دو سمتیوں کے سمتی حاصل ضرب کی وضاحت

سمتی حاصل ضرب کیا پیدا کرتا ہے

نقطی حاصل ضرب دو سمتیوں کو ایک عدد میں بدلتا ہے۔ سمتی حاصل ضرب، جسے ویکٹر حاصل ضرب بھی کہتے ہیں، دو سمتیوں کو ایک تیسرے سمتیے میں بدلتا ہے۔ یہ صرف تین ابعاد میں متعین ہے، اور نتیجے کی دو امتیازی خصوصیات ہیں۔ اس کی سمت دونوں اصل سمتیوں پر عمودی ہوتی ہے، اور اس کی لمبائی اس متوازی الاضلاع کے رقبے کے برابر ہوتی ہے جو وہ بناتے ہیں:

یہاں $\theta$ سمتیوں کے درمیان زاویہ ہے، 0 سے 180 درجے تک۔ چونکہ 0 اور 180 درجے کا سائن صفر ہے، اس لیے متوازی سمتیوں کا سمتی حاصل ضرب ہمیشہ صفر ہوتا ہے، اور عمودی سمتیے اپنی جسامت کے لحاظ سے سب سے بڑی ممکنہ لمبائی دیتے ہیں۔

اجزا والا فارمولا

$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ اور $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ کے لیے اجزا یہ ہیں:

یہ فارمولا یاد رکھنا مشکل ہے، اس لیے زیادہ تر لوگ اس کے بجائے ایک علامتی ڈیٹرمیننٹ استعمال کرتے ہیں۔ پہلی قطار میں اکائی سمتیے $\mathbf{i}$، $\mathbf{j}$ اور $\mathbf{k}$ رکھیں، پھر $\mathbf{a}$ اور $\mathbf{b}$ کے اجزا، اور پہلی قطار کے ساتھ پھیلائیں:

ہمیشہ آخر میں نقطی حاصل ضرب کی دونوں جانچیں کریں۔ ان میں چند سیکنڈ لگتے ہیں اور یہ تقریباً ہر علامت کی غلطی پکڑ لیتی ہیں، خاص طور پر درمیانی جز میں۔

دائیں ہاتھ کا قاعدہ اور ترتیب

دونوں سمتیوں پر دو مخالف سمتیں عمودی ہوتی ہیں، اور دائیں ہاتھ کا قاعدہ ان میں سے ایک چنتا ہے۔ اپنے دائیں ہاتھ کی انگلیاں $\mathbf{a}$ کی سمت میں رکھیں، انہیں $\mathbf{b}$ کی طرف موڑیں، اور آپ کا انگوٹھا $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ کی سمت اشارہ کرے گا۔ معیاری اکائی سمتیوں کے لیے اس سے $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$، $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ اور $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$ ملتے ہیں۔

ترتیب الٹنے سے آپ کا انگوٹھا دوسری طرف اشارہ کرتا ہے، اس لیے سمتی حاصل ضرب ضد مبادلی ہے:

یہ تلازمی بھی نہیں: $(\mathbf{i} \times \mathbf{i}) \times \mathbf{j} = \mathbf{0}$، جبکہ $\mathbf{i} \times (\mathbf{i} \times \mathbf{j}) = \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}$۔ البتہ یہ جمع پر تقسیمی ہے، اور اسکیلر باہر نکالے جا سکتے ہیں، یعنی $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$۔

متوازی الاضلاع اور مثلث کے رقبے

چونکہ اس کی لمبائی متوازی الاضلاع کا رقبہ ہے، اس لیے سمتی حاصل ضرب محدد سے براہِ راست رقبے دیتا ہے۔ مثال 1 کے سمتیے $|(-3, 6, -3)| = \sqrt{54} \approx 7.35$ رقبے کا متوازی الاضلاع بناتے ہیں، اور انہی دو اضلاع والی مثلث کا رقبہ اس کا نصف، تقریباً 3.67، ہے۔

عمودی سمتیے اور سطحوں کی مساواتیں

ایک مستوی سطح اپنے اوپر کے ایک نقطے اور اپنے اوپر عمودی ایک عمودی سمتیے سے متعین ہوتی ہے۔ چونکہ سطح میں پڑے دو سمتیوں کا سمتی حاصل ضرب دونوں پر عمودی ہوتا ہے، اس لیے وہ ٹھیک ایسا ہی عمودی سمتیہ ہے۔ مثال 2 میں سمتیہ $(6, 3, 2)$ اس سطح پر عمودی ہے جو $P$، $Q$ اور $R$ سے گزرتی ہے، اس لیے سطح کی مساوات $6x + 3y + 2z = d$ ہے۔ $P(1, 0, 0)$ کی تعویض سے $d = 6$ ملتا ہے۔

سطح $6x + 3y + 2z = 6$ ہے، اور $Q$ اور $R$ بھی اسے پورا کرتے ہیں: $3 \cdot 2 = 6$ اور $2 \cdot 3 = 6$۔ یہی خیال 3 ابعادی گرافکس میں مسلسل استعمال ہوتا ہے، جہاں ماڈل کی ہر مثلث کو ایک عمودی سمتیہ درکار ہوتا ہے تاکہ طے ہو سکے کہ اس پر روشنی کیسے پڑتی ہے اور کون سا رخ کیمرے کی طرف ہے۔

قوتِ گردش اور دیگر طبیعیات

قوتِ گردش (ٹارک)، یعنی قوت کا گھمانے والا اثر، ایک سمتی حاصل ضرب ہے: $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$، جہاں $\mathbf{r}$ محور سے اس نقطے تک جاتا ہے جہاں قوت لگتی ہے۔ اس کی مقدار $|\mathbf{r}|\,|\mathbf{F}|\sin\theta$ ہے۔

زاویائی معیارِ حرکت اور حرکت کرتے بار پر مقناطیسی قوت بھی سمتی حاصل ضرب ہیں، اور ہر صورت میں دائیں ہاتھ کا قاعدہ نتیجے کی سمت بتاتا ہے۔

اسکیلر ثلاثی حاصل ضرب اور حجم

دونوں حاصل ضرب ملانے سے اسکیلر ثلاثی حاصل ضرب $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ ملتا ہے، جو قطاروں $\mathbf{a}$، $\mathbf{b}$ اور $\mathbf{c}$ والے $3 \times 3$ ڈیٹرمیننٹ کے برابر ہے۔ اس کی مطلق قیمت اس ترچھے ڈبے کا حجم ہے جو تینوں سمتیے بناتے ہیں۔ $(1, 0, 0)$، $(0, 2, 0)$ اور $(0, 0, 3)$ کے لیے ڈبہ ایک عام مستطیلی ڈبہ ہے اور ثلاثی حاصل ضرب $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ ہے۔ صفر ثلاثی حاصل ضرب کا مطلب ہے کہ تینوں سمتیے ایک ہی سطح میں ہیں۔

سمتی حاصل ضرب کیلکولیٹر ڈیٹرمیننٹ کے ہر مرحلے کے ساتھ سمتی حاصل ضرب نکالتا ہے، اور رقبے اور سمتیوں کے درمیان زاویہ بھی بتاتا ہے۔ عمودیت کی تصدیق کے لیے اسے نقطی حاصل ضرب کیلکولیٹر کے ساتھ استعمال کریں۔

نقطے سے خط تک فاصلہ

رقبے والی تشریح فاصلے کا ایک کلاسیکی سوال بھی حل کرتی ہے۔ نقطہ $A$ سے گزرنے والا خط لیں جس کا سمتی سمتیہ $\mathbf{u}$ ہو، اور خط سے باہر ایک نقطہ $P$۔ $\overrightarrow{AP}$ اور $\mathbf{u}$ سے بننے والے متوازی الاضلاع کا رقبہ $|\overrightarrow{AP} \times \mathbf{u}|$ ہے، اور چونکہ اس کا قاعدہ $|\mathbf{u}|$ ہے، اس لیے اس کی اونچائی، جو $P$ سے خط تک کا فاصلہ ہے، رقبہ تقسیم قاعدہ ہے۔

مثلاً مبدا سے سمت $(1, 2, 2)$ میں گزرنے والا خط اور نقطہ $P(2, 1, 3)$ لیں۔ سمتی حاصل ضرب $(2, 1, 3) \times (1, 2, 2) = (-4, -1, 3)$ کی لمبائی $\sqrt{26}$ ہے، اور سمتی سمتیے کی لمبائی 3 ہے، اس لیے فاصلہ $\frac{\sqrt{26}}{3} \approx 1.70$ ہے۔ آپ اس کی تصدیق ظل سے کر سکتے ہیں: نقطہ مبدا سے $\sqrt{14}$ دور ہے اور خط کے ساتھ اس کے ظل کی لمبائی $\frac{10}{3}$ ہے، اور مسئلہ فیثاغورث وہی فاصلہ دیتا ہے۔

عام غلطیاں اور مشق

• ڈیٹرمیننٹ پھیلاتے وقت درمیانی جز کی منفی علامت بھول جانا۔
• سمتیوں کی ترتیب الٹ دینا، جس سے جواب کی سمت پلٹ جاتی ہے۔
• سمتی حاصل ضرب کی لمبائی کو اس کے نصف کے بجائے مثلث کا رقبہ مان لینا۔
• دو ابعادی سمتیوں میں پہلے صفر تیسرا جز شامل کیے بغیر ان کا سمتی حاصل ضرب لینے کی کوشش کرنا۔

مشق کے لیے جانچیں کہ $(1, 0, 0) \times (0, 1, 0) = (0, 0, 1)$، جو قاعدہ $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ ہے۔ پھر تصدیق کریں کہ $(1, 2, 3) \times (2, 4, 6)$ صفر سمتیہ ہے، کیونکہ دوسرا سمتیہ پہلے کا دگنا ہے۔ آخر میں $(1, 1, 0) \times (0, 1, 1)$ نکالیں؛ آپ کو $(1, -1, 1)$ ملنا چاہیے، اور نقطی حاصل ضرب کی دونوں جانچیں صفر آنی چاہییں۔

فارمولا عمودی سمتیہ کیوں دیتا ہے

صرف اعتماد کرنے کے بجائے یہ دیکھنا مفید ہے کہ اجزا والا فارمولا کیوں کام کرتا ہے۔ نتیجے کا خود $\mathbf{a}$ کے ساتھ نقطی حاصل ضرب لیں: آپ کو $a_1(a_2b_3 - a_3b_2) + a_2(a_3b_1 - a_1b_3) + a_3(a_1b_2 - a_2b_1)$ ملتا ہے۔ قوسین کھولیں تو ہر رقم مخالف علامتوں کے ساتھ دو بار آتی ہے، اس لیے کل ٹھیک صفر ہے۔ $\mathbf{b}$ کے ساتھ نقطی حاصل ضرب لینے پر بھی یہی منسوخی ہوتی ہے۔ ڈیٹرمیننٹ کی زبان میں، $\mathbf{a}$ کے ساتھ نقطی حاصل ضرب لینا اکائی سمتیوں والی قطار کی جگہ $\mathbf{a}$ رکھ دیتا ہے، جس سے دو برابر قطاروں والا ڈیٹرمیننٹ بنتا ہے، اور ایسا ڈیٹرمیننٹ ہمیشہ صفر ہوتا ہے۔ دونوں طرح عمودیت فارمولے میں شامل ہے، مخصوص مثالوں کا اتفاق نہیں۔

اکثر پوچھے جانے والے سوالات