n=1 থেকে ∞ পর্যন্ত 1/4ⁿ-এর সমষ্টির মান নির্ণয় করুন

সমস্যা. এই হলো সমস্যাটি: n সমান 1 থেকে অসীম পর্যন্ত 1 ভাগ 4 এর ঘাত n-এর সমষ্টির মান নির্ণয় করুন. 1 থেকে ∞) পর্যন্ত Σ 1 ভাগ 4 এর ঘাত n (n অভিসারী না অপসারী তা নির্ধারণ করুন।

ধাপে ধাপে. ধারাটি লিখুন. Σ a(n), যেখানে n সমান 1, 2, 3, … এবং a(n) সমান 1 ভাগ 4 এর ঘাত n। প্রথম পদগুলো: 0.25, 0.0625, 0.015625, 0.00390625, …. গুণোত্তর ধারা চিহ্নিত করুন. প্রতিটি পদ আগের পদ গুণ r সমান 1 ভাগ 4 (প্রথম 40টি পদের জন্য যাচাই করা হয়েছে), প্রথম পদ a সমান 1 ভাগ 4। যেহেতু |r| এর চেয়ে ছোট 1, ধারাটি অভিসারী এবং এর যোগফল a/(1 বিয়োগ r) সমান 1 ভাগ 3 প্রায় 0.3333333333।

উত্তর. সুতরাং উত্তর হলো ধারাটি অভিসারী (গুণোত্তর ধারা (|r| এর চেয়ে ছোট 1)); যোগফল সমান 1 ভাগ 3. আংশিক যোগফল একটি সসীম সংখ্যার দিকে গেলে ধারা অভিসারী হয়। তার জন্য পদগুলোকে 0-এর দিকে যেতে হবে, কিন্তু শুধু সেটুকু যথেষ্ট নয় (হারমোনিক ধারা অপসারী), তাই নির্ধারণের জন্য তুলনা, অনুপাত, মূল, একান্তর বা সমাকলন পরীক্ষা ব্যবহার করা হয়।

যাচাই. আংশিক যোগফল (সহায়ক প্রমাণ, প্রমাণপত্র নয়): S₁₀ সমান 0.33333302, S₁₀₀ সমান 0.33333333, S₁₀₀₀ সমান 0.33333333, S₁₀₀₀₀ সমান 0.33333333.