n=1 থেকে ∞ পর্যন্ত 1/n-এর সমষ্টির মান নির্ণয় করুন

সমস্যা. এই হলো সমস্যাটি: n সমান 1 থেকে অসীম পর্যন্ত 1/n-এর সমষ্টির মান নির্ণয় করুন. 1 থেকে ∞) পর্যন্ত Σ 1 / n (n অভিসারী না অপসারী তা নির্ধারণ করুন।

ধাপে ধাপে. ধারাটি লিখুন. Σ a(n), যেখানে n সমান 1, 2, 3, … এবং a(n) সমান 1 / n। প্রথম পদগুলো: 1, 0.5, 0.333333, 0.25, …. n-তম পদ পরীক্ষা. lim a(n) সমান 0, তাই অপসারিতা পরীক্ষা অনির্ণায়ক; পদগুলো ছোট হয় ঠিকই, তাই আরও সূক্ষ্ম পরীক্ষা দরকার। p-ধারার সঙ্গে সীমা-তুলনা. ধনাত্মক পদ: পদগুলো মোটামুটি 1/n-এর মতো সংকুচিত হয় (a(2N)/a(N)) থেকে অনুমান করা হয়েছে, তাই Σ 1/n-এর সাথে তুলনা করুন: lim a(n) গুণ n সমান 1। সীমাটি একটি ধনাত্মক সসীম সংখ্যা, তাই ধারাটি হুবহু p-ধারা Σ 1/n-এর মতো আচরণ করে, যা অপসারী কারণ p এর চেয়ে ছোট বা সমান 1।

উত্তর. সুতরাং উত্তর হলো ধারাটি অপসারী (লিমিট তুলনা পরীক্ষা Σ 1/n). আংশিক যোগফল একটি সসীম সংখ্যার দিকে গেলে ধারা অভিসারী হয়। তার জন্য পদগুলোকে 0-এর দিকে যেতে হবে, কিন্তু শুধু সেটুকু যথেষ্ট নয় (হারমোনিক ধারা অপসারী), তাই নির্ধারণের জন্য তুলনা, অনুপাত, মূল, একান্তর বা সমাকলন পরীক্ষা ব্যবহার করা হয়।

যাচাই. আংশিক যোগফল (সহায়ক প্রমাণ, প্রমাণপত্র নয়): S₁₀ সমান 2.9289683, S₁₀₀ সমান 5.1873775, S₁₀₀₀ সমান 7.4854709, S₁₀₀₀₀ সমান 9.787606.