ٹیلر سلسلہ: کثیر رقمیوں سے فنکشنز کا تخمینہ

خیال: مشتقات کو ملانا

کثیر رقمیاں سب سے آسان فنکشن ہیں۔ ان کی قیمت صرف جمع اور ضرب سے نکالی جا سکتی ہے، اور ان کا مشتق یا تکمل لینا معمول کا کام ہے۔ $e^x$، $\sin x$ اور $\ln x$ جیسے فنکشنز کا ہاتھ سے حساب کہیں زیادہ مشکل ہے۔ ٹیلر سلسلے کا خیال یہ ہے کہ ایسی کثیر رقمی تلاش کی جائے جو کسی منتخب نقطے $a$ کے قریب فنکشن جیسا رویہ رکھے۔

کسی نقطے سے گزرنے والا بہترین خط مماس خط ہے، جو وہاں فنکشن کی قیمت اور اس کے پہلے مشتق سے ملتا ہے۔ ایک قطع مکافی دوسرا مشتق بھی ملا سکتا ہے، اس لیے وہ منحنی کے خم کا پیچھا کرتا ہے۔ ایک مکعب تیسرا مشتق بھی ملا سکتا ہے، وغیرہ۔ ہر اضافی ملایا گیا مشتق کثیر رقمی کو نقطے کے اردگرد زیادہ وسیع حصے میں فنکشن سے چپکا دیتا ہے۔ یہ عمل ہمیشہ جاری رکھنے سے ٹیلر سلسلہ ملتا ہے۔

ٹیلر سلسلے کا فارمولا

یہ شرط کہ نقطہ $a$ پر کثیر رقمی کا $n$واں مشتق $f^{(n)}(a)$ کے برابر ہو، $(x - a)^n$ کے سر کو $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ بننے پر مجبور کرتی ہے۔ فیکٹوریل اس لیے آتا ہے کہ $(x - a)^n$ کا $n$ بار مشتق لینے سے $n!$ بنتا ہے۔ مکمل سلسلہ یہ ہے:

جب $a = 0$ ہو تو سلسلہ میکلارن سلسلہ کہلاتا ہے، اور قوتیں صرف $x^n$ ہوتی ہیں۔ $(x - a)^n$ تک کی رقوم سے بننے والی کثیر رقمی درجہ $n$ کی ٹیلر کثیر رقمی ہے، جسے $P_n(x)$ لکھا جاتا ہے۔ صرف پہلی دو رقوم مماس خط والا تخمینہ ہیں، جسے خطی تخمینہ بھی کہتے ہیں۔

قوت نمائی فنکشن کا سلسلہ بنانا

$x = 1$ رکھنے سے خود اس مستقل کا ایک مشہور فارمولا ملتا ہے: $e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots$، جو درجن بھر رقوم کے بعد 2.71828 تک پہنچ جاتا ہے کیونکہ فیکٹوریل بہت تیزی سے بڑھتے ہیں۔

جاننے کے قابل سلسلے

یہ میکلارن سلسلے بار بار سامنے آتے ہیں، اور زیادہ تر دوسرے سلسلے انہی سے تعویض، ضرب، تفرق یا تکمل کے ذریعے بنائے جا سکتے ہیں:

سائن میں صرف طاق قوتیں ہیں، جو اس حقیقت سے مطابقت رکھتا ہے کہ یہ طاق فنکشن ہے، اور کوسائن میں صرف جفت قوتیں، جو اس کے تشاکل سے مطابقت رکھتا ہے۔ سائن کے سلسلے کا رقم بہ رقم مشتق لینے سے کوسائن کا سلسلہ ملتا ہے، بالکل جیسے $\sin x$ کا مشتق $\cos x$ ہونا چاہیے۔

جانچ کے طور پر $\sin 0.1 \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} = 0.0998333$، جبکہ اصل قیمت $0.0998334$ ہے۔ دو رقوم ہی چھ درست اعشاری مقامات دے دیتی ہیں، اسی لیے کیلکولیٹر مختصر کثیر رقمیوں سے مثلثیاتی فنکشنز کی قیمت اتنی تیزی سے نکال لیتے ہیں۔

صفر کے علاوہ کسی نقطے کے گرد پھیلاؤ

$a$ کو اس داخلی قیمت کے قریب چننا جس میں آپ کی دلچسپی ہے، تخمینے کو کہیں تیزی سے مرتکز کرتا ہے۔ $\sqrt{4.1}$ کا تخمینہ لگانے کے لیے $\sqrt{x}$ کو $a = 4$ کے گرد پھیلائیں، جہاں جذرِ مربع آسان ہے۔

غلطی کتنی بڑی ہے؟

ٹیلر کا مسئلہ ٹیلر کثیر رقمی کی غلطی بتاتا ہے۔ اگر $a$ اور $x$ کے درمیان $|f^{(n+1)}| \le M$ ہو تو درجہ $n$ والی رقم کے بعد کا باقی ماندہ یہ شرط پوری کرتا ہے:

$n = 3$ کے ساتھ $e^{0.5}$ کے لیے، وقفے پر چوتھا مشتق $e^t \le e^{0.5} < 2$ ہے، اس لیے غلطی زیادہ سے زیادہ $\frac{2(0.5)^4}{24} \approx 0.0052$ ہے۔ اصل غلطی $0.0029$ اس حد کے اندر ہے۔ یہ حد الٹی سمت میں بھی مفید ہے: یہ حساب شروع کرنے سے پہلے بتا دیتی ہے کہ مطلوبہ درستی کی ضمانت کے لیے کتنی رقوم چاہییں۔

سائن اور کوسائن جیسے متبادل علامت والے سلسلوں کے لیے اس سے بھی سادہ اندازہ ہے: غلطی پہلی چھوڑی گئی رقم سے بڑی نہیں ہوتی۔ اس قاعدے کے پیچھے کے خیالات سلسلوں کے ارتکاز کی جانچیں میں بیان کیے گئے ہیں۔

سلسلہ کہاں مرتکز ہوتا ہے

ٹیلر سلسلہ ہر جگہ اپنے فنکشن کے برابر نہیں ہوتا۔ $\frac{1}{1 - x}$ کا ہندسی سلسلہ صرف $|x| < 1$ کے لیے کام کرتا ہے؛ $x = 2$ پر بایاں حصہ $-1$ ہے جبکہ سلسلے کی رقوم بغیر کسی حد کے بڑھتی ہیں۔ $x$ کی وہ قیمتیں جن پر سلسلہ مرتکز ہو، $a$ پر مرکوز ایک وقفہ بناتی ہیں، اور اس کی نصف چوڑائی ارتکاز کا رداس ہے۔ یہ عموماً نسبت کی جانچ سے معلوم کیا جاتا ہے۔

$e^x$، $\sin x$ اور $\cos x$ کے سلسلے ہر حقیقی $x$ کے لیے مرتکز ہوتے ہیں۔ $\ln(1 + x)$ کا سلسلہ $-1 < x \le 1$ کے لیے مرتکز ہوتا ہے؛ $x = 1$ پر یہ حیرت انگیز نتیجہ دیتا ہے $\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$، اگرچہ یہ بہت آہستہ مرتکز ہوتا ہے۔

ٹیلر سلسلے کن کاموں میں آتے ہیں

• فنکشنز کی قیمت نکالنا: کیلکولیٹر اور سافٹ ویئر ٹیلر کثیر رقمیوں سے قریبی تعلق رکھنے والے کثیر رقمی تخمینے استعمال کرتے ہیں۔
• حدیں: $\sin x$ کی جگہ $x - \frac{x^3}{6} + \cdots$ رکھنے سے لوپیتال کے قاعدے کے بغیر پتا چلتا ہے کہ $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$۔
• ایسے تکمل جن کا کوئی ابتدائی ضد مشتق نہیں: $e^{-x^2}$ کے سلسلے کا رقم بہ رقم تکمل لینے سے $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} \approx 0.7475$ ملتا ہے، جو اصل قیمت $0.7468$ کے قریب ہے۔
• طبیعیات: رقاص کے لیے استعمال ہونے والا چھوٹے زاویے کا تخمینہ $\sin\theta \approx \theta$ سائن کے سلسلے کی پہلی رقم ہے۔
• اویلر کا فارمولا $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$، جو تینوں سلسلوں کا موازنہ کرنے سے نکلتا ہے۔

ٹیلر سلسلہ کیلکولیٹر کسی بھی فنکشن کو کسی بھی نقطے کے گرد منتخب درجے تک پھیلاتا ہے اور ہر مشتق دکھاتا ہے۔ یہاں مشتق کی مہارتیں لازمی ہیں، اس لیے مشتق کے قواعد کی وضاحت ایک مفید ساتھی ہے۔

کسی بھی ٹیلر کثیر رقمی کا نسخہ

1. مرکز $a$ چنیں: اس جگہ کے قریب کا نقطہ جہاں آپ کو قیمتیں چاہییں، اور جہاں فنکشن اور اس کے مشتقات کی قیمت نکالنا آسان ہو۔
2. فنکشن کا اتنی بار مشتق لیں جتنا مطلوبہ درجہ ہے، اور ہر مشتق کو سادہ کریں۔
3. ہر مشتق کی $a$ پر قیمت نکالیں۔
4. ہر سر حاصل کرنے کے لیے $n$ویں قیمت کو $n!$ سے تقسیم کریں۔
5. کثیر رقمی کو $(x - a)$ کی قوتوں میں لکھیں، $x$ کی قوتوں میں نہیں، سوائے اس کے کہ $a = 0$ ہو۔
6. پہلا سر جانچیں: $P_n(a)$ کو $f(a)$ کے برابر ہونا چاہیے، اور $a$ پر $P_n$ کی ڈھلوان کو $f'(a)$ کے برابر۔

بار بار مشتق لینے کے بجائے کسی معلوم سلسلے سے نیا سلسلہ بنانا اکثر زیادہ تیز ہوتا ہے۔ مثلاً $e^x$ کے سلسلے میں $x$ کی جگہ $-x^2$ رکھنے سے فوراً $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \cdots$ ملتا ہے، اور سائن کے سلسلے کو $x$ سے ضرب دینے سے $x\sin x$ کا سلسلہ ملتا ہے۔

گراف پر تخمینے دیکھنا

$\cos x$ کو اس کی درجہ 2، 4 اور 6 والی ٹیلر کثیر رقمیوں کے ساتھ بنائیں تو ایک واضح نمونہ سامنے آتا ہے۔ درجہ 2 والی کثیر رقمی، جو نیچے کی طرف کھلنے والا قطع مکافی ہے، صفر کے قریب کوسائن کے منحنی سے اچھی طرح ملتی ہے مگر تقریباً ایک اکائی کے بعد دور ہٹنے لگتی ہے۔ درجہ 4 والی زیادہ دیر قریب رہتی ہے، اور درجہ 6 والی پہلے ابھار کے زیادہ تر حصے میں منحنی کا پیچھا کرتی ہے۔ ہر کثیر رقمی آخرکار لامتناہی کی طرف نکل جاتی ہے، کیونکہ کوئی کثیر رقمی ہمیشہ ارتعاش نہیں کر سکتی، مگر رقوم بڑھانے سے یہ علیحدگی دور سے دور ہوتی جاتی ہے، اور عملی طور پر سلسلے کے ارتکاز کا یہی مطلب ہے۔

یہ تصویر وجدان پیدا کرنے کا بہترین طریقہ ہے: تخمینہ مرکز کے قریب بہترین ہوتا ہے اور فاصلے کے ساتھ خراب ہوتا جاتا ہے۔ گراف کیلکولیٹر کسی فنکشن اور اس کی کئی ٹیلر کثیر رقمیوں کو ایک ساتھ بنا سکتا ہے تاکہ آپ انہیں مرتکز ہوتے دیکھ سکیں۔

اکثر پوچھے جانے والے سوالات