نامساواتیں حل کرنے اور جواب وقفہ نما علامت میں لکھنے کا طریقہ

نامساوات کی علامات اور جواب کی شکل

نامساوات دو عبارتوں کا موازنہ چار میں سے کسی ایک علامت سے کرتی ہے: $<$ (سے کم)، $>$ (سے زیادہ)، $\le$ (سے کم یا برابر) اور $\ge$ (سے زیادہ یا برابر)۔ اس کا حل عموماً اعداد کا ایک لامتناہی مجموعہ ہوتا ہے، اس لیے جواب نامساوات، عددی خط پر گراف یا وقفے کی صورت میں لکھا جاتا ہے۔

• $x < 5$ وقفہ $(-\infty, 5)$ ہے؛ گول قوس کا مطلب ہے کہ 5 شامل نہیں، جسے عددی خط پر خالی دائرے سے دکھایا جاتا ہے۔
• $x \le 3$ وقفہ $(-\infty, 3]$ ہے؛ مربع قوس کا مطلب ہے کہ 3 شامل ہے، جسے بھرے ہوئے دائرے سے دکھایا جاتا ہے۔
• $-2 \le x < 4$ وقفہ $[-2, 4)$ ہے۔
• لامتناہی کے ساتھ ہمیشہ گول قوس آتی ہے، کیونکہ یہ کوئی عدد نہیں جسے شامل کیا جا سکے۔

وہ ایک قاعدہ جو مساواتوں سے مختلف ہے

آپ دونوں اطراف میں کوئی بھی عدد جمع یا تفریق کر سکتے ہیں، اور دونوں اطراف کو کسی مثبت عدد سے ضرب یا تقسیم کر سکتے ہیں، بالکل مساواتوں کی طرح۔ لیکن دونوں اطراف کو کسی منفی عدد سے ضرب یا تقسیم کرنے سے نامساوات کی سمت الٹ جاتی ہے۔

وجہ دیکھنے کے لیے درست بیان $-2 < 3$ سے شروع کریں اور دونوں اطراف کو $-1$ سے ضرب دیں۔ آپ کو $2$ اور $-3$ ملتے ہیں، اور $2 > -3$۔ منفی عدد سے ضرب عددی خط کا عکس بنا دیتی ہے، جس سے بڑی طرف بدل جاتی ہے۔ یہی بات تب بھی لاگو ہوتی ہے جب آپ نامساوات کی دونوں اطراف کی جگہ بدلیں: $5 > x$ کا مطلب وہی ہے جو $x < 5$ کا۔

خطی نامساواتیں

حد کے دونوں طرف ایک ایک قیمت آزمانے میں دس سیکنڈ لگتے ہیں اور یہ ہر بار بھولی ہوئی علامت کی تبدیلی پکڑ لیتا ہے۔

مرکب نامساواتیں: اور، یا

$-3 \le 2x + 1 < 9$ جیسی دوہری نامساوات کا مطلب ہے کہ دونوں شرائط پوری ہوں۔ اسے حل کرنے کے لیے تینوں حصوں پر ایک ساتھ ایک ہی عمل کریں۔

جواب $[-2, 4)$ ہے، یعنی دونوں شرائط کا مشترک حصہ۔ «یا» والا بیان، جیسے $x < -1$ یا $x \ge 3$، دو ٹکڑوں کا اتحاد ہے اور $(-\infty, -1) \cup [3, \infty)$ لکھا جاتا ہے۔

مطلق قیمت والی نامساواتیں

مطلق قیمت $|A|$ صفر سے $A$ کا فاصلہ ہے۔ $k$ سے کم فاصلے کا مطلب صفر کے قریب ہونا ہے، جو ایک وقفہ دیتا ہے؛ $k$ سے زیادہ فاصلے کا مطلب دور ہونا ہے، جو دو ٹکڑے دیتا ہے۔ $k > 0$ کے لیے:

اگر $k$ منفی ہو تو $|A| < k$ کا کوئی حل نہیں اور $|A| > k$ ہر حقیقی عدد کے لیے درست ہے، کیونکہ مطلق قیمت کبھی منفی نہیں ہوتی۔

علامتی جدول کے ساتھ دو درجی نامساواتیں

نامساوات کے دونوں طرف جذر المربع لینے کی کوشش نہ کریں۔ اس کے بجائے سب کچھ ایک طرف لے جائیں، معلوم کریں کہ عبارت کہاں صفر کے برابر ہے، اور ان نقاط کے درمیان علامت آزمائیں۔

گراف کے لحاظ سے $y = x^2 - x - 6$ اوپر کو کھلنے والا قطع مکافی ہے جو اپنے جذور سے باہر افقی محور سے اوپر ہے، اور یہ علامتی جدول سے مطابقت رکھتا ہے۔ اگر جذور کی تجزی آسان نہ ہو تو دو درجی مساوات کیلکولیٹر انہیں معلوم کر دیتا ہے۔

ناطق نامساواتیں

جس نامساوات میں متغیر نسب نما میں ہو، اس کے دونوں اطراف کو کبھی اس نسب نما سے ضرب نہ دیں: آپ نہیں جانتے کہ وہ مثبت ہے یا منفی۔ اس کے بجائے شمار کنندہ اور نسب نما کے صفروں کے ساتھ علامتی جدول استعمال کریں۔

دو متغیرات والی نامساواتیں

$y > 2x + 1$ جیسی نامساوات مستوی کا ایک خطہ بیان کرتی ہے۔ حدی خط $y = 2x + 1$ کھینچیں، سخت نامساوات کے لیے ٹوٹا ہوا اور $\le$ یا $\ge$ کے لیے ٹھوس، پھر اس طرف سایہ کریں جو نامساوات پوری کرتی ہے۔ مبدا کو آزمانا سب سے تیز ہے: $0 > 1$ غلط ہے، اس لیے اس طرف سایہ کریں جس میں $(0, 0)$ شامل نہیں۔ گرافنگ کیلکولیٹر ایسی نامساواتوں کا سایہ براہِ راست بنا دیتا ہے۔

عام غلطیاں

• منفی عدد سے ضرب یا تقسیم کے بعد علامت الٹنا بھول جانا۔
• ایسی متغیر عبارت سے ضرب دینا جس کی علامت معلوم نہ ہو۔
• $|x - 4| < 3$ کو صرف $x - 4 < 3$ لکھنا، جس سے نچلی حد ضائع ہو جاتی ہے۔
• لامتناہی کے ساتھ مربع قوس لگانا، یا کسی سرے پر غلط قوس لگانا۔
• ایسی قیمت شامل کرنا جو نسب نما کو صفر بنا دے۔

نامساوات کیلکولیٹر ہر قدم اور وقفہ نما علامت دکھاتا ہے۔ پورے مضمون میں استعمال ہونے والے مساوات حل کرنے کے اقدامات کے لیے خطی مساواتیں کیسے حل کریں دیکھیں۔

نامساوات والا ایک لفظی سوال

جب بھی کسی صورتِ حال میں کوئی حد، کم از کم مقدار یا بجٹ ہو تو نامساواتیں سامنے آتی ہیں۔ «کم از کم»، «سے زیادہ نہیں»، «زیادہ سے زیادہ» اور «سے بڑھ جائے» جیسے الفاظ بتاتے ہیں کہ کون سی علامت استعمال کرنی ہے: «کم از کم» کا مطلب $\ge$ ہے، «زیادہ سے زیادہ» اور «سے زیادہ نہیں» کا مطلب $\le$ ہے، اور «سے بڑھ جائے» یا «سے زیادہ» کا مطلب $>$ ہے۔

سیاق نے ایک ایسی پابندی شامل کی جو صرف الجبرا سے نہیں ملتی تھی۔ حقیقی سوالات میں $t \ge 0$ یا پورے عدد کی شرط کی ضرورت عام ہے، اس لیے حتمی وقفہ لکھنے سے پہلے ہمیشہ پوچھیں کہ کون سی قیمتیں معقول ہیں۔

وقفے والے جواب کی جانچ

نامساوات کے جواب کے تین حصے ہیں جن میں سے ہر ایک غلط ہو سکتا ہے: حدی قیمتیں، ہر حد شامل ہے یا نہیں، اور حد کی کون سی طرف رکھی گئی ہے۔ انہیں اسی ترتیب سے جانچیں۔ ہر حد کو اصل نامساوات میں رکھ کر دیکھیں کہ کیا مساوات بنتی ہے؛ اس سے پتا چلتا ہے کہ سرا جواب میں شامل ہے یا نہیں۔ پھر اپنے جواب کے ہر وقفے کے اندر سے ایک قیمت اور باہر سے ایک قیمت آزمائیں۔

ناطق مثال میں $x = 1$ سے $\frac{0}{3} = 0$ ملتا ہے، اور $0 \le 0$ درست ہے، اس لیے 1 شامل ہے۔ $x = -2$ پر عبارت غیر معرف ہے، اس لیے $-2$ خارج ہے حالانکہ نامساوات برابری کی اجازت دیتی ہے۔ یہ دونوں جانچیں $(-2, 1]$ کی قوسین کی تصدیق کرتی ہیں۔

اکثر پوچھے جانے والے سوالات