ترتیب اور انتخاب کی وضاحت

گنتی کا بنیادی اصول

گنتی کے سوال پوچھتے ہیں کہ کوئی چیز کتنے طریقوں سے ہو سکتی ہے۔ بنیاد گنتی کا بنیادی اصول ہے: اگر ایک انتخاب $m$ طریقوں سے اور دوسرا، آزاد انتخاب $n$ طریقوں سے کیا جا سکے تو دونوں مل کر $m \times n$ طریقوں سے کیے جا سکتے ہیں۔ یہ خیال کسی بھی تعداد کے مراحل تک پھیلتا ہے۔

اگر آپ کے پاس 3 قمیصیں، 4 پتلونیں اور 2 جوڑی جوتے ہوں تو آپ $3 \times 4 \times 2 = 24$ مختلف لباس بنا سکتے ہیں۔ 0 سے 9 تک کے ہندسوں سے بنا چار ہندسی خفیہ کوڈ، جس میں تکرار کی اجازت ہو، $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10{,}000$ امکانات رکھتا ہے۔ اس مضمون کا ہر فارمولا اسی ضرب کا مختصر طریقہ ہے، اس لیے جب کوئی سوال اجنبی لگے تو مرحلہ وار گنتی کی طرف لوٹنا ہمیشہ محفوظ راستہ ہے۔

فیکٹوریل

تمام $n$ مختلف اشیا کو ایک قطار میں رکھنے میں پہلی جگہ کے لیے $n$ انتخاب ہیں، دوسری کے لیے $n - 1$، اور اسی طرح 1 تک۔ اس حاصل ضرب کو $n$ فیکٹوریل کہتے ہیں:

چنانچہ $5! = 120$: پانچ کتابیں شیلف پر 120 ترتیبوں میں رکھی جا سکتی ہیں۔ تعریف کے مطابق $0! = 1$، جو نیچے کے فارمولوں کو ہم آہنگ رکھتا ہے، کیونکہ کچھ بھی نہ ترتیب دینے کا ٹھیک ایک طریقہ ہے۔ فیکٹوریل حیرت انگیز تیزی سے بڑھتے ہیں: $10! = 3{,}628{,}800$، اور پھینٹی ہوئی تاش کی گڈی کی $52!$ ممکنہ ترتیبیں ہیں، جو 68 ہندسوں والا عدد ہے۔

ترتیب: ترتیب اہم ہے

ترتیب $n$ مختلف اشیا میں سے چنی گئی $r$ اشیا کا ترتیب وار انتظام ہے۔ چونکہ ترتیب اہم ہے، اس لیے اول دوم سوم، سوم دوم اول سے مختلف ہے۔ ترتیبوں کی تعداد یہ ہے

گول میز کے گرد لوگوں کو بٹھانا ایک خاص صورت ہے۔ سب کو ایک نشست گھمانے سے وہی انتظام بنتا ہے، اس لیے $n$ افراد $(n-1)!$ مختلف طریقوں سے بیٹھ سکتے ہیں۔ گول میز کے گرد چھ افراد کے $5! = 120$ انتظامات ہیں، 720 نہیں۔

انتخاب: ترتیب اہم نہیں

انتخاب ایسا چناؤ ہے جس میں صرف شمولیت اہمیت رکھتی ہے۔ کمیٹی کے لیے عائشہ، بلال اور ثنا کو چننا کسی بھی ترتیب میں وہی کمیٹی ہے۔ $r$ اشیا کا ہر گروہ $r!$ ترتیبوں کے مطابق ہے، اس لیے ہم ان سے تقسیم کرتے ہیں:

انتخاب متشاکل ہیں: $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$، کیونکہ شامل کرنے کے لیے 3 افراد چننا، باہر چھوڑنے کے لیے 5 چننے کے برابر ہے۔ یہ پاسکل کی مثلث کے اندراجات اور $(a + b)^n$ کی دو رقمی توسیع کے سر بھی ہیں۔

کیسے پہچانیں کہ کون سا استعمال کرنا ہے

ایک ہی سوال پوچھیں: اگر میں چنی گئی دو چیزوں کی جگہ بدل دوں تو کیا نتیجہ مختلف ہوگا؟ اگر ہاں، تو ترتیب اہم ہے اور آپ کو ترتیب درکار ہے۔ اگر نہیں، تو انتخاب استعمال کریں۔

• عہدے، درجہ بندیاں، پاس ورڈ، نشستوں کے نقشے اور نظام الاوقات: ترتیب۔
• ٹیمیں، کمیٹیاں، تاش کے ہاتھ، لاٹری ٹکٹ اور پیزا کی ٹاپنگز: انتخاب۔
• گروہ کے اندر کردار، جیسے صدر اور خزانچی، ترتیب کو اہم بنا دیتے ہیں حالانکہ لوگ ایک ہی مجموعے سے آتے ہیں۔

فوری جانچ: ترتیبوں کی تعداد ہمیشہ انتخابوں کی تعداد کا $r!$ گنا ہوتی ہے۔ اگر آپ کے دونوں جواب یہ تعلق پورا نہ کریں تو ان میں سے ایک غلط ہے۔

تکرار اور دہرائے گئے حروف کے ساتھ گنتی

جب اشیا دوبارہ استعمال ہو سکیں تو فارمولے بدل جاتے ہیں۔ تکرار کے ساتھ ترتیب وار چناؤ کی تعداد $n^r$ ہے، جیسا کہ خفیہ کوڈ کی مثال میں۔ تکرار کے ساتھ بے ترتیب چناؤ، جیسے 5 ذائقوں میں سے آئس کریم کے 3 اسکوپ چننا جہاں ذائقہ دہرایا جا سکے، کی تعداد یہ ہے

دہرائے گئے حروف کو ترتیب دینے میں ایک اور تصحیح درکار ہے: ہر دہرائے گئے حرف کی تعداد کے فیکٹوریل سے تقسیم کریں، کیونکہ یکساں حروف کی جگہ بدلنے سے کچھ نہیں بدلتا۔ دریائے مسیسپی کے نام کی انگریزی املا میں 11 حروف ہیں، جن میں ایک حرف 4 بار، دوسرا 4 بار اور تیسرا 2 بار آتا ہے، اس لیے اس کے $\frac{11!}{4!\,4!\,2!} = 34{,}650$ مختلف انتظامات ہیں۔

احتمال معلوم کرنے کے لیے گنتی

جب نتائج یکساں ممکن ہوں تو احتمال موافق نتائج کی تعداد تقسیم تمام نتائج کی تعداد ہے، اس لیے زیادہ تر کام ترتیب اور انتخاب کرتے ہیں۔ اس نسبت کی بنیادی باتیں احتمال کی بنیادی باتیں میں ہیں۔

تاش کے کھیل مزید مشق دیتے ہیں۔ پانچ پتوں کے $\binom{52}{5} = 2{,}598{,}960$ ممکنہ ہاتھ ہیں۔ چاروں اکوں والے ہاتھ کو صرف ایک اور پتا چاہیے، جو باقی 48 میں سے چنا جائے، اس لیے احتمال $\frac{48}{2{,}598{,}960} = \frac{1}{54{,}145}$ ہے۔

عام غلطیاں

• ٹیم یا کمیٹی کے لیے ترتیب استعمال کرنا، جو $r!$ کے عامل سے زیادہ گنتی کرتا ہے۔
• یہ بھول جانا کہ $0! = 1$، جس سے $\binom{n}{n}$ جیسے فارمولے ٹوٹ جاتے ہیں۔
• یکساں اشیا کو نظر انداز کرنا، جیسے دہرائے گئے حروف کے انتظامات میں۔
• غیر آزاد مراحل کو بعد کی تعداد درست کیے بغیر ضرب دینا۔

ترتیب اور انتخاب کیلکولیٹر فیکٹوریل کے مراحل دکھاتے ہوئے ${}_nP_r$ اور ${}_nC_r$ کی قدر نکالتا ہے، اور احتمال کیلکولیٹر ان تعدادوں کو احتمالات میں بدلتا ہے۔

پاسکل کی مثلث اور ذیلی سیٹ

پاسکل کی مثلث کا ہر اندراج اپنے اوپر کے دو اندراجات کا مجموعہ ہے، اور قطار $n$ قدریں $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$ دیتی ہے۔ قطار 4 یوں ہے: 1، 4، 6، 4، 1، جو ٹھیک $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$ کے سر ہیں۔ مثلث بنانے والا قاعدہ خود گنتی کی ایک حقیقت ہے:

وجہ دیکھنے کے لیے ایک خاص چیز مقرر کریں۔ $r$ اشیا کا ہر چناؤ یا تو اسے شامل کرتا ہے، جس سے باقی $n - 1$ میں سے $r - 1$ چننا رہ جاتا ہے، یا اسے خارج کرتا ہے، جس سے باقی $n - 1$ میں سے پورے $r$ چننا رہ جاتا ہے۔ پوری قطار جمع کرنے سے $2^n$ ملتا ہے، جو $n$ اشیا والے سیٹ کے ذیلی سیٹوں کی کل تعداد ہے، کیونکہ ہر چیز یا اندر ہے یا باہر۔ اس لیے 8 ٹاپنگز والی پیزا دکان سادہ پیزا سمیت $2^8 = 256$ مختلف پیزے بنا سکتی ہے۔

مشقی سوالات

1. 7 مختلف کتابوں میں سے 4 کو شیلف پر کتنے طریقوں سے ترتیب دیا جا سکتا ہے؟ جواب: ${}_7P_4 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$۔
2. 10 میں سے 4 ٹاپنگز کتنے طریقوں سے چنی جا سکتی ہیں؟ جواب: $\binom{10}{4} = 210$۔
3. چھ حروف، جن میں ایک حرف تین بار، دوسرا دو بار اور تیسرا ایک بار ہو (جیسے انگریزی میں کیلے کا لفظ)، کے کتنے مختلف انتظامات ہیں؟ جواب: $\frac{6!}{3!\,2!} = 60$۔
4. اگر تکرار کی اجازت ہو تو 26 حروف سے پانچ حرفی کتنے کوڈ بن سکتے ہیں؟ جواب: $26^5 = 11{,}881{,}376$۔

اکثر پوچھے جانے والے سوالات