مربع مکمل کرنا: مرحلہ وار رہنما

طریقے کے پیچھے خیال

کامل مربع سہ رقمی ایک دو رقمی کے مربع کا پھیلاؤ ہے۔ $(x + h)^2$ کو پھیلانے سے $x^2 + 2hx + h^2$ ملتا ہے: مستقل رقم $x$ کے عددی سر کے نصف کا مربع ہے۔ مربع مکمل کرنے کا مطلب ہے ٹھیک یہی مستقل جمع کرنا تاکہ عبارت کامل مربع بن جائے۔

مثال کے طور پر، 6 کا نصف 3 ہے اور $3^2 = 9$، اس لیے $x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9$۔ دائیں طرف کو پھیلانے سے $x^2 + 6x + 9 - 9$ ملتا ہے، جو اس کی تصدیق کرتا ہے۔ جیومیٹری میں $x^2 + 6x$ ایک $x$ ضرب $x$ مربع اور دو $3$ ضرب $x$ پٹیاں ہیں، اور غائب کونا رقبہ 9 والا ایک $3$ ضرب $3$ مربع ہے۔

یہی نمونہ منفی علامت کے ساتھ بھی چلتا ہے۔ $-10$ کا نصف $-5$ ہے اور $(-5)^2 = 25$، اس لیے $x^2 - 10x = (x - 5)^2 - 25$۔ جمع کیا جانے والا مستقل ہمیشہ مثبت ہوتا ہے، کیونکہ وہ ایک مربع ہے، جبکہ قوسین کے اندر کی علامت $b$ کی علامت سے ملتی ہے۔ ان دونوں حقائق کو الگ رکھنا آگے کے مراحل کی زیادہ تر غلطیوں سے بچاتا ہے۔

مربع مکمل کر کے دو درجی مساوات حل کرنا

1. اگر $x^2$ کا عددی سر 1 نہ ہو تو ہر رقم کو اس سے تقسیم کریں۔
2. مستقل رقم کو دائیں طرف منتقل کریں۔
3. دونوں اطراف میں $(b/2)^2$ جمع کریں۔
4. بائیں طرف کو $(x + b/2)^2$ کی صورت میں لکھیں اور دائیں طرف کو سادہ کریں۔
5. دونوں اطراف کا جذر لیں، $\pm$ یاد رکھتے ہوئے، اور $x$ معلوم کریں۔

جب اول عددی سر 1 نہ ہو

دو درجی فارمولا بھی یہی دیتا ہے: $x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$۔ درمیانی عددی سر طاق ہو تو کسریں ناگزیر ہیں مگر قابلِ انتظام ہیں۔ $x^2 + 5x - 1 = 0$ کے لیے 5 کا نصف $\frac{5}{2}$ ہے، اس لیے $\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = 1 + \frac{25}{4} = \frac{29}{4}$ اور $x = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$۔

مخلوط حل

اگر دائیں طرف آخر میں منفی نکلے تو کوئی حقیقی حل نہیں، لیکن یہ طریقہ پھر بھی مخلوط حل دیتا ہے۔

جانچ: $(-2 + 3i)^2 = 4 - 12i + 9i^2 = -5 - 12i$، اور $-5 - 12i + 4(-2 + 3i) + 13 = -5 - 12i - 8 + 12i + 13 = 0$۔

قطع مکافی کی راسی شکل

گراف بنانے میں مربع مکمل کرنے کا سب سے عام استعمال $y = ax^2 + bx + c$ کو راسی شکل $y = a(x - h)^2 + k$ میں بدلنا ہے، جہاں $(h, k)$ راس ہے۔ چونکہ مربع کبھی منفی نہیں ہوتا، اس لیے $a > 0$ ہو تو راس کم ترین نقطہ ہے اور $a < 0$ ہو تو بلند ترین نقطہ۔

مثال 4 میں سب سے عام غلطی منفی کیے گئے 9 کو باہر نکالے گئے $-2$ سے ضرب دینا بھول جانا ہے۔ اپنی راسی شکل کو واپس پھیلانا ایک فوری جانچ ہے۔

مختصر طریقہ $h = -\frac{b}{2a}$ راس کا وہی افقی محدد دیتا ہے؛ مربع مکمل کرنا دکھاتا ہے کہ یہ فارمولا کہاں سے آتا ہے۔ دو درجی کیلکولیٹر جذور کے ساتھ راس بھی بتاتا ہے۔

دو درجی فارمولا اخذ کرنا

$a \neq 0$ کے ساتھ عمومی مساوات $ax^2 + bx + c = 0$ کا مربع مکمل کرنے سے دو درجی فارمولا حاصل ہوتا ہے، اسی لیے یہ فارمولا ہمیشہ کام کرتا ہے۔

درمیانی مرحلہ دونوں اطراف میں $\frac{b^2}{4a^2}$ جمع کرنے اور $-\frac{c}{a}$ کو $-\frac{4ac}{4a^2}$ لکھنے سے آتا ہے۔ دو درجی مساواتیں کیسے حل کریں والی رہنما بتاتی ہے کہ فارمولا، اجزائے ضربی یا یہ طریقہ کب استعمال کریں۔

دائرے اور دیگر اطلاقات

$x$ اور $y$ دونوں میں مربع مکمل کرنے سے دائرے کی عمومی مساوات مرکز اور رداس والی شکل میں بدل جاتی ہے۔

کیلکولس میں یہی مرحلہ $\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}$ جیسے تکملات کو تیار کرتا ہے: نسب نما کو $(x + 1)^2 + 4$ لکھنے سے $\frac{1}{2}\arctan\frac{x + 1}{2} + C$ ملتا ہے۔ تکمل کیلکولیٹر جہاں لاگو ہو یہ تعویض استعمال کرتا ہے۔

عام غلطیاں

• $(b/2)^2$ صرف ایک طرف جمع کرنا۔
• 1 کے علاوہ اول عددی سر سے تقسیم کرنے سے پہلے مربع مکمل کرنا۔
• جذر لیتے وقت $\pm$ بھول جانا، جس سے ایک حل کھو جاتا ہے۔
• $(b/2)^2$ کے بجائے $b^2$ یا $b/2$ استعمال کرنا۔
• راس کی علامت غلط پڑھنا: $(x - 3)^2$ میں $h = 3$ ہے، اور $(x + 3)^2$ میں $h = -3$۔

اپنی مثال مربع مکمل کرنے کے کیلکولیٹر میں آزمائیں، جو اوپر کے ہر مرحلے کو دکھاتا ہے۔

مکمل شدہ مربع سے معلومات پڑھنا

جب دو درجی عبارت $a(x - h)^2 + k$ کی صورت میں لکھی جا چکی ہو، تو مزید حساب کے بغیر بہت سی معلومات پڑھی جا سکتی ہیں۔ راس $(h, k)$ ہے اور تشاکل کا محور عمودی خط $x = h$ ہے۔ رینج براہِ راست نکلتی ہے: اگر $a > 0$ ہو تو کم ترین قدر $k$ ہے اور رینج $[k, \infty)$ ہے؛ اگر $a < 0$ ہو تو بلند ترین قدر $k$ ہے اور رینج $(-\infty, k]$ ہے۔

افقی محور کو کاٹنے والے نقاط کی تعداد بھی نکلتی ہے۔ $a(x - h)^2 + k = 0$ رکھنے سے $(x - h)^2 = -\frac{k}{a}$ ملتا ہے۔ اگر $-\frac{k}{a}$ مثبت ہو تو دو نقاط ہیں، صفر ہو تو راس محور کو چھوتا ہے، اور منفی ہو تو قطع مکافی محور کو کبھی نہیں کاٹتا۔ مثال 3 میں $(x - 2)^2 = -3$ کا کوئی حقیقی حل نہیں، جو اوپر کھلنے والے قطع مکافی پر بلندی 3 والے راس سے مطابقت رکھتا ہے۔ مثال 4 میں $-2(x - 3)^2 + 8 = 0$ سے $(x - 3)^2 = 4$ ملتا ہے، اس لیے نقاط $x = 1$ اور $x = 5$ ہیں۔

بہترین قدر کے سوال بھی یہی خیال استعمال کرتے ہیں۔ اگر قیمت $p$ پر فروخت کا منافع سو ڈالر کی اکائیوں میں $P = -2p^2 + 12p - 10$ ہو، تو مثال 4 دکھاتی ہے کہ زیادہ سے زیادہ منافع $p = 3$ پر 8 سو ڈالر ہے۔ کیلکولس کی ضرورت نہیں، کیونکہ مربع والی رقم قدر کو صرف راس کی بلندی سے نیچے لا سکتی ہے۔

جوابات کے ساتھ مشقی سوال

جوابات دیکھنے سے پہلے انہیں آزمائیں۔ ہر سوال اوپر کی مثالوں کا کوئی مرحلہ استعمال کرتا ہے۔

1. $x^2 - 10x + 21 = 0$ حل کریں۔ جواب: $(x - 5)^2 = 4$، اس لیے $x = 3$ یا $x = 7$۔
2. $x^2 + 2x - 4 = 0$ حل کریں۔ جواب: $(x + 1)^2 = 5$، اس لیے $x = -1 \pm \sqrt{5}$۔
3. $y = x^2 + 8x + 10$ کو راسی شکل میں لکھیں۔ جواب: $y = (x + 4)^2 - 6$، راس $(-4, -6)$۔
4. $y = 3x^2 - 6x + 1$ کو راسی شکل میں لکھیں۔ جواب: $y = 3(x - 1)^2 - 2$، راس $(1, -2)$۔
5. $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 8 = 0$ کا مرکز اور رداس معلوم کریں۔ جواب: $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$، مرکز $(-1, 4)$، رداس 3۔

اگر کوئی جواب نہ ملے تو اپنے مکمل شدہ مربع کو پھیلا کر اصل سے سطر بہ سطر موازنہ کریں؛ فرق عموماً ٹھیک دکھا دیتا ہے کہ کون سا مستقل غلط جمع یا تفریق ہوا۔

یہ طریقہ سیکھنا کیوں فائدہ مند ہے

جب دو درجی فارمولا موجود ہے تو یہ پوچھنا بجا ہے کہ مربع مکمل کرنا اب بھی کیوں پڑھایا جاتا ہے۔ جواب یہ ہے کہ یہ ایک تبدیلی ہے، محض حل کرنے کی ترکیب نہیں۔ یہ عبارت کو اس طرح دوبارہ لکھتا ہے کہ متغیر صرف ایک جگہ، ایک مربع کے اندر، ظاہر ہو۔ ایسا ہوتے ہی عبارت کا تجزیہ آسان ہو جاتا ہے: اس کی کم ترین یا بلند ترین قدر، اس کا تشاکل اور اس کے صفر سب ایک ساتھ نظر آتے ہیں۔

یہ خیال پوری ریاضی میں بار بار آتا ہے۔ دائرے، بیضوی اور زائد قطع جیسے مخروطی تراشوں کی شناخت دو متغیرات میں مربع مکمل کر کے کی جاتی ہے۔ شماریات میں معمول تقسیم کی کثافت کے قوت نما میں ایک مکمل شدہ مربع ہوتا ہے، اور اس کی بہت سی خصوصیات اخذ کرنا اسی الجبرا پر منحصر ہے۔ کیلکولس میں جذر کے نیچے یا نسب نما میں دو درجی عبارت والے تکملات اس مرحلے کے بعد معیاری شکلیں بن جاتے ہیں۔ طبیعیات اسے توانائی کے فنکشنز کے توازن کے نقاط معلوم کرنے کے لیے استعمال کرتی ہے۔

اس لیے سادہ دو درجی عبارتوں پر اس کی مشق ایک ایسی مہارت بناتی ہے جو بعد کے موضوعات فرض کرتے ہیں۔ اگر آپ مثالیں 1 سے 5 بغیر نوٹس کے کر سکتے ہیں تو آپ ان استعمالات کے لیے اچھی طرح تیار ہیں، اور ان امتحانی سوالوں کے لیے بھی جو صرف جذور بتانے کے بجائے طریقہ دکھانے کو کہتے ہیں۔

اکثر پوچھے جانے والے سوالات