n=1 থেকে ∞ পর্যন্ত (-1)ⁿ/n-এর সমষ্টির মান নির্ণয় করুন

সমস্যা. এই হলো সমস্যাটি: n সমান 1 থেকে অসীম পর্যন্ত (ঋণাত্মক 1) এর ঘাত n/n-এর সমষ্টির মান নির্ণয় করুন. 1 থেকে ∞) পর্যন্ত Σ (ঋণাত্মক 1) এর ঘাত n / n (n অভিসারী না অপসারী তা নির্ধারণ করুন।

ধাপ, অংশ 1. ধারাটি লিখুন. Σ a(n), যেখানে n সমান 1, 2, 3, … এবং a(n) সমান (ঋণাত্মক 1) এর ঘাত n / n। প্রথম পদগুলো: ঋণাত্মক 1, 0.5, ঋণাত্মক 0.333333, 0.25, …. n-তম পদ পরীক্ষা. lim |a(n)| সমান 0, তাই অপসারিতা পরীক্ষা অনির্ণায়ক; পদগুলো ছোট হয় ঠিকই, তাই আরও সূক্ষ্ম পরীক্ষা দরকার। একান্তর ধারা পরীক্ষা. চিহ্নগুলো পর্যায়ক্রমে বদলায় এবং মান b(n) সমান 1 / n হ্রাস পায় (10 এর ঘাত 6) পর্যন্ত 310টি সূচকে যাচাই করা হয়েছে এবং 0-এর দিকে যায়, তাই ধারাটি অভিসারী। p-ধারার সঙ্গে সীমা-তুলনা. পরম মান Σ 1 / n: পদগুলো মোটামুটি 1/n-এর মতো ছোট হয় (a(2N)/a(N)) থেকে আন্দাজ করা, তাই Σ 1/n-এর সঙ্গে তুলনা করুন: lim a(n) গুণ n সমান 1। সীমাটি একটি ধনাত্মক সসীম সংখ্যা, তাই ধারাটি হুবহু p-ধারা Σ 1/n-এর মতো আচরণ করে, যা অপসারী কারণ p এর চেয়ে ছোট বা সমান 1।

ধাপ, অংশ 2. পরম না শর্তসাপেক্ষ?. Σ |a(n)| অপসারী (Σ 1/n)-এর সঙ্গে সীমা-তুলনা, তাই ধারাটি কেবল শর্তসাপেক্ষে অভিসারী। যোগফল সাংখ্যিকভাবে অনুমান করুন. আংশিক যোগফল S N কয়েকটি N-এর জন্য গণনা করে N → ∞-তে বহির্বিস্তার করা হয়েছে (রিচার্ডসন বহির্বিস্তার; একান্তর পদে আগে গড় নেওয়া হয়)। দুটি স্বাধীন বহির্বিস্তার 10 এর ঘাত বিয়োগ 10-এর চেয়ে ভালোভাবে মেলে এবং S প্রায় ঋণাত্মক 0.6931471806 দেয়। দেখানো বদ্ধ রূপটি একটি সাংখ্যিক শনাক্তকরণ, প্রমাণ নয়।

উত্তর. সুতরাং উত্তর হলো ধারাটি শর্তসাপেক্ষে অভিসারী (পর্যায়ক্রমিক ধারা পরীক্ষা); যোগফল প্রায় ঋণাত্মক 0.6931471806 (মিলে যায় ঋণাত্মক ln(2) ১০+ দশমিক স্থান পর্যন্ত). আংশিক যোগফল একটি সসীম সংখ্যার দিকে গেলে ধারা অভিসারী হয়। তার জন্য পদগুলোকে 0-এর দিকে যেতে হবে, কিন্তু শুধু সেটুকু যথেষ্ট নয় (হারমোনিক ধারা অপসারী), তাই নির্ধারণের জন্য তুলনা, অনুপাত, মূল, একান্তর বা সমাকলন পরীক্ষা ব্যবহার করা হয়।

যাচাই. আংশিক যোগফল (সহায়ক প্রমাণ, প্রমাণপত্র নয়): S₁₀ সমান ঋণাত্মক 0.64563492, S₁₀₀ সমান ঋণাত্মক 0.68817218, S₁₀₀₀ সমান ঋণাত্মক 0.69264743, S₁₀₀₀₀ সমান ঋণাত্মক 0.69309718.