دو درجی مساوات کیلکولیٹر: جذور اور ممیز

Q: دو درجی فارمولا کیا ہے؟

ax^2 + bx + c = 0 کے حل x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) ہیں۔ یہ ہر دو درجی مساوات پر کام کرتا ہے، ان پر بھی جن کی تجزی نہیں ہوتی۔

Q: ممیز مجھے کیا بتاتا ہے؟

اگر b^2 - 4ac > 0 ہو تو دو مختلف حقیقی جذور ہیں، 0 کے برابر ہو تو ایک دہرا جذر، اور منفی ہو تو دو مخلوط جذور۔

Q: کیا کیلکولیٹر مخلوط جذور دے سکتا ہے؟

جی ہاں۔ منفی ممیز کی صورت میں جذور p ± qi کی شکل میں لکھے جاتے ہیں؛ x^2 + 2x + 5 = 0 کے لیے یہ -1 ± 2i ہیں۔

Q: قطع مکافی کا راس کیسے معلوم کروں؟

راس x = -b/(2a) پر ہے؛ y محدد کے لیے یہ قیمت مساوات میں رکھیں۔ کیلکولیٹر دونوں دکھاتا ہے۔

Q: دو درجی مساوات میں a صفر کیوں نہیں ہو سکتا؟

اگر a = 0 ہو تو x^2 والا رکن غائب ہو جاتا ہے اور مساوات خطی bx + c = 0 بن جاتی ہے، جس کا زیادہ سے زیادہ ایک حل ہے۔ دو درجی فارمولا بھی صفر پر تقسیم کرے گا، اس لیے کیلکولیٹر غیر صفر a مانگتا ہے۔

دو درجی مساوات کیلکولیٹر کے بارے میں

دو درجی مساوات کی شکل $ax^2 + bx + c = 0$ ہوتی ہے جہاں $a \neq 0$ ۔ اس کا گراف ایک قطع مکافی ہے، اور حل وہ نقاط ہیں جہاں گراف محور x کو کاٹتا ہے۔

ممیز $\Delta = b^2 - 4ac$ بتاتا ہے کہ کس قسم کے جذور متوقع ہیں: مثبت ہو تو دو حقیقی جذر، صفر ہو تو ایک دہرایا ہوا جذر، اور منفی ہو تو دو مخلوط مزدوج جذر۔ کیلکولیٹر جذری عبارتوں کو درست شکل میں رکھتا ہے، چنانچہ $2x^2 + 4x - 3 = 0$ سے $x = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ ملتا ہے۔

دو درجی مساوات کیا ہے؟

دو درجی مساوات درجہ دو کی کثیر رقمی مساوات ہے: نامعلوم کی سب سے بڑی قوت $x^2$ ہے۔ معیاری شکل میں یہ $ax^2 + bx + c = 0$ ہے، جہاں $a$ ، $b$ اور $c$ اعداد ہیں اور $a$ صفر نہیں۔ عددی سر $a$ طے کرتا ہے کہ قطع مکافی کتنا چوڑا ہے اور اوپر کھلتا ہے یا نیچے، $b$ اسے دائیں بائیں سرکاتا ہے، اور $c$ وہ جگہ ہے جہاں یہ محور y کو کاٹتا ہے۔

چونکہ $y = ax^2 + bx + c$ کا گراف ایک قطع مکافی ہے، یہ محور x کو دو بار کاٹ سکتا ہے، اپنے راس پر اسے ایک بار چھو سکتا ہے، یا اس سے بالکل نہیں ملتا۔ یہ تین صورتیں دو حقیقی حل، ایک دہرائے ہوئے حل اور کسی حقیقی حل کے نہ ہونے کے مطابق ہیں، اور کوئی جذر نکالنے سے پہلے ممیز فیصلہ کر دیتا ہے کہ کون سی صورت لاگو ہے۔

دو درجی مساوات کیلکولیٹر کیسے استعمال کریں

اپنی مساوات کو اس طرح لکھیں کہ ایک طرف 0 ہو۔
عددی سر a، b اور c درج کریں۔ کسور اور اعشاریہ قبول ہیں۔
ممیز، دونوں جذور، اجزائے ضربی کی شکل اور راس دیکھنے کے لیے “حل کریں” دبائیں۔

فارمولے

دو درجی فارمولا

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

ممیز

\Delta = b^2 - 4ac

راس

\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

ویتا کے فارمولے

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

حل شدہ مثال: x² − 3x − 10 = 0

حل شدہ مثال $x^2 - 3x - 10 = 0$ کو حل کرتی ہے، یعنی $a = 1$ ، $b = -3$ اور $c = -10$ ۔ ممیز $(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$ ہے، ایک مثبت کامل مربع، اس لیے دو ناطق جذور ہیں۔ فارمولا $\frac{3 \pm 7}{2}$ دیتا ہے، یعنی $x = -2$ اور $x = 5$ ۔ کیلکولیٹر راس $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ اور اجزائے ضربی کی شکل $(x + 2)(x - 5)$ بھی معلوم کرتا ہے، اور ویتا کے فارمولوں سے تصدیق کرتا ہے کہ جذور کا مجموعہ 3 اور حاصل ضرب −10 ہے۔

نیچے دیا گیا حل اسی انجن نے تیار کیا ہے جو اوپر والے کیلکولیٹر کو چلاتا ہے۔

حتمی جواب

x_1 = -2,\quad x_2 = 5

ہم نے آپ کا سوال کیسے سمجھا

معیاری شکل والی دو درجی مساوات کو دو درجی فارمولے سے حل کریں۔

x^2 - 3x - 10 = 0

مرحلہ وار حل

ax² + bx + c = 0 کے عددی سر پہچانیں
$x^2 - 3x - 10 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 1,\ b = -3,\ c = -10$
ممیز کا حساب کریں
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$
Δ > 0، اس لیے دو مختلف حقیقی جذر ہیں
دو درجی فارمولا لگائیں
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$
ہر جذر کو مختصر کریں
$x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2,\quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$
قطع مکافی کا راس معلوم کریں
قطع مکافی اوپر کی طرف کھلتا ہے، اس لیے راس کم از کم قیمت ہے۔
$h = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2},\quad k = c - \frac{b^2}{4a} = -\frac{49}{4}$
تجزی شدہ شکل
$x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)$

استعمال شدہ فارمولے

دو درجی فارمولا
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
ممیز
$\Delta = b^2 - 4ac$
راس
$\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)$

ممیز مثبت ہے، اس لیے قطع مکافی x محور کو دو نقاط پر کاٹتا ہے۔

تصدیق

x = -2 رکھیں: 1·(-2)² + (-3)·(-2) + (-10) = 0
x = 5 رکھیں: 1·5² + (-3)·5 + (-10) = 0
ویٹا: جذروں کا مجموعہ = 3 = −b/a = 3؛ حاصل ضرب = -10 = c/a = -10

تفصیلی وضاحت

ممیز کی تین صورتیں

جب $\Delta > 0$ ہو تو جذر المربع ایک حقیقی عدد ہے اور $\pm$ دو مختلف جذور دیتا ہے۔ اگر $\Delta$ کامل مربع بھی ہو، جیسے مثال میں 49، تو جذور ناطق ہیں اور دو درجی کی تجزی صحیح اعداد پر ہو جاتی ہے؛ ورنہ ان میں جذری علامت ہوتی ہے، جیسے $2x^2 + 4x - 3 = 0$ میں، جس کے جذور $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ ہیں۔ جب $\Delta = 0$ ہو تو دونوں جذور ایک ہو جاتے ہیں: $x^2 - 6x + 9 = 0$ کا دہرا جذر $x = 3$ ہے اور قطع مکافی محور کو صرف چھوتا ہے۔ جب $\Delta < 0$ ہو تو کوئی حقیقی جذر نہیں، اور کیلکولیٹر مخلوط جوڑا دیتا ہے، مثلاً $x^2 + 2x + 5 = 0$ کے لیے $-1 \pm 2i$ ۔

فارمولا کہاں سے آتا ہے

دو درجی فارمولا عمومی مساوات پر مربع مکمل کرنے سے حاصل ہوتا ہے۔ $a$ پر تقسیم کرنے اور $c$ کو دوسری طرف لے جانے سے $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$ ملتا ہے؛ دونوں اطراف میں $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ جمع کرنے سے بایاں طرف کامل مربع بن جاتا ہے، $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ ۔ جذر المربع لینے اور $\frac{b}{2a}$ تفریق کرنے سے فارمولا بنتا ہے۔ یہی اخذ راس کی وضاحت بھی کرتا ہے: قطع مکافی $x = -\frac{b}{2a}$ کے گرد متشاکل ہے، جو دونوں جذور کا وسطی نقطہ ہے۔

راس اور گراف کو سمجھنا

راس قطع مکافی کا موڑ والا نقطہ ہے۔ اس کا x محدد $-\frac{b}{2a}$ ہے، اور اسے مساوات میں رکھنے سے y محدد ملتا ہے، جو $a > 0$ ہو تو کم ترین قیمت اور $a < 0$ ہو تو زیادہ ترین قیمت ہے۔ مثال میں راس $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ پر ہے، اس لیے عبارت $x^2 - 3x - 10$ کبھی $-12.25$ سے کم نہیں ہوتی۔ اسی وجہ سے دو درجی عبارتیں بہترین قیمت کے سوالات میں کارآمد ہیں، جیسے پھینکی گئی گیند کا بلند ترین نقطہ یا وہ قیمت جو آمدنی کو زیادہ سے زیادہ کرے۔

راس والی شکل $a(x - h)^2 + k$ یہی معلومات براہ راست دکھاتی ہے، جہاں $(h, k)$ راس ہے۔

عام غلطیاں

جب $b$ منفی ہو تو $b^2$ کی جگہ $-b^2$ لینا: $(-3)^2 = 9$ ۔
پورے شمار کنندہ کے بجائے صرف $-b$ کو $2a$ پر تقسیم کرنا۔
تمام ارکان ایک طرف لے جانے سے پہلے عددی سر درج کرنا۔
± بھول کر صرف ایک جذر بتانا۔
جب صرف حقیقی حل مانگے گئے ہوں تو مخلوط جذور لکھنا، یا اس کے برعکس؛ دیکھیں کہ سوال کیا چاہتا ہے۔

مشورے

اگر $b$ جفت ہو تو فارمولا مختصر ہو کر $x = \frac{-b/2 \pm \sqrt{(b/2)^2 - ac}}{a}$ بن جاتا ہے۔
ویتا سے اپنے جذور جانچیں: ان کا مجموعہ $-\frac{b}{a}$ ہونا چاہیے۔
اگر $\Delta$ کامل مربع ہو تو دو درجی کی تجزی صحیح اعداد پر ہو جاتی ہے۔
پہلے تینوں عددی سروں کو کسی مشترک جزو ضربی پر تقسیم کریں؛ جذور نہیں بدلتے اور حساب ہلکا ہو جاتا ہے۔
راس دونوں جذور کے عین درمیان ہوتا ہے، جس سے دونوں کی فوری جانچ ہو جاتی ہے۔

اکثر پوچھے جانے والے سوالات

دو درجی فارمولا کیا ہے؟

$ax^2 + bx + c = 0$ کے حل $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ہیں۔ یہ ہر دو درجی مساوات پر کام کرتا ہے، ان پر بھی جن کی تجزی نہیں ہوتی۔

ممیز مجھے کیا بتاتا ہے؟

اگر $b^2 - 4ac > 0$ ہو تو دو مختلف حقیقی جذور ہیں، 0 کے برابر ہو تو ایک دہرا جذر، اور منفی ہو تو دو مخلوط جذور۔

کیا کیلکولیٹر مخلوط جذور دے سکتا ہے؟

جی ہاں۔ منفی ممیز کی صورت میں جذور $p \pm qi$ کی شکل میں لکھے جاتے ہیں؛ $x^2 + 2x + 5 = 0$ کے لیے یہ $-1 \pm 2i$ ہیں۔

اگر a = 0 ہو تو؟

تب مساوات دو درجی نہیں بلکہ خطی ہے۔ اس کے بجائے مساوات سولور یا x معلوم کرنے کا کیلکولیٹر استعمال کریں۔

قطع مکافی کا راس کیسے معلوم کروں؟

راس $x = -\frac{b}{2a}$ پر ہے؛ y محدد کے لیے یہ قیمت مساوات میں رکھیں۔ کیلکولیٹر دونوں دکھاتا ہے۔

جذور کو اعشاریہ کے بجائے جذر المربع کی شکل میں کیوں رکھا جاتا ہے؟

درست جذری عبارتیں پوری درستی برقرار رکھتی ہیں اور جواب کی ساخت دکھاتی ہیں۔ سہولت کے لیے اعشاری تخمینہ بھی ساتھ دیا جاتا ہے۔

دہرے جذر کا کیا مطلب ہے؟

اس کا مطلب ہے کہ ممیز صفر ہے اور دونوں جذور ایک ہی عدد ہیں۔ قطع مکافی اپنے راس پر محور x کو کاٹے بغیر چھوتا ہے، جیسے $x^2 - 6x + 9 = 0$ میں، جس کا دہرا جذر $x = 3$ ہے۔

فارمولے کے بجائے تجزی کب کروں؟

جب ممیز کامل مربع ہو اور اعداد چھوٹے ہوں تو تجزی کریں، کیونکہ تب جذور ناطق ہوتے ہیں۔ فارمولا ہمیشہ کام کرتا ہے، اس لیے جب تجزی واضح نہ ہو تو اسے استعمال کریں۔

دو درجی مساوات میں a صفر کیوں نہیں ہو سکتا؟

اگر $a = 0$ ہو تو $x^2$ والا رکن غائب ہو جاتا ہے اور مساوات خطی $bx + c = 0$ بن جاتی ہے، جس کا زیادہ سے زیادہ ایک حل ہے۔ دو درجی فارمولا بھی صفر پر تقسیم کرے گا، اس لیے کیلکولیٹر غیر صفر $a$ مانگتا ہے۔

اپنی دو درجی مساوات حل کریں

عددی سر a، b اور c درج کریں اور ممیز، درست جذور، راس اور اجزائے ضربی کی شکل مرحلہ وار دیکھیں۔

کیلکولیٹر استعمال کریں AI میتھ سولور سے پوچھیں

دو درجی مساوات کیلکولیٹر