سمتی حاصل ضرب کیلکولیٹر: 3D سمتیے، رقبہ اور عمودی سمتیے

سمتی حاصل ضرب کیلکولیٹر کے بارے میں

سمتی حاصل ضرب فضا کے دو سمتیے لے کر تیسرا سمتیہ بناتا ہے جو دونوں پر عمود ہو۔ کسی مستوی کا عمودی سمتیہ معلوم کرنے، 3D میں متوازی الاضلاع یا مثلث کا رقبہ نکالنے، اور طبیعیات میں قوتِ گردش (ٹارک) اور زاویائی معیارِ حرکت جیسی گردشی مقداروں کو بیان کرنے کا یہی معیاری طریقہ ہے۔

یہ کیلکولیٹر سہ بعدی سمتیوں کے لیے $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ جانی پہچانی ڈیٹرمیننٹ ترتیب سے نکالتا ہے، جس کی پہلی صف میں $\mathbf{i}$ ، $\mathbf{j}$ اور $\mathbf{k}$ ہوتے ہیں۔ یہ ہر جزو الگ دکھاتا ہے، بشمول درمیانی رکن میں علامت کی تبدیلی کے جو زیادہ تر غلطیوں کی وجہ بنتی ہے، پھر مقدار دیتا ہے اور تصدیق کرتا ہے کہ نتیجہ دونوں داخلی سمتیوں پر عمودی ہے۔

سمتی حاصل ضرب کیا ہے؟

سمتیوں $\mathbf{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle$ اور $\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ کا سمتی حاصل ضرب سمتیہ $\langle u_2v_3 - u_3v_2,\; u_3v_1 - u_1v_3,\; u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$ ہے۔ یہ سہ بعدی سمتیوں کے لیے معرف ہے، اور نتیجہ بھی تین ابعاد کا سمتیہ ہوتا ہے۔

اس کی سمت $\mathbf{u}$ اور $\mathbf{v}$ دونوں پر عمود ہوتی ہے اور دائیں ہاتھ کے قاعدے سے طے ہوتی ہے: دائیں ہاتھ کی انگلیاں $\mathbf{u}$ سے $\mathbf{v}$ کی طرف موڑیں تو انگوٹھا $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ کی سمت اشارہ کرتا ہے۔ اس کی لمبائی $|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta$ ہے، یعنی دونوں سمتیوں سے بننے والے متوازی الاضلاع کا رقبہ۔

سمتی حاصل ضرب کیلکولیٹر کیسے استعمال کریں

پہلے سمتیے کے تینوں اجزا کوما سے الگ کر کے درج کریں، مثلاً 1, 2, 3۔
دوسرے سمتیے کے تینوں اجزا درج کریں۔
“حساب کریں” دبائیں۔
i، j اور k اجزا اور حاصل سمتیہ پڑھیں۔
رقبوں کے لیے مقدار والا مرحلہ اور نتیجے کی تصدیق کے لیے عمودیت کی جانچ استعمال کریں۔

فارمولے

ڈیٹرمیننٹ کی شکل

\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}

مقدار

|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta

ضد مبادلیت

\mathbf{v} \times \mathbf{u} = -(\mathbf{u} \times \mathbf{v})

مثلث کا رقبہ

A = \tfrac12\,|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|

حل شدہ مثال: ⟨1,2,3⟩ × ⟨4,5,6⟩

مثال میں $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ کا $\mathbf{v} = \langle 4, 5, 6 \rangle$ کے ساتھ سمتی حاصل ضرب لیا گیا ہے۔ $\mathbf{i}$ جزو $2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = -3$ ہے؛ $\mathbf{j}$ جزو $-(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) = 6$ ہے؛ $\mathbf{k}$ جزو $1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3$ ہے۔

چنانچہ $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle -3, 6, -3 \rangle$ ، جس کی مقدار $\sqrt{54} = 3\sqrt6 \approx 7.348$ ہے، یعنی دونوں سمتیوں سے بننے والے متوازی الاضلاع کا رقبہ۔ ہر داخلی سمتیے کے ساتھ اس کا نقطی حاصل ضرب 0 ہے، جو تصدیق کرتا ہے کہ یہ دونوں پر عمود ہے۔

نیچے دیا گیا حل اسی انجن نے تیار کیا ہے جو اوپر والے کیلکولیٹر کو چلاتا ہے۔

حتمی جواب

u \times v = \langle -3, 6, -3 \rangle

ہم نے آپ کا سوال کیسے سمجھا

دو 3D سمتیوں کا سمتی حاصل ضرب۔

\langle 1, 2, 3 \rangle \times \langle 4, 5, 6 \rangle

مرحلہ وار حل

پہلی صف میں اکائی سمتیوں i, j, k کے ساتھ ڈیٹرمیننٹ لکھیں
$u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}$
i جزو
$(2)(6) - (3)(5) = -3$
j جزو (پھیلاؤ میں منفی علامت پر دھیان دیں)
$-\big((1)(6) - (3)(4)\big) = 6$
k جزو
$(1)(5) - (2)(4) = -3$
مقدار =، یعنی u اور v سے بننے والے متوازی الاضلاع کا رقبہ
$|u \times v| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348469228$
عمودیت کی جانچ کریں
$(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0$

استعمال شدہ فارمولے

سمتی حاصل ضرب
$u \times v = \langle u_2v_3 - u_3v_2,\ u_3v_1 - u_1v_3,\ u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$
مقدار
$|u \times v| = |u||v|\sin\theta$

نتیجہ u اور v دونوں پر عمود ہے؛ اس کی لمبائی 3√6 ≈ 7.348469228 ان سے بننے والے متوازی الاضلاع کا رقبہ ہے (مثلث کا رقبہ اس کا نصف ہے)۔

تصدیق

نتیجہ دونوں داخلی سمتیوں پر عمود ہے (دونوں نقطی حاصل ضرب 0) ہیں)۔

تفصیلی وضاحت

ڈیٹرمیننٹ کا طریقہ

اکائی سمتیوں کو $3 \times 3$ ڈیٹرمیننٹ کی پہلی صف میں لکھ کر اس صف کے ساتھ پھیلانا فارمولا یاد رکھنے کا سب سے آسان طریقہ ہے۔ ہر جزو ان کالموں سے بنا $2 \times 2$ ڈیٹرمیننٹ ہے جو اس اکائی سمتیے سے متعلق نہیں۔ درمیانی رکن پر کوفیکٹر نمونے $+, -, +$ کی وجہ سے منفی علامت آتی ہے، اسی لیے کیلکولیٹر اسے واضح طور پر نشان زد کرتا ہے۔

سمتی حاصل ضرب جمع پر تقسیمی ہے، $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}$ ، اور کسی بھی داخلی سمتیے کو ضرب دینے سے نتیجہ بھی اسی سے ضرب ہو جاتا ہے۔ البتہ یہ تلازمی نہیں: $(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w}$ اور $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ عموماً مختلف سمتیے ہیں۔ $\langle 1, 2, 0 \rangle$ اور $\langle 3, 4, 0 \rangle$ جیسے مستوی سمتیوں کے لیے نتیجہ $\langle 0, 0, -2 \rangle$ سیدھا $z$ محور کے نیچے کی طرف ہے، اور اس کی لمبائی 2 مستوی میں متوازی الاضلاع کا رقبہ ہے۔

جیومیٹری میں مطلب

سمتی حاصل ضرب کی مقدار اس متوازی الاضلاع کے رقبے کے برابر ہے جس کے اضلاع $\mathbf{u}$ اور $\mathbf{v}$ ہوں، اس لیے اس کا نصف ان سے بننے والے مثلث کا رقبہ ہے۔ راسوں $P$ ، $Q$ اور $R$ والے مثلث کے لیے $\overrightarrow{PQ}$ کا $\overrightarrow{PR}$ کے ساتھ سمتی حاصل ضرب لیں اور لمبائی آدھی کریں۔

اگر سمتیے متوازی ہوں تو متوازی الاضلاع پچک جاتا ہے اور سمتی حاصل ضرب صفر سمتیہ ہوتا ہے۔ $\langle 1, 2, 3 \rangle$ اور $\langle 2, 4, 6 \rangle$ کے لیے کیلکولیٹر $\langle 0, 0, 0 \rangle$ لوٹاتا ہے، جو متوازی سمتیوں کی فوری جانچ ہے۔

عمودی سمتیے، مستوی اور طبیعیات

کسی مستوی میں واقع دو سمت نما سمتیوں کا سمتی حاصل ضرب مستوی کا عمودی سمتیہ دیتا ہے، اور مستوی کے ایک نقطے کے ساتھ آپ اس کی مساوات $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ لکھ سکتے ہیں۔ کمپیوٹر گرافکس میں یہی حساب روشنی کے لیے سطحی عمودی سمتیے دیتا ہے۔

طبیعیات میں قوتِ گردش $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ ہے اور متحرک بار پر مقناطیسی قوت $q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ ہے۔ ہر صورت میں نتیجہ دونوں داخلی سمتیوں کے مستوی پر عمود ہوتا ہے، جیسا کہ دائیں ہاتھ کا قاعدہ بتاتا ہے۔

عام غلطیاں

$\mathbf{j}$ جزو پر منفی علامت بھول جانا۔
$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{v} \times \mathbf{u}$ فرض کرنا؛ ترتیب الٹنے سے سمت الٹ جاتی ہے۔
دو بعدی سمتیوں پر پہلے صفر تیسرا جزو جوڑے بغیر سمتی حاصل ضرب لگانا۔
سمتی حاصل ضرب کو نقطی حاصل ضرب سے گڈمڈ کرنا، جو ایک عدد لوٹاتا ہے۔
مثلث کا رقبہ نکالتے وقت مقدار آدھی کرنا بھول جانا۔

مشورے

اپنے جواب کا ہر داخلی سمتیے کے ساتھ نقطی حاصل ضرب لے کر جانچیں؛ دونوں نتائج 0 ہونے چاہئیں۔
یاد رکھنے کے لیے $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ ، $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ اور $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$ استعمال کریں۔
2D سمتیوں کے لیے تیسرا جزو 0 درج کریں؛ تب جواب $z$ محور کی سمت ہوگا۔
سمتیوں کے درمیان زاویہ معلوم کرنے کے لیے نقطی حاصل ضرب کیلکولیٹر استعمال کریں۔
غیر سمتی سہ گنا حاصل ضرب $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ کو $3 \times 3$ ڈیٹرمیننٹ کے طور پر نکالنے کے لیے ڈیٹرمیننٹ کیلکولیٹر استعمال کریں۔
حساب سے پہلے دونوں سمتیوں کا خاکہ بنائیں اور دائیں ہاتھ کے قاعدے سے ہر جزو کی علامت کی پیش گوئی کریں۔

اکثر پوچھے جانے والے سوالات

سمتی حاصل ضرب کیسے نکالا جاتا ہے؟

3×3 ڈیٹرمیننٹ کی پہلی صف میں i، j اور k اور اگلی صفوں میں دونوں سمتیے رکھیں، پھر پہلی صف کے ساتھ پھیلائیں۔ j جزو پر منفی علامت یاد رکھیں۔

سمتی حاصل ضرب کی مقدار کس چیز کو ظاہر کرتی ہے؟

دونوں سمتیوں سے بننے والے متوازی الاضلاع کا رقبہ۔ اس کا نصف ان سے بننے والے مثلث کا رقبہ ہے۔

کیا سمتی حاصل ضرب قابلِ مبادلہ ہے؟

نہیں۔ ترتیب بدلنے سے سمت الٹ جاتی ہے: v × u = −(u × v)۔

کیا 2D سمتیوں کا سمتی حاصل ضرب لیا جا سکتا ہے؟

براہِ راست نہیں؛ سمتی حاصل ضرب تین اجزا کے لیے معرف ہے۔ ہر سمتیے کے تیسرے جزو کے طور پر 0 جوڑیں، تو نتیجہ z محور کی سمت ہوگا۔

صفر سمتی حاصل ضرب کا کیا مطلب ہے؟

سمتیے متوازی ہیں (یا ان میں سے ایک صفر سمتیہ ہے)، اس لیے وہ کوئی رقبہ نہیں بناتے۔

سمتی حاصل ضرب کی جانچ کیسے کروں؟

ہر اصل سمتیے کے ساتھ اس کا نقطی حاصل ضرب لیں۔ دونوں نتائج صفر ہونے چاہئیں کیونکہ سمتی حاصل ضرب دونوں داخلی سمتیوں پر عمود ہے۔ کیلکولیٹر یہ جانچ آپ کے لیے کرتا ہے۔

کسی مستوی کا عمودی سمتیہ کیسے معلوم کروں؟

مستوی میں پڑے دو غیر متوازی سمتیے لیں اور ان کا سمتی حاصل ضرب نکالیں۔ نتیجہ مستوی پر عمود ہوتا ہے۔

اپنا سمتی حاصل ضرب نکالیں

اوپر دو سہ بعدی سمتیے درج کریں تاکہ ہر جزو، مقدار، متوازی الاضلاع کا رقبہ اور عمودیت کی جانچ مرحلہ وار دیکھ سکیں۔

کیلکولیٹر استعمال کریں AI میتھ سولور سے پوچھیں

سمتی حاصل ضرب کیلکولیٹر