قانونِ کوسائن کی وضاحت، مثالوں کے ساتھ

فارمولا

مثلث کو معمول کے مطابق نام دیں: زاویے $A$، $B$، $C$، اور ان کے مقابل ضلعے $a$، $b$، $c$۔ قانونِ کوسائن کی تین صورتیں ہیں، ہر ضلع کے لیے ایک، اور سب ایک ہی نمونے پر چلتی ہیں:

اسے یوں پڑھیں: ایک ضلع کا مربع باقی دو کے مربعوں کے مجموعے کے برابر ہے، منفی ایک تصحیحی رقم۔ تصحیحی رقم میں زاویہ وہ ہے جو بائیں طرف والے ضلع کے مقابل ہے، اور یہی دائیں طرف کے دونوں ضلعوں کے درمیان کا زاویہ بھی ہے۔ جب $C = 90^\circ$ ہو تو $\cos C = 0$ اور تصحیح غائب ہو جاتی ہے، اور $c^2 = a^2 + b^2$ باقی رہتا ہے۔ یوں مسئلہ فیثاغورث ایک خاص صورت ہے۔

کوسائن کے لیے حل کرنے سے وہ صورت ملتی ہے جو زاویے نکالنے میں استعمال ہوتی ہے:

محدد کے ساتھ ایک مختصر ثبوت

راس $C$ کو مبدا پر اور ضلع $a$ کو مثبت افقی محور پر رکھیں، تو راس $B$ نقطہ $(a, 0)$ پر ہے۔ راس $A$ مبدا سے $b$ فاصلے پر زاویہ $C$ کی سمت میں ہے، اس لیے اس کے محدد $(b\cos C, b\sin C)$ ہیں۔

ضلع $c$ نقطہ $A$ سے $B$ تک کا فاصلہ ہے۔ فاصلے کے فارمولے سے $c^2 = (b\cos C - a)^2 + (b\sin C)^2$۔ پھیلانے سے $b^2\cos^2 C - 2ab\cos C + a^2 + b^2\sin^2 C$ ملتا ہے، اور چونکہ $\cos^2 C + \sin^2 C = 1$، یہ $a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ ہے۔ ثبوت چاہے $C$ حادہ ہو یا منفرجہ کام کرتا ہے، کیونکہ محدد علامتوں کو خود سنبھال لیتے ہیں۔

یہی شناخت سمتیہ کی صورت میں $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$ کے طور پر آتی ہے، اسی لیے نقطی حاصل ضرب سے سمتیوں کے درمیان زاویہ نکالا جا سکتا ہے۔

ضلع معلوم کرنا: دو ضلعے اور ان کے درمیان زاویہ

جب دو ضلعے اور ان کے درمیان زاویہ معلوم ہو (ض ز ض) تو قانونِ سائن شروع نہیں ہو سکتا، کیونکہ کوئی ضلع اپنے مقابل زاویے کے ساتھ جوڑا نہیں بناتا۔ قانونِ کوسائن تیسرا ضلع براہِ راست دیتا ہے۔

زاویے معلوم کرنا: تینوں ضلعے

جب تینوں ضلعے معلوم ہوں (ض ض ض) تو ہر زاویے کے لیے کوسائن والی صورت استعمال کریں۔ سب سے بڑے زاویے سے شروع کریں، یعنی سب سے لمبے ضلع کے مقابل والے سے۔ اگر وہ منفرجہ ہو تو اس کا کوسائن منفی ہوگا، اور معکوس کوسائن اسے درست سنبھالتا ہے کیونکہ وہ $0^\circ$ سے $180^\circ$ تک کے زاویے لوٹاتا ہے۔ سب سے بڑا زاویہ معلوم ہو جائے تو باقی دو کا حادہ ہونا لازم ہے، اس لیے قانونِ سائن بھی بغیر کسی ابہام کے کام مکمل کر سکتا ہے۔

اگر تین لمبائیاں مثلث نہ بنا سکیں تو فارمولا بتا دیتا ہے: کوسائن $[-1, 1]$ سے باہر آتا ہے۔ ضلعوں 3، 4 اور 8 کے لیے 8 کے مقابل زاویے کا $\cos = \frac{9 + 16 - 64}{24} = -1.625$ ہے، جو ناممکن ہے، اور یہ مثلثی عدم مساوات $3 + 4 < 8$ سے مطابقت رکھتا ہے۔

کیلکولیٹر کے بغیر حادہ، قائمہ یا منفرجہ

$a^2 + b^2 - c^2$ کی علامت $\cos C$ کی علامت سے ملتی ہے۔ جب $c$ سب سے لمبا ضلع ہو تو اس سے فوری درجہ بندی ملتی ہے:

• $c^2 < a^2 + b^2$: سب سے بڑا زاویہ حادہ ہے، اس لیے مثلث حادہ ہے۔
• $c^2 = a^2 + b^2$: مثلث قائمہ ہے۔
• $c^2 > a^2 + b^2$: مثلث منفرجہ ہے۔

ضلعوں 5، 7 اور 10 کے لیے $100 > 74$، اس لیے مثلث منفرجہ ہے، جیسا کہ مثال 3 نے تصدیق کی۔ 6، 8 اور 9 کے لیے $81 < 100$، اس لیے یہ حادہ ہے۔

تین ضلعوں سے رقبہ: ہیرون کا فارمولا

قانونِ کوسائن کو رقبے کے فارمولے $\frac{1}{2}ab\sin C$ کے ساتھ ملانے سے ہیرون کا فارمولا بنتا ہے، جسے صرف ضلعوں کی لمبائیاں چاہییں۔ فرض کریں $s = \frac{a + b + c}{2}$ نصف محیط ہے۔ تب:

ضلعوں 5، 7 اور 10 کے لیے $s = 11$ اور رقبہ $\sqrt{11 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{264} \approx 16.25$ ہے۔ جانچ کے طور پر $\frac{1}{2}(5)(7)\sin 111.80^\circ$ بھی وہی 16.25 دیتا ہے۔

قوانین میں سے انتخاب

ض ز ض اور ض ض ض کے لیے قانونِ کوسائن استعمال کریں، یعنی وہ دو صورتیں جن میں ضلع اور مقابل زاویے کا کوئی جوڑا نہیں۔ جب کوئی ضلع اپنے مقابل زاویے کے ساتھ معلوم ہو تو قانونِ سائن استعمال کریں۔ ملے جلے سوالوں میں اکثر قانونِ کوسائن پہلے آتا ہے اور قانونِ سائن کام ختم کرتا ہے۔ مثلثیں حل کرنے کا رہنما ہر صورت ایک جگہ بیان کرتا ہے۔

قانونِ کوسائن کا ایک عملی فائدہ یہ ہے کہ یہ کسی زاویے کے لیے کبھی مبہم جواب نہیں دیتا، کیونکہ $-1$ اور 1 کے درمیان ہر کوسائن $0^\circ$ اور $180^\circ$ کے درمیان ٹھیک ایک زاویے کے مطابق ہے۔ اس کے برعکس قانونِ سائن حادہ زاویے اور اس کے منفرجہ مکملہ میں فرق نہیں کر سکتا۔ اسی لیے بہت سی درسی کتابیں مشورہ دیتی ہیں کہ جہاں منفرجہ زاویہ ممکن ہو وہاں سب سے بڑا زاویہ کوسائن سے نکالا جائے۔

عام غلطیاں

• پہلے $a^2 + b^2 - 2ab$ نکال کر پھر $\cos C$ سے ضرب دینا۔ ضرب $2ab\cos C$ تفریق سے پہلے ہونا لازم ہے۔
• ایسا زاویہ استعمال کرنا جو دیے گئے دونوں ضلعوں کے درمیان نہ ہو۔
• ضلع نکالتے وقت آخر میں جذر لینا بھول جانا۔
• کیلکولیٹر پر درجوں اور ریڈین کو ملا دینا۔
• $c$ کو جلدی گول کرنا اور پھر گول قدر سے زاویے نکالنا۔

قانونِ کوسائن کیلکولیٹر ض ز ض، ض ض ض اور دوسری صورتیں ہر تعویض دکھاتے ہوئے حل کرتا ہے۔ خاص زاویوں پر کوسائن کی درست قدریں دہرانے کے لیے اکائی دائرہ کیلکولیٹر دیکھیں۔

قانونِ کوسائن کہاں استعمال ہوتا ہے

ہر وہ صورت جس میں دو معلوم فاصلے اور ان کے درمیان زاویہ ہو، قانونِ کوسائن کا سوال ہے۔ جہاز ران اس سے معلوم کرتے ہیں کہ مختلف سمتوں میں سفر کے دو مرحلوں کے بعد جہاز بندرگاہ سے کتنا دور ہے۔ انجینئر اس سے اس سہارے یا تار کی لمبائی نکالتے ہیں جو معلوم زاویے پر ملنے والے دو شہتیروں کے سروں کو جوڑتا ہے۔ روبوٹکس میں دو کڑیوں والے بازو کے ہر جوڑ کو کسی نقطے تک پہنچنے کے لیے جو زاویہ لینا ہو، وہ قانونِ کوسائن کو زاویے کے لیے حل کر کے نکالا جاتا ہے، کیونکہ دونوں کڑیوں کی لمبائیاں اور ہدف تک فاصلہ سب معلوم ہیں۔

ڈیٹا سائنس میں یہی فارمولا ناپتا ہے کہ اعداد کی دو فہرستیں کتنی ملتی جلتی ہیں۔ ہر فہرست کو سمتیہ مان کر ان کے درمیان زاویے کا کوسائن، جو نقطی حاصل ضرب سے نکالا جاتا ہے، کوسائن مماثلت کہلاتا ہے، اور یہ سرچ انجنوں اور سفارشی نظاموں میں استعمال ہوتا ہے۔ جیومیٹری بالکل مثلث والی ہی ہے؛ صرف ابعاد کی تعداد بدلتی ہے۔

مشقی سوالات مع جوابات

1. ضلعے 4 اور 6 زاویہ $120^\circ$ پر ملتے ہیں۔ تیسرا ضلع معلوم کریں۔ جواب: $\sqrt{16 + 36 + 24} = \sqrt{76} \approx 8.72$، کیونکہ $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$۔
2. ضلعوں 7، 8 اور 13 والی مثلث کا سب سے بڑا زاویہ معلوم کریں۔ جواب: $\cos C = \frac{49 + 64 - 169}{112} = -\frac{1}{2}$، اس لیے زاویہ بالکل $120^\circ$ ہے۔
3. کیا ضلعوں 9، 12 اور 15 والی مثلث حادہ، قائمہ یا منفرجہ ہے؟ جواب: $81 + 144 = 225 = 15^2$، اس لیے یہ قائمہ مثلث ہے۔
4. ضلعوں 13، 14 اور 15 والی مثلث کا رقبہ معلوم کریں۔ جواب: $s = 21$، رقبہ $= \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$۔

اکثر پوچھے جانے والے سوالات