قانونِ سائن، بشمول مبہم صورت

فارمولا اور نام رکھنے کا رواج

مثلث کے زاویوں کو $A$، $B$ اور $C$ کہیں، اور ہر زاویے کے مقابل ضلع کو بالترتیب $a$، $b$ اور $c$۔ کسی زاویے کا مقابل ضلع وہ ہے جو اسے نہیں چھوتا۔ اس رواج کے ساتھ قانونِ سائن یہ ہے:

یہاں $R$ اس دائرے کا رداس ہے جو تینوں راسوں سے گزرتا ہے، جسے محیطی دائرہ کہتے ہیں۔ آپ ایک وقت میں تین میں سے صرف دو کسریں استعمال کرتے ہیں، اس لیے یہ قانون دراصل ایک ضلع، اس کے مقابل زاویے، دوسرے ضلع اور اس کے مقابل زاویے کے درمیان تناسب ہے۔ اسے الٹا بھی لکھا جا سکتا ہے، $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$، جو اس وقت زیادہ آسان ہے جب نامعلوم زاویہ ہو۔

یہ قانون ہر مثلث کے لیے کام کرتا ہے، صرف قائمہ مثلث کے لیے نہیں، اسی لیے یہ اس حصے میں آتا ہے جسے اکثر غیر قائمہ مثلثوں کی تکونیات کہا جاتا ہے۔ $C = 90^\circ$ والی قائمہ مثلث میں یہ جانی پہچانی صورت $\sin A = \frac{a}{c}$ بن جاتا ہے، کیونکہ $\sin 90^\circ = 1$۔

قانونِ سائن کیوں درست ہے

راس $C$ سے ضلع $c$ پر عمود گرائیں اور اس کی لمبائی $h$ کہیں۔ یہ مثلث کو دو قائمہ مثلثوں میں بانٹ دیتا ہے۔ زاویہ $A$ والی مثلث میں وتر $b$ ہے، اس لیے $h = b\sin A$۔ زاویہ $B$ والی مثلث میں وتر $a$ ہے، اس لیے $h = a\sin B$۔

دونوں عبارتیں ایک ہی اونچائی کے برابر ہیں، اس لیے $b\sin A = a\sin B$۔ دونوں اطراف کو $\sin A\sin B$ سے تقسیم کرنے پر $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ ملتا ہے۔ کسی دوسرے راس سے ارتفاع لے کر یہی دلیل دہرانے سے ضلع $c$ شامل ہو جاتا ہے۔ اگر زاویہ $A$ منفرجہ ہو تو ارتفاع کا قدم مثلث سے باہر پڑتا ہے، لیکن وہی مساواتیں درست رہتی ہیں کیونکہ $\sin(180^\circ - A) = \sin A$۔

یہی ارتفاع رقبے کا فارمولا دیتا ہے۔ رقبہ قاعدے اور اونچائی کے حاصل ضرب کا نصف ہے، اس لیے قاعدہ $c$ اور اونچائی $b\sin A$ کے ساتھ:

مثلاً جس مثلث کے ضلعے 8 اور 11 ہوں اور $50^\circ$ کے زاویے پر ملیں، اس کا رقبہ $\frac{1}{2}(8)(11)\sin 50^\circ \approx 33.71$ مربع اکائیاں ہے۔

کب استعمال کریں: ز ز ض اور ز ض ز

قانونِ سائن کو کم از کم ایک مکمل جوڑا چاہیے: ایک ضلع اور اس کے مقابل زاویہ۔ اگر دو زاویے معلوم ہوں تو تیسرا بھی معلوم ہے، کیونکہ مثلث کے زاویوں کا مجموعہ $180^\circ$ ہے۔ اس لیے ہر وہ سوال جس میں دو زاویے اور ایک ضلع دیا ہو، قانونِ سائن سے مکمل کیا جا سکتا ہے۔ ان صورتوں کو ز ز ض (زاویہ، زاویہ، ضلع) اور ز ض ز (زاویہ، ضلع، زاویہ) کہتے ہیں۔

ہر حساب میں دیا گیا ضلع استعمال کریں، نہ کہ وہ ضلع جو آپ نے نکال کر گول کیا ہو۔ اس سے گول کرنے کی غلطیاں جمع نہیں ہوتیں۔

مبہم صورت (ض ض ز)

جب دو ضلعے اور ان میں سے ایک کے مقابل زاویہ معلوم ہو تو یہ معلومات کسی مثلث کو بیان نہیں کر سکتیں، ٹھیک ایک کو، یا دو مختلف مثلثوں کو۔ وجہ یہ ہے کہ حادہ زاویے اور اس کے مکملہ زاویے کا سائن برابر ہوتا ہے، اس لیے $\sin B = k$ حل کرنے سے دو ممکنہ زاویے، $B$ اور $180^\circ - B$، ملتے ہیں، اور دونوں فٹ ہو سکتے ہیں۔

فرض کریں زاویہ $A$ حادہ ہے، $a$ اس کا مقابل ضلع ہے اور $b$ دوسرا معلوم ضلع۔ اونچائی $h = b\sin A$ نکالیں۔ پھر:

• اگر $a < h$ ہو تو ضلع قاعدے تک پہنچنے کے لیے بہت چھوٹا ہے: کوئی مثلث نہیں۔
• اگر $a = h$ ہو تو وہ بس پہنچتا ہے: ایک قائمہ مثلث۔
• اگر $h < a < b$ ہو تو وہ دو مقامات پر گھوم سکتا ہے: دو مثلثیں۔
• اگر $a \ge b$ ہو تو صرف ایک مقام کام کرتا ہے: ایک مثلث۔

اگر $A$ منفرجہ ہو تو $a > b$ کی صورت میں ایک مثلث ہے اور ورنہ کوئی نہیں، کیونکہ منفرجہ زاویے کا مقابل ضلع سب سے لمبا ہونا لازم ہے۔

پیمائشِ زمین کا ایک سوال

زمین کی پیمائش کرنے والے قانونِ سائن سے وہ فاصلے ناپتے ہیں جن پر وہ چل نہیں سکتے۔ دریا کے ایک کنارے پر دو نقطے $P$ اور $Q$ ایک دوسرے سے 100 میٹر دور ہیں۔ دوسرے کنارے پر ایک درخت $T$ کھڑا ہے۔ نقطہ $P$ پر کنارے اور درخت کی طرف خطِ نظر کے درمیان زاویہ $52^\circ$ ہے، اور $Q$ پر $71^\circ$۔

مثلثوں کے بڑے جالوں پر بار بار دہرایا گیا یہی مثلث بندی کا خیال سیٹلائٹ کے ذریعے مقام معلوم کرنے سے پہلے پورے ملکوں کے نقشے بنانے میں استعمال ہوا، اور آج بھی جی پی ایس آلات اور فون نیٹ ورک زاویوں اور فاصلوں سے مقام کا اندازہ اسی بنیاد پر لگاتے ہیں۔

قانونِ سائن یا قانونِ کوسائن؟

دیکھیں کہ آپ کو کیا دیا گیا ہے۔ اگر ایک ضلع اور اس کا مقابل زاویہ، اور ساتھ ایک اور معلومات ہو تو قانونِ سائن استعمال کریں۔ اگر دو ضلعے اور ان کے درمیان زاویہ (ض ز ض) ہو، یا تینوں ضلعے (ض ض ض)، تو کوئی مکمل جوڑا دستیاب نہیں، اس لیے قانونِ کوسائن سے شروع کریں۔ قانونِ کوسائن ایک بار لگانے کے بعد عموماً ایک جوڑا مل جاتا ہے اور قانونِ سائن کام مکمل کر سکتا ہے، اگرچہ معکوس سائن کے ابہام سے بچنے کے لیے بہتر ہے کہ سب سے بڑا زاویہ پہلے قانونِ کوسائن سے نکالا جائے۔

مکمل فیصلے کا عمل، صورت بہ صورت، ہمارے مثلثیں حل کرنا کے رہنما میں درج ہے۔ خود زاویوں کی قدروں کے لیے اکائی دائرہ بتاتا ہے کہ $\sin\theta = \sin(180^\circ - \theta)$ کیوں ہے، جو مبہم صورت کی جڑ ہے۔

عام غلطیاں

• کسی ضلع کو ایسے زاویے کے ساتھ جوڑنا جو اس کے مقابل نہ ہو۔ پہلے مثلث بنا کر نام لکھیں۔
• ض ض ز کی صورت میں دوسرا حل $180^\circ - B$ بھول جانا۔
• ایسا دوسرا حل قبول کر لینا جس سے زاویوں کا مجموعہ $180^\circ$ سے بڑھ جائے۔
• درجوں والے زاویوں کے ساتھ کیلکولیٹر کو ریڈین کی حالت میں استعمال کرنا۔
• درمیانی زاویوں کو بہت زیادہ گول کرنا، جس سے آخری ضلعے نمایاں طور پر بدل سکتے ہیں۔

معقولیت کی ایک فوری جانچ زیادہ تر غلطیاں پکڑ لیتی ہے: سب سے لمبا ضلع سب سے بڑے زاویے کے سامنے اور سب سے چھوٹا ضلع سب سے چھوٹے زاویے کے سامنے ہونا لازم ہے۔ قانونِ کوسائن کیلکولیٹر تین معلوم حصوں سے کوئی بھی مثلث حل کرتا ہے اور مبہم صورت میں دونوں حل دکھاتا ہے، اس لیے آپ اپنا کام جانچ سکتے ہیں۔

اکثر پوچھے جانے والے سوالات