গুণ করতে ভুলে যাওয়া।
সমীকরণ সমাধানের সময় শুধু ধনাত্মক বর্গমূল নেওয়া।
$a(x + 3)^2 + k$ -এর শীর্ষবিন্দু $x = 3$ পড়া; শীর্ষবিন্দু আসলে $x = -3$ -এ।

পরামর্শ

$x - h$ স্পষ্টভাবে লিখুন: $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$ , তাই $h = -3$ ।
শীর্ষবিন্দু আকার আবার বিস্তার করে আদর্শ আকারে এনে যাচাই করুন।
$b$ বিজোড় হলে দশমিকের বদলে ভগ্নাংশ ব্যবহার করুন; 5-এর অর্ধেক $\tfrac52$ ।
দ্রুত যাচাইয়ের জন্য আপনার শীর্ষবিন্দু $h = -b/(2a)$ -এর সঙ্গে মিলিয়ে দেখুন।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন

শীর্ষবিন্দু আকার কী?

a(x − h)² + k আকারে লেখা একটি দ্বিঘাত রাশি। বিন্দু (h, k) হলো অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, আর a এর দিক ও প্রস্থ নিয়ন্ত্রণ করে।

a-এর মান 1 না হলে বর্গ কীভাবে পূর্ণ করব?

x² ও x-যুক্ত পদ থেকে a বাইরে আনুন, বন্ধনীর ভেতরে বর্গ পূর্ণ করুন, তারপর বিয়োগ করা ধ্রুবকটি বাইরে আনার সময় a দিয়ে গুণ করুন।

বর্গ পূর্ণকরণ কি দ্বিঘাত সূত্রের চেয়ে ভালো?

দুটিই একই মূল দেয়। বর্গ পূর্ণকরণ শীর্ষবিন্দু আকারও দেয়, যা লেখচিত্র আঁকতে কাজে লাগে, আর সূত্রটি নিজেই এই পদ্ধতিতে প্রতিপাদিত হয়।

x-এর সহগ বিজোড় হলে কী করব?

ভগ্নাংশ নিয়ে কাজ করুন। x² + 5x-এর জন্য 25/4 যোগ ও বিয়োগ করলে পাওয়া যায় (x + 5/2)² − 25/4।

বর্গ পূর্ণকরণ কি জটিল সমাধান দিতে পারে?

হ্যাঁ। বর্গটি শেষে কোনো ঋণাত্মক সংখ্যার সমান হলে কোনো বাস্তব সমাধান নেই। ক্যালকুলেটর তা জানায় এবং a ± bi আকারে অনুবন্ধী জটিল জোড়টিও দেয়।

বৃত্তের ক্ষেত্রে বর্গ পূর্ণকরণ কীভাবে কাজে লাগে?

x ও y-তে আলাদাভাবে বর্গ পূর্ণ করলে x² + y² − 4x + 6y = 3-এর মতো সমীকরণ বৃত্তের আদর্শ আকারে আসে, যা তার কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ প্রকাশ করে।

বর্গ পূর্ণ করুন

ওপরে একটি দ্বিঘাত রাশি বা সমীকরণ লিখুন এবং শীর্ষবিন্দু আকার থেকে নির্ভুল সমাধান পর্যন্ত প্রতিটি ধাপ দেখুন।

ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন AI ম্যাথ সলভারকে জিজ্ঞাসা করুন

বর্গ পূর্ণকরণ ক্যালকুলেটর