ضمنی تفرق، قدم بہ قدم

صریح اور ضمنی مساواتیں

صریح مساوات $y$ کو براہِ راست $x$ کے فارمولے کے طور پر دیتی ہے، جیسے $y = x^2 + 1$۔ اس کے برعکس بہت سے اہم منحنی ضمنی طور پر، یعنی $x$ اور $y$ کو جوڑنے والی ایک مساوات سے، بیان کیے جاتے ہیں۔ دائرہ $x^2 + y^2 = 25$ ایک جانی پہچانی مثال ہے۔ اسے $y$ کے لیے حل کرنے سے دو فنکشن ملتے ہیں، اوپری نصف کے لیے $y = \sqrt{25 - x^2}$ اور نچلے نصف کے لیے $y = -\sqrt{25 - x^2}$، اور ہر ایک کا الگ الگ مشتق لینا بے ڈھنگا ہے۔

کچھ دوسرے منحنی عام الجبرا سے $y$ کے لیے بالکل حل نہیں ہو سکتے، جیسے $x^3 + y^3 = 6xy$ یا $e^y + xy = e$۔ پھر بھی ان کے گراف کے تقریباً ہر نقطے پر مماس خط ہوتا ہے، اور ضمنی تفرق وہ اوزار ہے جو ان کی ڈھلوانیں معلوم کرتا ہے۔ یہ طریقہ مکمل طور پر زنجیری قاعدے پر منحصر ہے، اس لیے اگر یہ قاعدہ کمزور محسوس ہو تو پہلے مشتق کے قواعد کی وضاحت دہرا لینا مفید ہے۔

چار قدموں میں طریقہ

1. مساوات کے دونوں اطراف کا $x$ کے لحاظ سے مشتق لیں۔
2. جب بھی $y$ والے کسی اظہاریے کا مشتق لیں تو $\frac{dy}{dx}$ سے ضرب دیں، کیونکہ $y$ دراصل $x$ کا فنکشن ہے اور زنجیری قاعدہ لاگو ہوتا ہے۔
3. $\frac{dy}{dx}$ والی تمام رقوم ایک طرف اور باقی سب کچھ دوسری طرف جمع کریں۔
4. $\frac{dy}{dx}$ کو مشترک جزو کے طور پر باہر نکالیں اور تقسیم کر کے اسے الگ کریں۔

قدم 2 کے پیچھے بنیادی حقیقت زنجیری قاعدے کی یہ شناخت ہے، جہاں $f$ کوئی بھی قابلِ تفرق فنکشن ہے:

چنانچہ $\frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx}$، $\frac{d}{dx}\sin y = \cos y\,\frac{dy}{dx}$ اور $\frac{d}{dx}e^y = e^y\frac{dy}{dx}$۔ $xy$ جیسے حاصل ضربوں کے لیے حاصل ضرب کا قاعدہ بھی چاہیے: $\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$۔

مثال: دائرہ

غور کریں کہ ضمنی جواب دونوں نصفوں کے لیے ایک ساتھ کام کرتا ہے: $(3, -4)$ پر ڈھلوان $+\frac{3}{4}$ ہے۔ فارمولا یہ بھی بتاتا ہے کہ مماس کہاں افقی ہیں، یعنی جب $x = 0$ ہو، نقاط $(0, 5)$ اور $(0, -5)$ پر، اور کہاں عمودی ہیں، یعنی جب $y = 0$ ہو، نقاط $(5, 0)$ اور $(-5, 0)$ پر۔ جواب میں $x$ کے ساتھ $y$ بھی ہے، جو ضمنی مشتقات میں معمول کی بات ہے؛ عدد حاصل کرنے کے لیے آپ کو صرف $x$ کی قیمت نہیں بلکہ منحنی پر ایک نقطہ چاہیے۔

ایسی مثالیں جو وائی کے لیے حل نہیں ہو سکتیں

دوسرے مشتقات

$\frac{d^2y}{dx^2}$ معلوم کرنے کے لیے پہلے مشتق کا دوبارہ ضمنی تفرق کریں، پھر پہلا مشتق واپس رکھیں۔ دائرے کے لیے $y' = -\frac{x}{y}$ سے شروع کریں اور خارج قسمت کا قاعدہ استعمال کریں:

آخری قدم سادہ کرنے کے لیے اصل مساوات $x^2 + y^2 = 25$ استعمال کرتا ہے، جو اکثر کارآمد ترکیب ہے۔ نتیجہ اوپری نصف پر، جہاں $y > 0$ ہے، منفی ہے، اس لیے وہاں منحنی نیچے کی طرف مقعر ہے، اور نچلے نصف پر مثبت ہے، جو دائرے کی شکل سے مطابقت رکھتا ہے۔

معکوس فنکشنز کے مشتقات اخذ کرنا

ضمنی تفرق بتاتا ہے کہ معکوس فنکشنز کے مشتقات کہاں سے آتے ہیں۔ فرض کریں $y = \arctan x$۔ تب $\tan y = x$۔ مشتق لینے سے $\sec^2 y\,\frac{dy}{dx} = 1$ ملتا ہے، چنانچہ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$۔

یہی طریقہ $y = \ln x$ پر، جسے $e^y = x$ لکھا جائے، $e^y\frac{dy}{dx} = 1$ دیتا ہے، چنانچہ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$۔ عمومی طور پر معکوس فنکشن کی ڈھلوان متعلقہ نقطے پر اصل ڈھلوان کا معکوس ہوتی ہے، جیسا کہ معکوس فنکشنز پر ہمارے مضمون میں بیان کیا گیا ہے۔

متعلقہ شرحیں

جب متغیرات وقت پر منحصر ہوں تو یہی خیال $x$ کے بجائے $t$ کے لحاظ سے کام کرتا ہے۔ ہر متغیر کی اپنی شرح ہوتی ہے۔

عام غلطیاں

• $y$ والی رقم کا مشتق لیتے وقت $\frac{dy}{dx}$ کا جزو بھول جانا۔
• حاصل ضرب کا قاعدہ استعمال کرنے کے بجائے $xy$ کو ایک ہی متغیر سمجھ لینا۔
• دائیں طرف کے مستقل کا ایسے مشتق لینا جیسے وہ متغیر ہو؛ مستقلات 0 دیتے ہیں۔
• مشتق لینے سے پہلے اعداد رکھ دینا، جس سے بدلتی مقداریں منجمد ہو جاتی ہیں۔
• ایسا نقطہ استعمال کرنا جو حقیقت میں منحنی پر نہ ہو۔ ہمیشہ پہلے نقطہ جانچ لیں۔

ضمنی تفرق کیلکولیٹر ہر قدم انجام دیتا ہے، مشتق والی رقوم اکٹھی کرتا ہے اور کسی نقطے پر ڈھلوان کی قیمت نکال سکتا ہے۔ صریح فنکشنز کے لیے مشتق کیلکولیٹر استعمال کریں۔

یہ طریقہ درست کیوں ہے

ضمنی تفرق یہ مان کر چلتا ہے کہ زیرِ غور نقطے کے قریب منحنی واقعی کسی قابلِ تفرق فنکشن $y(x)$ کا گراف ہے، چاہے ہم وہ فنکشن لکھ نہ سکیں۔ اسے مساوات میں رکھنے سے مساوات $x$ میں ایک شناخت بن جاتی ہے، جو نقطے کے قریب ہر $x$ کے لیے درست ہے۔ دو اظہاریے جو ہر $x$ کے لیے برابر ہوں ان کے مشتقات بھی برابر ہونے چاہئیں، اسی لیے ہم دونوں اطراف کا مشتق لے سکتے ہیں۔

یہ مفروضہ صرف خاص نقاط پر ناکام ہوتا ہے، جیسے جہاں مماس عمودی ہو یا جہاں منحنی خود کو کاٹتا ہو۔ دیکارت کا پتا مبدا پر خود کو کاٹتا ہے، اور وہاں مشتق کا فارمولا $\frac{0}{0}$ دیتا ہے۔ ایسے نقاط پر منحنی مقامی طور پر کسی ایک فنکشن کا گراف نہیں ہوتا، اس لیے اس کی کوئی ایک ڈھلوان نہیں ہوتی۔ ضمنی فنکشن کا مسئلہ، جس سے کثیر متغیر کیلکولس میں واسطہ پڑتا ہے، ٹھیک ٹھیک بتاتا ہے کہ یہ مفروضہ کب محفوظ ہے۔

جزوی مشتقات کے ساتھ ایک مختصر راستہ

اگر منحنی $F(x, y) = 0$ کی شکل میں لکھا ہو تو اسی استدلال سے ڈھلوان کا ایک مختصر فارمولا نکلتا ہے:

یہاں $F_x$ اور $F_y$ جزوی مشتقات ہیں، جو ایک متغیر کے لحاظ سے مشتق لیتے ہوئے دوسرے کو مستقل سمجھ کر نکالے جاتے ہیں۔ دائرے کے لیے $F = x^2 + y^2 - 25$ سے $F_x = 2x$ اور $F_y = 2y$ ملتے ہیں، چنانچہ ڈھلوان پہلے کی طرح $-\frac{x}{y}$ ہے۔ جزوی مشتق کیلکولیٹر آپ کے لیے $F_x$ اور $F_y$ نکال دیتا ہے۔

جوابات کے ساتھ مشقی سوال

1. $x^2 - y^2 = 9$۔ جواب: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$۔
2. $xy = 12$، نقطہ $(3, 4)$ پر ڈھلوان۔ جواب: $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$، جو وہاں $-\frac{4}{3}$ ہے۔
3. $y^3 + y = x$۔ جواب: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2 + 1}$، جو ہمیشہ مثبت ہے، اس لیے منحنی ہمیشہ اوپر چڑھتا ہے۔
4. $\cos y = x$۔ جواب: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$، جو معکوس کوسائن کے مشتق تک لے جاتا ہے۔

ہر سوال کے لیے منحنی پر ایک نقطہ چن کر، قریبی نقطے سے ڈھلوان کا عددی تخمینہ لگا کر اور موازنہ کر کے اپنا جواب جانچیں۔

ضمنی منحنی کہاں نظر آتے ہیں

عملی دنیا میں ضمنی مساواتیں عام ہیں۔ بیضوی اور زائد جیسے مخروطی تراشے فطری طور پر ضمنی شکل میں لکھے جاتے ہیں۔ معاشیات میں بے نیازی کا منحنی دو اشیا کی ان مقداروں کو جوڑتا ہے جو صارف کو یکساں تسکین دیتی ہیں، اور اس کی ڈھلوان، جو ضمنی طور پر نکالی جاتی ہے، وہ شرح ہے جس پر صارف ایک شے کو دوسری کے بدلے دینے کو تیار ہوگا۔ حرحرکیات میں حالت کی مساواتیں دباؤ، حجم اور درجۂ حرارت کو جوڑتی ہیں، اور ضمنی تفرق بتاتا ہے کہ ایک کے بدلنے پر دوسری کیسے بدلتی ہے۔ جب بھی دو مقداریں کسی فارمولے کے بجائے کسی اصول سے بندھی ہوں، یہ طریقہ ان کی تبدیلی کی شرح دیتا ہے۔

اکثر پوچھے جانے والے سوالات