جزوی مشتق کیلکولیٹر: fx، fy، مخلوط اور دوسرے درجے کے مشتق

جزوی مشتق کیلکولیٹر کے بارے میں

سائنس اور معاشیات کی زیادہ تر مقداریں ایک سے زیادہ داخلی قیمتوں پر منحصر ہوتی ہیں۔ سلنڈر کا حجم اس کے رداس اور اونچائی پر، کسی کمپنی کا منافع قیمت اور اشتہاری خرچ پر، اور کمرے کا درجۂ حرارت تینوں محددات پر منحصر ہے۔ جزوی مشتق ایسے فنکشن کے بارے میں ایک مرکوز سوال کا جواب دیتا ہے: جب ایک داخلی قیمت بدلے اور باقی سب ساکن رہیں تو نتیجہ کتنی تیزی سے بدلتا ہے؟

یہ کیلکولیٹر یہ شرحیں بالکل درست نکالتا ہے۔ $x^2 y + \sin(xy)$ جیسا فنکشن لکھیں، متغیر چنیں، اور یہ ہر رکن کا الگ تفرق کرتا ہے، مجموعے، مستقل مضرب، قوت، حاصل ضرب اور زنجیری قاعدے استعمال کرتے ہوئے، اور ہر دوسرے حرف کو مستقل سمجھتا ہے۔ ہر قاعدہ الگ مرحلے کے طور پر آتا ہے، اس لیے آپ دیکھ سکتے ہیں کہ $\cos(xy)$ کے آگے $y$ کیوں باقی رہتا ہے اور $x$ کے لحاظ سے تفرق کرنے پر $4y$ جیسا رکن کیوں غائب ہو جاتا ہے۔

بلند درجے کے مشتق بھی اسی طرح کام کرتے ہیں۔ $x$ میں دوسرے جزوی مشتق کے لیے xx لکھیں، یا مخلوط جزوی مشتق کے لیے xy جو پہلے $x$ اور پھر $y$ میں تفرق کرتا ہے۔ نتیجے کی قیمت نکالنے کے لیے x = 1، y = 2 جیسا نقطہ شامل کریں۔ ہر جواب دکھانے سے پہلے متناہی فرق کے عددی تخمینے سے جانچا جاتا ہے۔

جزوی مشتق کیا ہے؟

فنکشن $f(x, y)$ کے لیے $x$ کے لحاظ سے جزوی مشتق، جسے $\frac{\partial f}{\partial x}$ یا $f_x$ لکھا جاتا ہے، وہ عام مشتق ہے جو $y$ کو ایک مقررہ عدد سمجھنے سے ملتا ہے۔ رسمی طور پر $f_x(x, y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$ ۔ خمیدہ علامت $\partial$ بتاتی ہے کہ دوسرے متغیرات موجود ہیں اور مستقل رکھے جا رہے ہیں۔

جیومیٹری میں $f(x, y)$ کا گراف ایک سطح ہے۔ اس سطح کو مستوی $y =$ مستقل سے کاٹنے پر ایک منحنی ملتا ہے، اور $f_x$ اسی منحنی کی ڈھلوان ہے۔ اسی طرح $f_y$ سمت $y$ میں کٹاؤ کی ڈھلوان ہے۔ پہلے درجے کے جزوی مشتق مل کر گریڈیئنٹ سمتیہ $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ بناتے ہیں، جو تیز ترین اضافے کی سمت میں ہوتا ہے۔

جزوی مشتق بہترین کاری میں (فاصل نقاط وہاں ہیں جہاں تمام پہلے جزوی مشتق صفر ہوں)، طبیعیات میں (حرارت، موج اور لاپلاس کی مساواتیں انہی سے لکھی جاتی ہیں)، معاشیات میں (حاشیائی لاگت اور حاشیائی افادیت) اور مشین لرننگ میں آتے ہیں، جہاں ہر عصبی نیٹ ورک کی تربیت گریڈیئنٹ سے چلتی ہے۔

جزوی مشتق کیلکولیٹر کیسے استعمال کریں

متغیرات کے لیے کوئی بھی حروف استعمال کر کے فنکشن لکھیں، مثلاً x^2 y + sin(x y) یا x^3 y^2 + 4y۔ حروف کے درمیان خالی جگہ یا * ضرب کا مطلب دیتا ہے۔
دوسرے خانے میں وہ متغیر لکھیں جس کے لحاظ سے تفرق کرنا ہے، جیسے x یا y۔
بلند درجوں کے لیے ہر تفرق کا ایک حرف ترتیب سے لکھیں: f_xx کے لیے xx، f_xy کے لیے xy (پہلے x، پھر y)، اور تیسرے درجے کے لیے تین حروف۔
چاہیں تو ہر متغیر کو ایک قیمت دیں، جیسے x = 1، y = 2، تاکہ اس نقطے پر مشتق کی قیمت نکلے۔
“تفرق کریں” دبائیں اور مراحل دیکھیں، جن میں سے ہر ایک پر استعمال شدہ قاعدے کا نام لکھا ہے۔

فارمولے

تعریف

f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,\,y) - f(x,\,y)}{h}

مخلوط جزوی مشتق کی علامت

f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}

کلیرو کا مسئلہ

f_{xy} = f_{yx}\quad\text{جب دونوں مسلسل ہوں}

گریڈیئنٹ

\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle

جزوی مشتق کے اندر زنجیری قاعدہ

\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = \cos(xy)\cdot y

حل شدہ مثال: x²y + sin(xy) کا ∂/∂x

نیچے کی حل شدہ مثال $f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)$ کے لیے براہِ راست نکالی جاتی ہے، جس کا تفرق $x$ کے لحاظ سے ہے۔ $y$ مستقل رکھنے سے پہلا رکن ایک مستقل ضرب $x^2$ ہے، اس لیے یہ $2xy$ بن جاتا ہے۔ دوسرے رکن کو زنجیری قاعدہ چاہیے: $\sin u$ کا مشتق $\cos u$ ضرب $\frac{\partial u}{\partial x}$ ہے، اور $u = xy$ کے لیے یہ اندرونی مشتق $y$ ہے۔

ٹکڑوں کو جمع کرنے سے $2xy + y\cos(xy)$ ملتا ہے، جسے کیلکولیٹر اجزائے ضربی میں $f_x = y(2x + \cos(xy))$ لکھتا ہے۔ غور کریں کہ $y$ کا کبھی تفرق نہیں ہوتا؛ یہ بالکل ویسا برتاؤ کرتا ہے جیسا عدد 5 اسی جگہ ہوتا تو کرتا۔

نیچے دیا گیا حل اسی انجن نے تیار کیا ہے جو اوپر والے کیلکولیٹر کو چلاتا ہے۔

حتمی جواب

\frac{\partial f}{\partial x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)

ہم نے آپ کا سوال کیسے سمجھا

f(x, y) کا پہلا جزوی مشتق f_x معلوم کریں۔

\frac{\partial f}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right]

مرحلہ وار حل

فنکشن اور تفرق کی ترتیب کی شناخت کریں
x کے لحاظ سے تفرق کریں؛ ہر دوسرا متغیر (y) مستقل رکھا جاتا ہے۔
$f = {x}^{2} y+\sin\left( x y\right)$
مجموعے کا قاعدہ: ہر رکن کا الگ الگ مشتق لیں
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right] = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$
زنجیری قاعدہ — d/dx[sin u] = cos u · u′
$\frac{\partial}{\partial x}\left[\sin\left( x y\right)\right] = \cos\left( x y\right) y$
مستقل مضرب کا قاعدہ
$\frac{\partial}{\partial x}\left[ x y\right] = y$
مستقل مضرب کا قاعدہ
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y\right] = 2y x$
قوت کا قاعدہ: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
سادہ کریں: f_x
$f_{x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$

استعمال شدہ فارمولے

تعریف
$f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}$
مخلوط جزوی مشتق (کلیرو)
$f_{xy} = f_{yx}\ \text{جب دونوں مسلسل ہوں}$

جزوی مشتق یہ ناپتا ہے کہ جب صرف ایک متغیر بدلے تو f کیسے بدلتا ہے: باقی متغیرات کو بالکل اعداد کی طرح سمجھا جاتا ہے، اس لیے تفرق کے عام قاعدے لاگو ہوتے ہیں۔

تصدیق

کئی نمونہ نقاط پر ایک آزاد علامتی تفرق کنندہ سے جانچا گیا ✓

تفصیلی وضاحت

دوسرے متغیرات کو مستقل رکھنا

ہر جزوی مشتق کے پیچھے ایک ہی خیال ہے: جن متغیرات کے لحاظ سے آپ تفرق نہیں کر رہے وہ منجمد ہیں۔ اگر یہ دیکھنا مشکل لگے تو پہلے ان کی جگہ کوئی اصل عدد رکھ دیں۔ $x^3 y^2 + 4y$ کا $y$ کے لحاظ سے تفرق ایسا ہی ہے جیسے $x = 2$ پر $8y^2 + 4y$ کا تفرق: جواب کی شکل $2 \cdot 8y + 4$ ہے، اور 8 کی جگہ واپس $x^3$ رکھنے سے $f_y = 2x^3 y + 4$ ملتا ہے۔

اسی سے پتا چلتا ہے کہ کون سے ارکان غائب ہوتے ہیں۔ جس رکن میں صرف منجمد متغیرات ہوں وہ مستقل ہے، اس لیے اس کا جزوی مشتق صفر ہے۔ $f = x^2 + 3xy$ میں $y$ کے لحاظ سے جزوی مشتق $x^2$ کو بالکل نظر انداز کرتا ہے اور $f_y = 3x$ دیتا ہے۔

جانے پہچانے قاعدے اب بھی لاگو ہیں

جزوی تفرق بالکل وہی قاعدے استعمال کرتا ہے جو ایک متغیر کے کیلکولس میں ہیں: قوت، مجموعہ، مستقل مضرب، حاصل ضرب، خارج قسمت اور زنجیری قاعدہ۔ فرق صرف حساب رکھنے کا ہے۔ دو اجزائے ضربی کا حاصل ضرب جن دونوں میں $x$ ہو، $x$ میں تفرق کرتے وقت حاصل ضرب کا قاعدہ مانگتا ہے، لیکن اگر ایک جزو ضربی میں صرف $y$ ہو تو وہ محض ایک مستقل مضرب ہے۔

زیادہ تر غلطیاں زنجیری قاعدے میں ہوتی ہیں۔ جب کوئی فنکشن کئی متغیرات والی عبارت پر لگے، جیسے $e^{xy}$ یا $\ln(x^2 + y^2)$ ، تو اندرونی مشتق بھی جزوی مشتق ہوتا ہے۔ اس لیے $\frac{\partial}{\partial x} e^{xy} = y e^{xy}$ ، اور $\frac{\partial}{\partial y} \ln(x^2 + y^2) = \frac{2y}{x^2 + y^2}$ ۔

دوسرے درجے اور مخلوط جزوی مشتق

جزوی مشتق کا دوبارہ تفرق دوسرے درجے کا جزوی مشتق دیتا ہے۔ دو متغیرات والے فنکشن کے ایسے چار مشتق ہیں: $f_{xx}$ ، $f_{yy}$ اور مخلوط جزوی مشتق $f_{xy}$ اور $f_{yx}$ ۔ زیریں اشاریے والی علامت بائیں سے دائیں پڑھی جاتی ہے، اس لیے $f_{xy}$ کا مطلب ہے پہلے $x$ میں، پھر $y$ میں تفرق۔ کسری علامت $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ دائیں سے بائیں پڑھی جاتی ہے اور یہی چیز بیان کرتی ہے۔

$f = x^2 y^3$ کے لیے $x$ میں تفرق $2xy^3$ دیتا ہے، اور پھر $y$ میں تفرق $f_{xy} = 6xy^2$ دیتا ہے، جو نقطہ $(1, 2)$ پر 24 کے برابر ہے۔ دوسری ترتیب میں تفرق سے $3x^2y^2$ اور پھر دوبارہ $6xy^2$ ملتا ہے۔ یہی مطابقت کلیرو کا مسئلہ ہے: جن فنکشنز کے دوسرے جزوی مشتق مسلسل ہوں، ان میں مخلوط تفرق کی ترتیب سے فرق نہیں پڑتا۔ کیلکولیٹر جب بھی مخلوط جزوی مشتق نکالتا ہے، اسے جانچ کے طور پر درج کرتا ہے۔

دوسرے جزوی مشتقوں کے ٹھوس استعمال ہیں۔ $f(x, y)$ کے کسی فاصل نقطے کے لیے دوسرے مشتق کی آزمائش میں مقدار $D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2$ فیصلہ کرتی ہے کہ نقطہ مقامی اعظم ہے، مقامی اقل ہے یا زینی نقطہ۔

کسی نقطے پر قیمت اور عدد کی تشریح

جزوی مشتق خود تمام متغیرات کا فنکشن ہے، اس لیے اس کی قیمت اس پر منحصر ہے کہ آپ کہاں ہیں۔ $f = x^2 + 3xy$ کے لیے مشتق $f_x = 2x + 3y$ نقطہ $(1, 2)$ پر 8 کے برابر ہے۔ یعنی اس نقطے کے قریب $y = 2$ رکھتے ہوئے $x$ کو ایک چھوٹی مقدار $\Delta x$ بڑھانے سے $f$ تقریباً $8\,\Delta x$ بڑھتا ہے۔

اکائیاں تشریح کو ٹھوس بنا دیتی ہیں۔ اگر $V(r, h) = \pi r^2 h$ مکعب سینٹی میٹر میں سلنڈر کا حجم ہو تو $V_r = 2\pi r h$ مکعب سینٹی میٹر فی سینٹی میٹر رداس میں ناپا جاتا ہے اور بتاتا ہے کہ اونچائی مقرر ہو تو حجم رداس کی تبدیلی پر کتنا حساس ہے۔

عام غلطیاں

مستقل رکھے گئے متغیر کا بھی تفرق کر دینا، مثلاً $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy + x^2$ لکھنا۔
$x$ کے لحاظ سے تفرق کرتے وقت $4y$ جیسے رکن کو باقی سمجھنا؛ یہ مستقل ہے اور 0 دیتا ہے۔
زنجیری قاعدے میں اندرونی جزوی مشتق بھول جانا، جیسے $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)$ کے لیے $\cos(xy)$ لکھنا۔
$f_{xy}$ کو غلط ترتیب میں پڑھنا؛ زیریں اشاریوں کی ترتیب ہی تفرق کی ترتیب ہے۔
جب $y$ خود $x$ پر منحصر ہو تو $\frac{\partial f}{\partial x}$ کو کل مشتق $\frac{df}{dx}$ سے گڈمڈ کرنا۔

مشورے

اگر یاد نہ رہے کہ کیا مستقل ہے تو ذہن میں منجمد متغیرات کی جگہ اعداد رکھ لیں۔
تفرق سے پہلے مستقل باہر نکالیں؛ $x$ میں تفرق کرتے وقت $x^2 y^3$ دراصل $y^3$ ضرب $x^2$ ہے۔
کلیرو کے مسئلے کو مفت جانچ کے طور پر استعمال کریں: $f_{xy}$ اور $f_{yx}$ نکال کر موازنہ کریں۔
دونوں پہلے جزوی مشتق ملتے ہی $\nabla f$ لکھ لیں؛ زیادہ تر استعمالات کو پورا گریڈیئنٹ چاہیے۔
عبارتیں قابو میں رکھنے کے لیے دوسرا مشتق لینے سے پہلے پہلا مشتق سادہ کریں۔
کسی نقطے پر جزوی مشتق کی علامت دیکھیں تاکہ پتا چلے کہ اس سمت میں فنکشن بڑھتا ہے یا گھٹتا ہے۔

اکثر پوچھے جانے والے سوالات

دو متغیرات والا فنکشن کیسے لکھوں؟

متغیرات کے لیے حروف اور ضرب کے لیے خالی جگہ یا * استعمال کریں، مثلاً x^2 y + sin(x y) یا x^2*y + sin(x*y)۔ ہر وہ حرف جو sin یا log جیسے فنکشن کا نام نہ ہو، متغیر سمجھا جاتا ہے۔

f_xx جیسا دوسرا جزوی مشتق کیسے حاصل کروں؟

“کس کے لحاظ سے تفرق کریں” والے خانے میں ہر تفرق کے لیے ایک بار متغیر لکھیں: f_xx کے لیے xx اور f_yy کے لیے yy۔ کیلکولیٹر بار بار تفرق کرتا ہے اور ہر مرحلہ الگ دکھاتا ہے۔

کیا f_xy اور f_yx برابر ہیں؟

نصاب میں آنے والے تقریباً ہر فنکشن کے لیے جی ہاں۔ جب بھی مخلوط جزوی مشتق مسلسل ہوں، کلیرو کا مسئلہ اس کی ضمانت دیتا ہے۔ کیلکولیٹر یہ موازنہ دکھاتا ہے تاکہ آپ مطابقت دیکھ سکیں۔

علامت ∂ کا کیا مطلب ہے؟

یہ جزوی مشتقوں کے لیے استعمال ہونے والا گول d ہے۔ یہ بتاتی ہے کہ فنکشن کے کئی متغیرات ہیں اور تفرق کے دوران نسب نما والے متغیر کے سوا باقی سب مستقل رکھے جا رہے ہیں۔

کیا یہ کسی نقطے پر جزوی مشتق کی قیمت نکال سکتا ہے؟

جی ہاں۔ اختیاری خانے میں ہر متغیر کی قیمت درج کریں، جیسے x = 1، y = 2۔ کیلکولیٹر انہیں آخری مشتق میں رکھ کر عدد دیتا ہے، مثلاً f_x = 2x + 3y نقطہ (1, 2) پر 8 بنتا ہے۔

کیا یہ تین متغیرات کے ساتھ کام کرتا ہے؟

جی ہاں۔ x y z یا x^2 + y z جیسے فنکشن کا تفرق اس کے کسی بھی حرف کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے۔ x y z کے لیے z کے لحاظ سے جزوی مشتق xy ہے۔

جزوی مشتق عام مشتق سے کیسے مختلف ہے؟

قاعدے یکساں ہیں، لیکن عام مشتق میں ایک متغیر ہوتا ہے جبکہ جزوی مشتق کئی متغیرات میں سے ایک کو چنتا ہے اور باقی کو مستقل سمجھتا ہے۔ نتیجہ پھر بھی تمام متغیرات کا فنکشن ہوتا ہے۔

گریڈیئنٹ کیا ہے اور جزوی مشتق اسے کیسے بناتے ہیں؟

گریڈیئنٹ تمام پہلے درجے کے جزوی مشتقوں کا سمتیہ ہے، جیسے ⟨f_x, f_y⟩۔ یہ اس سمت میں ہوتا ہے جس میں فنکشن سب سے تیزی سے بڑھتا ہے، اور اس کی لمبائی اضافے کی یہی تیز ترین شرح ہے۔

میرا جزوی مشتق درسی کتاب کے جواب سے مختلف کیوں دکھتا ہے؟

مساوی عبارتیں کئی طرح ترتیب دی جا سکتی ہیں۔ کیلکولیٹر مشترک رکن کو باہر نکال سکتا ہے، جیسے 2xy + y cos(xy) کے بجائے y(2x + cos(xy))، یا اجزائے ضربی کی ترتیب بدل سکتا ہے۔ دونوں شکلوں کو پھیلائیں، یا ایک ہی نقطے پر ان کی قیمت نکالیں، تاکہ تصدیق ہو کہ وہ برابر ہیں۔

اپنا جزوی مشتق نکالیں

اوپر فنکشن اور تفرق کا متغیر درج کریں تاکہ ہر قاعدے کے ساتھ جزوی مشتق اور چاہیں تو کسی نقطے پر اس کی قیمت دیکھ سکیں۔

کیلکولیٹر استعمال کریں AI میتھ سولور سے پوچھیں

جزوی مشتق کیلکولیٹر