نقطی حاصل ضرب کیلکولیٹر

نقطی حاصل ضرب کیلکولیٹر کے بارے میں

نقطی حاصل ضرب دو سمتیوں کا موازنہ کرنے کا سب سے سادہ طریقہ ہے۔ یہ متناظر اجزا کو ضرب دے کر نتائج جمع کرتا ہے، اور ایک واحد عدد بناتا ہے جو بتاتا ہے کہ سمتیے کس حد تک ایک ہی سمت میں ہیں۔ اس عدد سے آپ ان کے درمیان زاویہ معلوم کر سکتے ہیں، جانچ سکتے ہیں کہ وہ عمود ہیں یا نہیں، اور ایک سمتیے کا دوسرے پر ظل لے سکتے ہیں۔

یہ کیلکولیٹر کسی بھی تعداد کے اجزا والے سمتیے قبول کرتا ہے، بشرطیکہ دونوں کی لمبائی برابر ہو۔ یہ اجزا کے حاصل ضرب، ان کا مجموعہ، دونوں مقداریں، ڈگری میں زاویہ اور پہلے سمتیے کا دوسرے پر غیر سمتی و سمتی ظل دکھاتا ہے۔ اگر کوئی سمتیہ صفر سمتیہ ہو تو یہ بتاتا ہے کہ زاویہ کیوں معرف نہیں ہو سکتا۔

نقطی حاصل ضرب کیا ہے؟

$\mathbf{u} = \langle u_1, \dots, u_n \rangle$ اور $\mathbf{v} = \langle v_1, \dots, v_n \rangle$ کا نقطی حاصل ضرب، یا غیر سمتی حاصل ضرب، $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n$ ہے۔ سمتی حاصل ضرب کے برخلاف نتیجہ ایک عدد ہے، سمتیہ نہیں۔

جیومیٹری کے لحاظ سے $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\cos\theta$، جہاں $\theta$ سمتیوں کے درمیان زاویہ ہے۔ زاویہ حادہ ہو تو نقطی حاصل ضرب مثبت، سمتیے عمود ہوں تو صفر، اور زاویہ منفرجہ ہو تو منفی ہوتا ہے۔

نقطی حاصل ضرب کیلکولیٹر کیسے استعمال کریں

1. پہلے سمتیے کے اجزا کوما سے الگ کر کے درج کریں، مثلاً 1, 2, 3۔
2. دوسرا سمتیہ اتنے ہی اجزا کے ساتھ درج کریں۔
3. “حساب کریں” دبائیں۔
4. نقطی حاصل ضرب، مقداریں اور سمتیوں کے درمیان زاویہ پڑھیں۔
5. اگر آپ کو ایک سمتیے کا دوسرے کی سمت میں جزو چاہیے تو ظل والا مرحلہ استعمال کریں۔

فارمولے

حل شدہ مثال: ⟨1,2,3⟩ · ⟨4,−5,6⟩

مثال میں $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ اور $\mathbf{v} = \langle 4, -5, 6 \rangle$ استعمال کیے گئے ہیں۔ اجزا کے حاصل ضرب 4، $-10$ اور 18 ہیں، جن کا مجموعہ 12 ہے۔

مقداریں $\sqrt{14}$ اور $\sqrt{77}$ ہیں، اس لیے $\cos\theta = \frac{12}{\sqrt{14}\sqrt{77}}$ اور زاویہ تقریباً $68.56°$ ہے۔ مثبت نقطی حاصل ضرب تصدیق کرتا ہے کہ زاویہ حادہ ہے۔

نیچے دیا گیا حل اسی انجن نے تیار کیا ہے جو اوپر والے کیلکولیٹر کو چلاتا ہے۔

تفصیلی وضاحت

اکثر پوچھے جانے والے سوالات