مکمل مربع کیلکولیٹر: راس والی شکل مراحل کے ساتھ

مکمل مربع کیلکولیٹر کے بارے میں

مکمل مربع بنانا $2x^2 - 8x + 3$ جیسی دو درجی عبارت کو $2(x - 2)^2 - 5$ کی شکل میں بدل دیتا ہے۔ یہ دوسری شکل کہیں زیادہ معلومات دیتی ہے: ایک نظر میں دکھاتی ہے کہ قطع مکافی کا سب سے نچلا نقطہ $(2, -5)$ پر ہے، کہ یہ اوپر کی طرف کھلتا ہے، اور یہ کتنا پھیلا ہوا ہے۔ اسی عمل سے دو درجی فارمولا اخذ کیا جاتا ہے اور دائرے اور بیضوی معیاری شکل میں لائے جاتے ہیں۔

یہ کیلکولیٹر سب سے بڑے درجے کے کسی بھی عددی سر کو سنبھالتا ہے، بشمول $0.5x^2 + 3x - 1$ جیسی کسور اور اعشاریے۔ اسے عبارت دیں تو یہ راس والی شکل اور راس لوٹاتا ہے؛ $= 0$ یا کسی اور قیمت پر ختم ہونے والی مساوات دیں تو یہ درست حل تک جاتا ہے، یا جب قطع مکافی محور کو نہ کاٹے تو بتاتا ہے کہ حقیقی حل کیوں نہیں ہیں۔

مکمل مربع بنانا کیا ہے؟

کامل مربع سہ رقمی وہ ہے جو کسی دو رقمی کے مربع کے برابر ہو، جیسے $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ ۔ اس کا مستقل رکن ہمیشہ $x$ کے عددی سر کے نصف کا مربع ہوتا ہے۔ مکمل مربع بنانے کا مطلب ہے بالکل یہی عدد جمع اور تفریق کرنا تاکہ عبارت کا ایک حصہ کامل مربع بن جائے۔

نتیجہ راس والی شکل $a(x - h)^2 + k$ ہے۔ چونکہ مربع کبھی منفی نہیں ہوتا، عبارت کی کم ترین ( $a > 0$ کے لیے) یا زیادہ ترین ( $a < 0$ کے لیے) قیمت $k$ ہے، جو $x = h$ پر حاصل ہوتی ہے۔

مکمل مربع کیلکولیٹر کیسے استعمال کریں

کوئی دو درجی عبارت لکھیں جیسے 2x^2 - 8x + 3، یا کوئی مساوات جیسے x^2 - 4x - 1 = 0۔
عددی سر صحیح اعداد، کسور یا اعشاریے ہو سکتے ہیں۔
“مکمل مربع بنائیں” دبائیں۔ کیلکولیٹر a، b اور c کی شناخت کرتا ہے، x والے ارکان سے a باہر نکالتا ہے، اور خطی عددی سر کے نصف کا مربع جمع اور تفریق کرتا ہے۔
راس والی شکل اور راس پڑھیں۔ مساوات کی صورت میں جذر المربع والے مرحلے سے ہوتے ہوئے درست حل تک جائیں۔

فارمولے

کامل مربع

x^2 + bx + \left(\tfrac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \tfrac{b}{2}\right)^2

عمومی راس والی شکل

ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}

راس

(h, k) = \left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

حل شدہ مثال: 2x² − 8x + 3

مثال $2x^2 - 8x + 3$ کا مکمل مربع بناتی ہے۔ چونکہ $a = 2$ ، انجن پہلے $x$ والے ارکان سے 2 باہر نکالتا ہے: $2(x^2 - 4x) + 3$ ۔ $-4$ کا نصف $-2$ ہے اور اس کا مربع 4 ہے۔

قوسین کے اندر 4 جمع اور تفریق کرنے سے $2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3 = 2(x - 2)^2 - 8 + 3$ ملتا ہے، چنانچہ راس والی شکل $2(x - 2)^2 - 5$ ہے اور راس $(2, -5)$ ہے۔

نیچے دیا گیا حل اسی انجن نے تیار کیا ہے جو اوپر والے کیلکولیٹر کو چلاتا ہے۔

حتمی جواب

2(x - 2)^{2} - 5

ہم نے آپ کا سوال کیسے سمجھا

مربع مکمل کر کے دو درجی کو راس والی شکل میں لکھیں۔

مرحلہ وار حل

a، b اور c پہچانیں
a = 2, b = -8, c = 3
$2x^{2} - 8x + 3$
x والے ارکان سے a = 2 باہر نکالیں
$2\left(x^2 - 4x\right) + 3$
خطی عددی سر کا نصف لے کر اس کا مربع کریں
-4 کا نصف -2 ہے؛ اس کا مربع 4 ہے۔
$\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4$
قوسین کے اندر یہ مربع جمع اور تفریق کریں
4 جمع کرنے سے کامل مربع سہ رقمی بنتی ہے؛ اسے تفریق کرنے سے قیمت نہیں بدلتی (تفریق شدہ حصہ قوسین سے باہر آتے وقت a = 2 سے ضرب کھاتا ہے)۔
$2\left(x^2 -4x + 4\right) - 8 + 3$
کامل مربع لکھیں اور مستقل ملائیں
$2(x - 2)^{2} - 5$
راس پڑھیں
a(x − h)² + k میں راس (h, k) = (2, -5) ہے؛ محور تشاکل x = 2 ہے۔ چونکہ a > 0، قطع مکافی اوپر کی طرف کھلتا ہے اور k کم ترین قیمت ہے۔

استعمال شدہ فارمولے

مربع مکمل کرنا
$ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$
راس
$h = -\frac{b}{2a},\quad k = c - \frac{b^2}{4a}$

راس والی شکل: 2(x - 2)^2 - 5۔ راس (2, -5)۔

تصدیق

2(x - 2)^2 - 5 کو پھیلانے سے دوبارہ 2x^2 - 8x + 3 ملتا ہے۔

تفصیلی وضاحت

عددی سر کا نصف، اور پھر مربع کیوں؟

$(x + p)^2$ کو پھیلانے سے $x^2 + 2px + p^2$ ملتا ہے۔ $x^2 + bx$ سے موازنہ کریں تو درمیانی ارکان اس وقت ملتے ہیں جب $2p = b$ ، یعنی $p = b/2$ ، اور غائب مستقل $p^2 = (b/2)^2$ ہے۔ جیومیٹری میں $x^2 + bx$ ضلع $x$ والا ایک مربع اور $x \times b/2$ سائز کے دو مستطیل ہیں؛ کونے کا رقبہ $(b/2)^2$ والا چھوٹا مربع ہی بڑے مربع کو مکمل کرتا ہے۔

جب سب سے بڑے درجے کا عددی سر 1 نہ ہو

$a$ کو صرف $x^2$ اور $x$ والے ارکان سے باہر نکالیں، مستقل کو باہر رہنے دیں۔ قوسین کے اندر مکمل مربع بنائیں، پھر تفریق کیے گئے مربع کو باہر لاتے وقت $a$ سے ضرب دیں۔ یہ ضرب بھول جانا سب سے عام غلطی ہے: مثال میں قوسین کے اندر کا $-4$ باہر $-8$ بن جاتا ہے۔

اگر $a$ منفی ہو تو قطع مکافی نیچے کی طرف کھلتا ہے اور راس زیادہ ترین نقطہ ہوتا ہے۔ کیلکولیٹر منفی عددی سر کو بھی اسی طرح باہر نکالتا ہے، اس لیے قوسین کے اندر علامتیں الٹ جاتی ہیں۔

مکمل مربع بنا کر مساواتیں حل کرنا

$x^2 - 4x - 1 = 0$ کے لیے مکمل مربع بنانے سے $(x - 2)^2 = 5$ ملتا ہے۔ دونوں اطراف کا جذر المربع دونوں علامتوں کے ساتھ لینے سے $x - 2 = \pm\sqrt5$ ، یعنی $x = 2 \pm \sqrt5$ ملتا ہے۔ یہی مراحل اعداد کے بجائے حروف کے ساتھ کرنے سے دو درجی فارمولا بنتا ہے۔

جب دایاں طرف منفی ہو، جیسے $x^2 + 6x + 13 = 0$ سے حاصل ہونے والا $(x + 3)^2 = -4$ ، تو کوئی حقیقی حل نہیں۔ کیلکولیٹر یہ بتاتا ہے، اور ساتھ ہی مخلوط جوڑا $-3 \pm 2i$ بھی دیتا ہے جو $\sqrt{-4} = 2i$ کی اجازت دینے سے ملتا ہے۔

راس والی شکل سے گراف پڑھنا

راس والی شکل قطع مکافی کو $y = x^2$ کی تبدیلی کے طور پر بیان کرتی ہے۔ قیمت $h$ گراف کو دائیں (یا $h$ منفی ہو تو بائیں) سرکاتی ہے، $k$ اسے اوپر یا نیچے سرکاتی ہے، اور $a$ اسے عمودی طور پر کھینچتی ہے اور منفی ہو تو الٹ دیتی ہے۔ محور تشاکل عمودی خط $x = h$ ہے، اس لیے $h$ کے دونوں طرف برابر فاصلے پر نقاط کی اونچائی برابر ہوتی ہے۔

اس سے خاکہ بنانا تیز ہو جاتا ہے۔ $2(x - 2)^2 - 5$ کے لیے راس $(2, -5)$ لگائیں، پھر دونوں طرف ایک اکائی چلیں: اونچائی $a \cdot 1^2 = 2$ بڑھتی ہے، جس سے $(1, -3)$ اور $(3, -3)$ ملتے ہیں۔ رینج فوراً $y \ge -5$ نکل آتی ہے، اسی لیے ڈومین اور رینج کے سوالات کے لیے راس والی شکل فطری نقطۂ آغاز ہے۔

عام غلطیاں

$(b/2)^2$ جمع کرنا مگر دوبارہ تفریق نہ کرنا، جس سے عبارت بدل جاتی ہے۔
$b/2$ کے بجائے $b$ کا مربع کرنا۔
$a \ne 1$ ہو تو تفریق کیے گئے مربع کو $a$ سے ضرب دینا بھول جانا۔
مساوات حل کرتے وقت صرف مثبت جذر المربع لینا۔
$a(x + 3)^2 + k$ کا راس $x = 3$ پڑھنا؛ راس $x = -3$ پر ہے۔

مشورے

$x - h$ واضح طور پر لکھیں: $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$ ، اس لیے $h = -3$ ۔
راس والی شکل کو پھیلا کر معیاری شکل میں واپس لا کر جانچیں۔
جب $b$ طاق ہو تو اعشاریوں کے بجائے کسور استعمال کریں؛ 5 کا نصف $\tfrac52$ ہے۔
فوری جانچ کے لیے اپنے راس کا $h = -b/(2a)$ سے موازنہ کریں۔

اکثر پوچھے جانے والے سوالات

راس والی شکل کیا ہے؟

دو درجی عبارت جو a ضرب (x منفی h) کا مربع جمع k کی صورت میں لکھی ہو۔ نقطہ (h, k) قطع مکافی کا راس ہے اور a اس کی سمت اور چوڑائی طے کرتا ہے۔

جب a برابر 1 نہ ہو تو مکمل مربع کیسے بناؤں؟

x کے مربع اور x والے ارکان سے a باہر نکالیں، قوسین کے اندر مکمل مربع بنائیں، پھر تفریق کیے گئے مستقل کو باہر لاتے وقت a سے ضرب دیں۔

کیا مکمل مربع بنانا دو درجی فارمولے سے بہتر ہے؟

دونوں ایک ہی جذور دیتے ہیں۔ مکمل مربع بنانا راس والی شکل بھی دیتا ہے، جو گراف کے لیے مفید ہے، اور خود فارمولا بھی اسی طریقے سے اخذ کیا جاتا ہے۔

اگر x کا عددی سر طاق ہو تو؟

کسور کے ساتھ کام کریں۔ x کے مربع جمع 5x کے لیے 25/4 جمع اور تفریق کریں، تو (x جمع 5/2) کا مربع منفی 25/4 ملتا ہے۔

کیا مکمل مربع بنانے سے مخلوط حل مل سکتے ہیں؟

جی ہاں۔ اگر مربع آخر میں کسی منفی عدد کے برابر ہو تو کوئی حقیقی حل نہیں۔ کیلکولیٹر یہ بتاتا ہے اور مخلوط مزدوج جوڑا a جمع یا منفی bi کی شکل میں بھی دیتا ہے۔

دائروں کے لیے مکمل مربع کیسے استعمال ہوتا ہے؟

x اور y میں الگ الگ مکمل مربع بنانے سے x کا مربع جمع y کا مربع منفی 4x جمع 6y برابر 3 جیسی مساوات دائرے کی معیاری شکل میں بدل جاتی ہے، جس سے اس کا مرکز اور نصف قطر ظاہر ہوتا ہے۔

اپنی دو درجی کا مکمل مربع بنائیں

اوپر کوئی دو درجی عبارت یا مساوات درج کریں اور راس والی شکل، راس اور درست حل مرحلہ وار دیکھیں۔

کیلکولیٹر استعمال کریں AI میتھ سولور سے پوچھیں