معین تکمل کیلکولیٹر

F(b) − F(a) رقبہ کیوں دیتا ہے

ایک رقبہ فنکشن $A(t)$ تصور کریں جو $a$ سے ایک متحرک نقطے $t$ تک $f$ کے نیچے رقبہ ناپتا ہے۔ اگر آپ $t$ کو ایک ننھی مقدار $h$ آگے کھسکائیں تو اضافی رقبہ تقریباً $f(t)$ اونچائی اور $h$ چوڑائی کی پتلی پٹی ہے، اس لیے $A(t+h) - A(t) \approx f(t)\,h$۔ $h$ سے تقسیم کر کے اسے سکڑنے دیں تو $A'(t) = f(t)$ ملتا ہے: رقبہ فنکشن $f$ کا ایک ضد مشتق ہے۔

کسی بھی دو ضد مشتقوں میں صرف ایک مستقل کا فرق ہوتا ہے، اس لیے جو بھی ضد مشتق $F$ آپ نے معلوم کیا ہو، $A(t) = F(t) + C$۔ چونکہ $A(a) = 0$، اس لیے مستقل $-F(a)$ ہے، اور پورا رقبہ $A(b) = F(b) - F(a)$ ہے۔ یہی وجہ ہے کہ تکمل کا مستقل معین تکمل میں کبھی ظاہر نہیں ہوتا: وہ تفریق میں کٹ جاتا ہے۔

علامت دار رقبہ اور مطلق رقبہ

جب گراف محور سے نیچے جاتا ہے تو تکمل اس حصے کو منفی کر دیتا ہے۔ $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx$ کے لیے مثبت ابھار اور منفی ابھار بالکل ایک دوسرے کو کاٹ دیتے ہیں اور جواب 0 ہے۔ تکمل کی یہی درست قیمت ہے، لیکن یہ وہ رقبہ نہیں جو آپ گراف پر رنگیں گے۔

کل رقبہ معلوم کرنے کے لیے وقفے کے اندر فنکشن کے صفر تلاش کریں، ہر ٹکڑے پر تکمل لیں اور ٹکڑوں کی مطلق قیمتیں جمع کریں۔ کیلکولیٹر abs() قبول کرتا ہے، اس لیے 0 سے 2 تک abs(x-1) درج کرنے پر 1 ملتا ہے، جو دو مثلثوں کا مجموعی رقبہ ہے، جبکہ اسی وقفے پر x-1 کا جواب 0 آتا ہے۔

غیر مناسب تکمل: لامتناہی حدیں اور عمودی متقارب

تکمل اس وقت غیر مناسب ہوتا ہے جب کوئی سرا لامتناہی ہو یا زیرِ تکمل فنکشن وقفے میں کہیں غیر محدود ہو جائے۔ تب قیمت ایک حد کے طور پر معرف ہوتی ہے۔ $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$ کے لیے کیلکولیٹر $F(x) = -\frac1x$ معلوم کرتا ہے، $x \to \infty$ پر اس کی حد لیتا ہے جو 0 ہے، $F(1) = -1$ تفریق کرتا ہے اور بتاتا ہے کہ تکمل 1 کی طرف مرتکز ہے۔

یہی خیال متقاربوں پر بھی لاگو ہوتا ہے۔ $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ کی قیمت 2 کی طرف مرتکز ہے کیونکہ $2\sqrt{x}$ کی 0 پر متناہی حد ہے، جبکہ $\int_0^1 \frac1x\,dx$ منتشر ہے کیونکہ $\ln x$ کی قیمت $-\infty$ کی طرف جاتی ہے۔ دونوں زیرِ تکمل فنکشن صفر پر لامحدود ہو جاتے ہیں؛ فیصلہ اس بات سے ہوتا ہے کہ کتنی تیزی سے۔ اگر انفرادیت وقفے کے بیچ میں ہو تو تکمل کو وہاں تقسیم کرنا لازم ہے اور ہر نصف کا الگ الگ مرتکز ہونا ضروری ہے۔

پوری حقیقی لکیر پر دونوں سروں کو حد چاہیے۔ کیلکولیٹر $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx$ کو $-\frac{\pi}{2}$ سے $\frac{\pi}{2}$ تک $\arctan x$ کے طور پر نکالتا ہے اور بالکل $\pi$ دیتا ہے۔

جب کوئی فارمولا نہ ہو: عددی تکمل

کچھ بالکل عام فنکشنز کے ضد مشتق ابتدائی فنکشنز سے نہیں لکھے جا سکتے۔ گھنٹی نما $e^{-x^2}$، $\frac{\sin x}{x}$ اور $\sqrt{1 + x^3}$ معیاری مثالیں ہیں۔ ان کے معین تکمل پھر بھی موجود ہیں؛ بس انہیں عددی طور پر نکالنا پڑتا ہے۔

اس صورت میں کیلکولیٹر موافق سمپسن قاعدہ استعمال کرتا ہے، جو منحنی کے چھوٹے ٹکڑوں پر قطع مکافی بٹھاتا ہے اور جہاں تخمینہ ابھی درست نہ ہو وہاں مزید تقسیم کرتا ہے، اور غلطی کو $10^{-10}$ سے کم رکھنے کا ہدف رکھتا ہے۔ $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ کے لیے یہ تقریباً 0.7468241328 دیتا ہے، جس پر عددی تخمینہ لکھا ہوتا ہے تاکہ اسے کبھی درست قیمت نہ سمجھا جائے۔

محنت بچانے والی مفید خصوصیات

حدوں کو الٹنے سے علامت بدل جاتی ہے، اس لیے $\int_1^0 x^2\,dx = -\frac13$۔ صفر چوڑائی کے وقفے پر تکمل صفر ہے۔ $x^3$ یا $\sin x$ جیسے طاق فنکشن کے لیے متشاکل وقفے $[-a, a]$ پر تکمل صفر ہے، اور جفت فنکشن کے لیے یہ 0 سے $a$ تک کے تکمل کا دگنا ہے۔ حساب سے پہلے تشاکل پہچان لینا الجھے ہوئے سوال کو ایک سطر کا جواب بنا سکتا ہے۔

تکمل خطی بھی ہیں: مستقل باہر نکل آتے ہیں اور مجموعے الگ تکملوں میں بٹ جاتے ہیں۔ وقفے کی تقسیم کے قاعدے کے ساتھ مل کر یہ خصوصیات آپ کو پیچیدہ خطے کو ایسے ٹکڑوں میں توڑنے دیتی ہیں جن میں سے ہر ایک آسان ہو۔