مواد پر جائیں
MathSolver Pro
  • میتھ سولور کھولیں
  • اے آئی ٹیوٹر سے پوچھیں
  • AP کورس تلاش کریں
  • کوئز بنائیں
  • کیلکولیٹر کھولیں
  • گرافنگ کیلکولیٹر
  • تمام کیلکولیٹر دیکھیں
  • ریاضی کی گائیڈز پڑھیں
↑ ↓کھولنے کے لیے Enter · بند کرنے کے لیے Esc
سوال حل کریں

قانونِ کوسائن کیلکولیٹر

دو اضلاع اور ان کے درمیانی زاویے سے، یا تینوں اضلاع سے مثلث حل کریں، اور قانونِ کوسائن کے ہر مرحلے کے ساتھ نامعلوم ضلع، ہر زاویہ اور رقبہ حاصل کریں۔

مثالیں

قانونِ کوسائن کیلکولیٹر کے بارے میں

قائمہ الزاویہ مثلث مسئلہ فیثاغورث اور بنیادی مثلثیات سے حل ہو جاتے ہیں، لیکن پیمائشِ زمین، جہاز رانی، انجینئرنگ اور طبیعیات کے زیادہ تر مثلثوں میں کوئی قائمہ زاویہ نہیں ہوتا۔ قانونِ کوسائن فیثاغورث کو ہر مثلث تک وسعت دیتا ہے، اور جب آپ کو دو اضلاع اور ان کے درمیان کا زاویہ، یا تینوں اضلاع اور کوئی زاویہ نہیں معلوم ہو تو یہی اوزار کام آتا ہے۔

یہ کیلکولیٹر دونوں صورتیں سنبھالتا ہے۔ ض-ز-ض موڈ میں یہ تیسرا ضلع معلوم کرتا ہے، اور جہاں ممکن ہو 39\sqrt{39} جیسی درست جذری شکل رکھتا ہے، پھر باقی دو زاویے نکالتا ہے۔ ض-ض-ض موڈ میں یہ جانچتا ہے کہ اضلاع مثلث بنا سکتے ہیں اور تینوں زاویے معلوم کرتا ہے۔ دونوں موڈز میں آخر میں رقبہ دیا جاتا ہے۔

قانونِ کوسائن کیا ہے؟

اگر کسی مثلث کے اضلاع aa، bb اور cc بالترتیب زاویوں AA، BB اور CC کے مقابل ہوں تو قانونِ کوسائن کہتا ہے c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C۔ یہی تعلق ہر ضلع اور اس کے مقابل زاویے کے لیے درست ہے۔

جب C=90°C = 90° ہو تو cos⁡C=0\cos C = 0 اور فارمولا گھٹ کر c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 رہ جاتا ہے، یعنی مسئلہ فیثاغورث۔ اضافی رکن −2abcos⁡C-2ab\cos C زاویے کی اصلاح کرتا ہے: جب CC حادہ ہو تو یہ cc کو چھوٹا کرتا ہے اور جب CC منفرجہ ہو تو بڑا، کیونکہ منفرجہ زاویے کا کوسائن منفی ہوتا ہے۔

قانونِ کوسائن کیلکولیٹر کیسے استعمال کریں

  1. ض-ز-ض (دو اضلاع اور درمیانی زاویہ) یا ض-ض-ض (تین اضلاع) چنیں۔
  2. اضلاع aa اور bb درج کریں۔
  3. ض-ز-ض موڈ میں درمیانی زاویہ CC ڈگری میں درج کریں؛ ض-ض-ض موڈ میں تیسرا ضلع cc درج کریں۔
  4. “مثلث حل کریں” دبائیں تاکہ نامعلوم ضلع یا زاویے اور پھر رقبہ دیکھ سکیں۔
  5. نتیجہ جانچیں: زاویوں کا مجموعہ 180° ہونا چاہیے اور سب سے بڑا زاویہ سب سے لمبے ضلع کے مقابل ہونا چاہیے۔

فارمولے

قانونِ کوسائن

c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

زاویے کے لیے حل شدہ

cos⁡C=a2+b2−c22ab\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

زاویوں کا مجموعہ

A+B+C=180∘A + B + C = 180^\circ

رقبہ (ض-ز-ض)

K=12absin⁡CK = \tfrac12 ab\sin C

حل شدہ مثال: a = 5, b = 7, C = 60°

مثال میں a=5a = 5، b=7b = 7 اور درمیانی زاویہ C=60°C = 60° ہے۔ چونکہ cos⁡60°=12\cos 60° = \frac12، فارمولا c2=25+49−35=39c^2 = 25 + 49 - 35 = 39 دیتا ہے، اس لیے c=39≈6.245c = \sqrt{39} \approx 6.245۔

پھر انجن ترتیب بدلے ہوئے قانونِ کوسائن سے زاویہ AA تقریباً 43.898°43.898° اور زاویوں کے مجموعے سے زاویہ BB تقریباً 76.102°76.102° معلوم کرتا ہے۔ رقبہ 12⋅5⋅7⋅sin⁡60°=3534≈15.155\frac12 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 60° = \frac{35\sqrt3}{4} \approx 15.155 ہے۔

نیچے دیا گیا حل اسی انجن نے تیار کیا ہے جو اوپر والے کیلکولیٹر کو چلاتا ہے۔

حتمی جواب

c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°

ہم نے آپ کا سوال کیسے سمجھا

دو اضلاع اور درمیانی زاویہ: تیسرا ضلع اور باقی زاویے معلوم کریں

مرحلہ وار حل

  1. c² = a² + b² − 2ab·cos C میں قیمتیں رکھیں

    c2=52+72−2(5)(7)cos⁡60∘=39c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ = 39

  2. جذر المربع لیں

    c=39=39≈6.244997998c = \sqrt{39} = \sqrt{39} \approx 6.244997998

  3. ترتیب بدلے ہوئے قانونِ کوسائن سے زاویہ A معلوم کریں

    cos⁡A=b2+c2−a22bc≈0.72057669⇒A≈43.897886∘\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0.72057669 \Rightarrow A \approx 43.897886^\circ

  4. مثلث کے زاویوں کا مجموعہ 180° ہے

    B=180∘−A−C≈76.102114∘B = 180^\circ - A - C \approx 76.102114^\circ

  5. دو اضلاع اور درمیانی زاویے سے رقبہ

    رقبہ=12absin⁡C≈15.155445\text{رقبہ} = \tfrac12ab\sin C \approx 15.155445

استعمال شدہ فارمولے

  • قانونِ کوسائن

    c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

  • زاویے کے لیے حل شدہ

    cos⁡C=a2+b2−c22ab\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

  • رقبہ

    رقبہ=12absin⁡C\text{رقبہ} = \tfrac12 ab\sin C

مثلث کے اضلاع a = 5, b = 7, c ≈ 6.244998 اور زاویے A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°, C ≈ 60° ہیں۔ یہ حادہ زاویہ مختلف الاضلاع مثلث ہے جس کا رقبہ ≈ 15.155445 اور محیط ≈ 18.244998 ہے۔

تصدیق

  • A + B + C = 180°.
  • ہیرون کا فارمولا وہی رقبہ دیتا ہے: 15.155445۔
  • قانونِ سائن کی نسبتیں: a/sin A ≈ 7.2111026, b/sin B ≈ 7.2111026, c/sin C ≈ 7.2111026۔

تفصیلی وضاحت

ض-ز-ض مثلث حل کرنا

دو اضلاع اور ان کے درمیان کے زاویے سے قانونِ کوسائن تیسرا ضلع براہِ راست دیتا ہے۔ صرف ایک مثلث ممکن ہے، اس لیے کوئی ابہام نہیں۔ جب تینوں اضلاع معلوم ہوں تو ترتیب بدلا ہوا فارمولا باری باری ہر زاویہ دیتا ہے۔ کیلکولیٹر دوسرے زاویے کے لیے قانونِ سائن کے بجائے قانونِ کوسائن استعمال کرتا ہے کیونکہ کوسائن کا فارمولا حادہ زاویے کو اس کے منفرجہ مکملہ سے نہیں ملا سکتا۔

منفرجہ درمیانی زاویے بھی اسی طرح حل ہوتے ہیں۔ a=4a = 4، b=6b = 6 اور C=120°C = 120° کے لیے cos⁡120°=−12\cos 120° = -\frac12، اس لیے c2=16+36+24=76c^2 = 16 + 36 + 24 = 76 اور c=219≈8.718c = 2\sqrt{19} \approx 8.718، جو توقع کے مطابق دونوں دیے گئے اضلاع سے لمبا ہے۔

ض-ض-ض مثلث حل کرنا

تین لمبائیاں تبھی مثلث بناتی ہیں جب ہر دو کا مجموعہ تیسری سے زیادہ ہو؛ یہی مثلث کی نامساوات ہے۔ کیلکولیٹر پہلے یہی جانچتا ہے: اضلاع 1، 2 اور 5 رد کر دیے جاتے ہیں کیونکہ 1+2<51 + 2 < 5۔ درست اضلاع کے لیے یہ ترتیب بدلے ہوئے فارمولے سے پہلے زاویہ CC، پھر زاویہ AA نکالتا ہے، اور BB زاویوں کے مجموعے سے معلوم کرتا ہے۔ سب سے لمبے ضلع کو cc کے طور پر درج کریں تو پہلا معلوم ہونے والا زاویہ بتا دیتا ہے کہ مثلث حادہ زاویہ، قائمہ زاویہ یا منفرجہ زاویہ ہے: اضلاع 3، 4 اور 5 سے C=90°C = 90° ملتا ہے۔

قانونِ کوسائن یا قانونِ سائن؟

ض-ز-ض اور ض-ض-ض کے لیے، جہاں کوئی ضلع اور اس کا مقابل زاویہ ایک ساتھ معلوم نہیں، قانونِ کوسائن استعمال کریں۔ ز-ض-ز، ز-ز-ض اور ض-ض-ز کے لیے، جہاں کم از کم ایک ضلع اپنے مقابل زاویے کے ساتھ معلوم ہو، قانونِ سائن استعمال کریں۔ ض-ض-ز کی صورت کے دو حل ہو سکتے ہیں؛ قانونِ کوسائن والی صورتوں کے کبھی نہیں ہوتے، اس لیے انتخاب ہو تو وہ زیادہ قابلِ اعتماد نقطۂ آغاز ہیں۔

عام غلطیاں

  • ض-ز-ض موڈ میں ایسا زاویہ استعمال کرنا جو دونوں دیے گئے اضلاع کے درمیان نہ ہو۔
  • 2abcos⁡C2ab\cos C میں 2 کا جزو ضربی بھول جانا۔
  • زاویہ ڈگری میں ہو اور کیلکولیٹر ریڈین موڈ میں رہ جائے۔
  • cos⁡C\cos C سے ضرب دینے سے پہلے 2ab2ab تفریق کر دینا، جو عملیات کی ترتیب توڑ دیتا ہے۔
  • مثلث کی نامساوات کی جانچ چھوڑ دینا اور 1 سے بڑا ناممکن کوسائن حاصل کرنا۔

مشورے

  • مثلث کے نام اس طرح رکھیں کہ نامعلوم ضلع cc اور معلوم زاویہ CC ہو۔
  • سب سے بڑا زاویہ ہمیشہ سب سے لمبے ضلع کے مقابل ہوتا ہے؛ جواب جانچنے کے لیے یہ استعمال کریں۔
  • گول کرنے کی غلطی بڑھنے سے بچنے کے لیے 39\sqrt{39} جیسی درست قیمتیں آخری قدم تک رکھیں۔
  • خاص زاویوں کے درست کوسائن یاد کرنے کے لیے اکائی دائرہ کیلکولیٹر استعمال کریں۔
  • قائمہ الزاویہ مثلثوں کے لیے فاصلے کا فارمولا اور فیثاغورث زیادہ تیز ہیں۔

اکثر پوچھے جانے والے سوالات

قانونِ کوسائن کب استعمال کرنا چاہیے؟

جب آپ کو دو اضلاع اور درمیانی زاویہ (ض-ز-ض) یا تینوں اضلاع (ض-ض-ض) معلوم ہوں۔ ان صورتوں میں کوئی ضلع اپنے مقابل زاویے کے ساتھ معلوم نہیں ہوتا، اس لیے قانونِ سائن سے آغاز نہیں ہو سکتا۔

قانونِ کوسائن سے زاویہ کیسے معلوم کرتے ہیں؟

اسے cos C = (a² + b² − c²) / (2ab) کی شکل میں ترتیب دیں، تینوں اضلاع کی قیمتیں رکھیں اور معکوس کوسائن لیں۔

قانونِ کوسائن کا مسئلہ فیثاغورث سے کیا تعلق ہے؟

جب زاویہ C برابر 90° ہو تو cos C صفر یعنی 0 ہوتا ہے اور فارمولا c² = a² + b² بن جاتا ہے۔ قانونِ کوسائن ہر مثلث کے لیے اس کی عمومی شکل ہے۔

اگر میرے تین اضلاع مثلث نہ بنائیں تو کیا ہوگا؟

کیلکولیٹر مثلث کی نامساوات جانچتا ہے اور اگر کوئی ضلع باقی دو کے مجموعے جتنا یا اس سے لمبا ہو تو خرابی بتاتا ہے، جیسا کہ اضلاع 1، 2 اور 5 کے ساتھ ہوتا ہے۔

مثلث کے نتائج درست ہیں یا گول کیے ہوئے؟

جب تیسرا ضلع جذر المربع ہو تو اسے √39 یا 2√19 جیسی درست شکل میں اعشاری قیمت کے ساتھ دکھایا جاتا ہے۔ زاویے اعشاری ڈگری میں دیے جاتے ہیں۔

رقبہ کیسے نکالا جاتا ہے؟

فارمولا رقبہ = ½ab sin C سے، یعنی دو اضلاع اور ان کے درمیانی زاویے سے۔ ض-ض-ض موڈ میں پہلے زاویہ معلوم کیا جاتا ہے۔

کیا قانونِ کوسائن دو مثلث دے سکتا ہے؟

نہیں۔ ض-ز-ض اور ض-ض-ض معلومات ہمیشہ ایک ہی مثلث متعین کرتی ہیں۔ دو ممکنہ مثلثوں والی مبہم صورت صرف ض-ض-ز معلومات اور قانونِ سائن کے ساتھ پیش آتی ہے۔

اپنا مثلث حل کریں

اوپر دو اضلاع اور ایک زاویہ، یا تین اضلاع درج کریں تاکہ تمام نامعلوم اجزاء اور رقبہ معلوم ہو جائے۔

کیلکولیٹر استعمال کریںAI میتھ سولور سے پوچھیں

ریاضی کے مزید کیلکولیٹرز

مثلثیاتی شناخت کیلکولیٹرٹرگنومیٹریاکائی دائرہ کیلکولیٹرٹرگنومیٹریکسور کیلکولیٹرعمومی ریاضیفیصد کیلکولیٹرعمومی ریاضیعاد اعظم کیلکولیٹرعمومی ریاضیذو اضعاف اقل کیلکولیٹرعمومی ریاضی