فنکشنز کی ترکیب: f(g(x)) کیسے معلوم اور استعمال کریں

ترکیب کا مطلب

دو فنکشنز $f$ اور $g$ دیے ہوں تو ترکیب $f \circ g$، جسے ایف مرکب جی یا جی کا ایف پڑھا جاتا ہے، وہ فنکشن ہے جو پہلے $g$ لاگو کرتا ہے اور پھر نتیجے پر $f$:

ترتیب ہی وہ حصہ ہے جو لوگوں کو الجھاتا ہے۔ دائیں طرف لکھا فنکشن، جو $x$ کے سب سے قریب ہے، پہلے عمل کرتا ہے۔ کسی کارخانے کی پیداواری لائن کا تصور کریں: $x$ مشین $g$ میں داخل ہوتا ہے، پیداوار $g(x)$ مشین $f$ کی طرف بڑھتی ہے، اور $f(g(x))$ باہر آتا ہے۔ اس کے کام کرنے کے لیے $g$ کا ہر استعمال شدہ نتیجہ $f$ کا قابلِ قبول داخلہ ہونا چاہیے۔

ترکیب ضرب سے مختلف ہے۔ حاصل ضرب $(fg)(x)$ کا مطلب $f(x) \cdot g(x)$ ہے، جو دو نتائج کو ضرب دیتا ہے، جبکہ $(f \circ g)(x)$ ایک فنکشن کو دوسرے میں رکھتا ہے۔ چھوٹا دائرہ نما نشان ہی انہیں الگ کرتا ہے۔

دو فارمولوں کی ترکیب

$f(g(x))$ معلوم کرنے کے لیے $f$ کا فارمولا لیں اور اس میں ہر $x$ کی جگہ پوری عبارت $g(x)$ قوسین میں رکھیں۔ پھر سادہ کریں۔

دونوں ترتیبیں بالکل مختلف فنکشنز دیتی ہیں۔ ترکیب عموماً مبادلی نہیں: $f \circ g$ اور $g \circ f$ عام طور پر مختلف ہوتے ہیں، اور انہیں کبھی برابر فرض نہیں کرنا چاہیے۔ البتہ یہ تلازمی ہے، اس لیے $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$، اور تین فنکشنز کی زنجیر اندر سے باہر کی طرف نکالی جا سکتی ہے۔

رکھتے وقت اندرونی فنکشن کے گرد ہمیشہ قوسین لگائیں۔ ان کے بغیر $g(x) = x^2$ کے لیے $g(2x + 3)$ آسانی سے $2x + 3^2$ بن جاتا ہے، جو غلط ہے۔

اعداد اور جدولوں سے ترکیب کی قدر نکالنا

اکثر صرف ایک قدر درکار ہوتی ہے۔ اندر سے باہر کی طرف کام کریں: پہلے اندرونی فنکشن کی قدر نکالیں، پھر اس نتیجے کو بیرونی فنکشن کا داخلہ بنائیں۔ مرکب فارمولا معلوم کرنا ضروری نہیں۔

فرض کریں ایک جدول $g(1) = 4$، $g(2) = 0$، $g(3) = 2$ اور $f(0) = 5$، $f(2) = -1$، $f(4) = 3$ دیتا ہے۔ تب $f(g(1)) = f(4) = 3$، $f(g(2)) = f(0) = 5$، اور $f(g(3)) = f(2) = -1$۔ اگر جدول میں $g$ کے دیے گئے عدد پر $f$ کی کوئی قدر نہ ہوتی تو اس داخلے پر وہ ترکیب محض غیر معین ہوتی۔

گراف بھی اسی طرح کام کرتے ہیں۔ دو گرافوں سے $f(g(3))$ معلوم کرنے کے لیے $g$ کے گراف سے $g(3)$ پڑھیں، پھر وہی قدر $f$ کے گراف کے افقی محور پر تلاش کر کے نتیجہ پڑھیں۔

ترکیب کی ڈومین

$f \circ g$ کی ڈومین میں ٹھیک وہ داخلے $x$ ہیں جو دو شرائط پوری کریں: $x$ ڈومین $g$ میں ہو، اور $g(x)$ ڈومین $f$ میں ہو۔ مرکب فارمولے کو سادہ کرنا پہلی شرط چھپا سکتا ہے، اس لیے ڈومین اصل ٹکڑوں سے معلوم کریں۔

ایک مختصر مثال دکھاتی ہے کہ یہ کیوں اہم ہے۔ اگر $f(x) = x^2$ اور $g(x) = \sqrt{x}$ ہوں تو $f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 = x$، لیکن صرف $x \ge 0$ کے لیے۔ اکیلا فارمولا $x$ یہ تاثر دیتا ہے کہ ہر حقیقی عدد چلتا ہے، جو غلط ہے۔ ڈومین اور رینج کی رہنما یہاں استعمال ہونے والی انفرادی پابندیوں کا احاطہ کرتی ہے۔

فنکشن کو اجزا میں توڑنا

اجزا میں توڑنا عمل کو الٹا چلاتا ہے: کسی پیچیدہ فنکشن $h$ کے لیے ایسے سادہ فنکشنز معلوم کریں کہ $h = f \circ g$۔ ایسی اندرونی عبارت تلاش کریں جس پر کوئی بیرونی عمل ہو رہا ہو۔

• $h(x) = (3x - 1)^5$: اندرونی $g(x) = 3x - 1$، بیرونی $f(u) = u^5$۔
• $h(x) = \sqrt{x^2 + 4}$: اندرونی $g(x) = x^2 + 4$، بیرونی $f(u) = \sqrt{u}$۔
• $h(x) = e^{\sin x}$: اندرونی $g(x) = \sin x$، بیرونی $f(u) = e^u$۔
• $h(x) = \frac{1}{(x + 2)^2}$: اندرونی $g(x) = x + 2$، بیرونی $f(u) = \frac{1}{u^2}$، یا تین مراحل کی زنجیر $u = x + 2$، $v = u^2$، $w = \frac{1}{v}$۔

اجزا میں توڑنا یکتا نہیں، لیکن سب سے مفید صورت میں عموماً اندرونی فنکشن سادہ ہوتا ہے۔ اندرونی حصے کو $u$ لکھنا ٹھیک وہی عادت ہے جو زنجیری قاعدے اور تکمل میں تعویض کے لیے درکار ہوگی۔

کیلکولس اور معکوس فنکشنز میں ترکیب

دو بڑے موضوعات ترکیب پر منحصر ہیں۔ پہلا، زنجیری قاعدہ ترکیب کا مشتق نکالتا ہے: $f(g(x))$ کا مشتق $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ ہے۔ $(3x - 1)^5$ کے لیے یہ $5(3x - 1)^4 \cdot 3 = 15(3x - 1)^4$ دیتا ہے۔ مشتق کے قواعد کی رہنما اس کا تفصیلی احاطہ کرتی ہے۔

دوسرا، دو فنکشنز ٹھیک اسی وقت ایک دوسرے کے معکوس ہیں جب کسی بھی ترتیب میں ان کی ترکیب داخلہ واپس دے: مناسب ڈومین پر $f(f^{-1}(x)) = x$ اور $f^{-1}(f(x)) = x$۔ $f(x) = 2x + 3$ اور $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$ کے لیے $f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = x - 3 + 3 = x$ ملتا ہے۔ معکوس کی تصدیق کا یہی معیاری طریقہ ہے، جیسا کہ معکوس فنکشنز میں بیان کیا گیا ہے۔

ایک حقیقی مثال: رعایت اور کوپن

ایک دکان 20 فیصد رعایت دیتی ہے اور آپ کے پاس 10 ڈالر کی کمی کا کوپن بھی ہے۔ فرض کریں $d(p) = 0.8p$ قیمت $p$ پر رعایت لاگو کرتا ہے اور $c(p) = p - 10$ کوپن لاگو کرتا ہے۔ ترتیب اہم ہے۔

• پہلے کوپن، پھر رعایت: $d(c(p)) = 0.8(p - 10) = 0.8p - 8$۔
• پہلے رعایت، پھر کوپن: $c(d(p)) = 0.8p - 10$۔
• 50 ڈالر کی چیز کے لیے پہلی ترتیب میں 32 ڈالر لگتے ہیں اور دوسری میں 30 ڈالر۔

یہاں پہلے فیصد لاگو کرنا ہمیشہ 2 ڈالر بچاتا ہے، کیونکہ کوپن فیصد سے کم نہیں ہوتا۔ ایسی صورتیں، جہاں ایک عمل دوسرے میں داخل ہوتا ہے، ترکیبیں ہیں، اور یہ دکھاتی ہیں کہ $f$ اور $g$ کی ترتیب محض تکنیکی بات نہیں۔

عام غلطیاں

• فنکشنز کو غلط ترتیب میں لاگو کرنا: $f(g(x))$ میں $g$ پہلے عمل کرتا ہے۔
• رکھنے کے بجائے $f(x)$ کو $g(x)$ سے ضرب دینا۔
• قوسین کے بغیر رکھنا، خاص طور پر قوتوں اور منفی علامتوں میں۔
• صرف سادہ فارمولے سے ڈومین معلوم کرنا اور اندرونی فنکشن سے خارج ہونے والی قدریں چھوڑ دینا۔
• یہ فرض کرنا کہ $f \circ g = g \circ f$۔

آپ دونوں ترتیبیں اور ان کی ڈومین فنکشنز کی ترکیب کے کیلکولیٹر سے جانچ سکتے ہیں، جو رکھنے کا مرحلہ واضح طور پر دکھاتا ہے۔

ترکیب پر عبور کیوں فائدہ مند ہے

الجبرا کے بعد ملنے والا تقریباً ہر فنکشن ترکیب سے بنتا ہے۔ ٹھنڈے ہوتے مشروب کے درجۂ حرارت، جھولتے رقاص کے مقام یا کسی سرمایہ کاری کی قدر کا فارمولا عموماً ایک سادہ بیرونی فنکشن ہوتا ہے، جیسے قوت نمائی، سائن یا قوت، جو کسی سادہ اندرونی عبارت پر لاگو ہو۔ یہ ساخت دیکھ پانا آپ کو گراف کی شکل کا اندازہ لگانے، یہ جاننے کہ فنکشن کہاں معین ہے، اور مشتق اور تکمل کے لیے درست تکنیک چننے کے قابل بناتا ہے۔

ترکیب گراف کی تبدیلیوں کی بھی وضاحت کرتی ہے۔ $f$ کے گراف کو تین اکائیاں دائیں سرکانے سے $f(x - 3)$ بنتا ہے، جو اندرونی فنکشن $x - 3$ کے ساتھ $f$ کی ترکیب ہے۔ اسے عمودی طور پر 2 کے جزوِ ضربی سے کھینچنے سے $2f(x)$ بنتا ہے، جو $f$ کے ساتھ بیرونی فنکشن $2u$ کی ترکیب ہے۔ اس نظر سے دیکھیں تو قوسین کے اندر لاگو تبدیلی داخلہ بدلتی ہے اور افقی عمل کرتی ہے، جبکہ باہر لاگو تبدیلی نتیجہ بدلتی ہے اور عمودی عمل کرتی ہے۔ یہی ایک مشاہدہ بتاتا ہے کہ افقی سرکاؤ الٹی سمت میں جاتا کیوں محسوس ہوتا ہے۔

جوابات کے ساتھ مشقی سوال

انہیں کاغذ پر حل کریں، پھر موازنہ کریں۔ ہر سوال اوپر کے حصوں کا ایک خیال استعمال کرتا ہے۔

1. اگر $f(x) = x^2 + 1$ اور $g(x) = x - 3$ ہوں تو $f(g(x))$ معلوم کریں۔ جواب: $(x - 3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 10$۔
2. انہی فنکشنز کے ساتھ $g(f(x))$ معلوم کریں۔ جواب: $x^2 + 1 - 3 = x^2 - 2$۔
3. اگر $f(x) = \sqrt{x}$ اور $g(x) = 4 - x$ ہوں تو $f(g(x))$ کی ڈومین معلوم کریں۔ جواب: $4 - x \ge 0$، اس لیے $(-\infty, 4]$۔
4. $h(x) = \ln(x^2 + 1)$ کو اجزا میں توڑیں۔ جواب: اندرونی $x^2 + 1$، بیرونی $\ln u$۔
5. اگر $f(x) = 3x - 2$ ہو تو $f(f(2))$ معلوم کریں۔ جواب: $f(2) = 4$ اور $f(4) = 10$۔

اگر پہلے سوال کا آپ کا جواب $x^2 - 2$ تھا تو آپ نے فنکشنز غلط ترتیب میں لاگو کیے؛ یہ دوسرے سوال کا جواب ہے۔ دونوں ترتیبوں کو گڈمڈ کرنا سب سے عام غلطی ہے، اور $x = 0$ جیسے کسی عدد سے جانچنا اسے فوراً پکڑ لیتا ہے: $f(g(0)) = f(-3) = 10$، جبکہ $g(f(0)) = g(1) = -2$۔

اکثر پوچھے جانے والے سوالات