مواد پر جائیں
MathSolver Pro
  • میتھ سولور کھولیں
  • اے آئی ٹیوٹر سے پوچھیں
  • AP کورس تلاش کریں
  • کوئز بنائیں
  • کیلکولیٹر کھولیں
  • گرافنگ کیلکولیٹر
  • تمام کیلکولیٹر دیکھیں
  • ریاضی کی گائیڈز پڑھیں
↑ ↓کھولنے کے لیے Enter · بند کرنے کے لیے Esc
سوال حل کریں
سلسلے اور تسلسلالجبرایونیورسٹی≈ 1:59

1/n کا n=1 سے ∞ تک مجموعہ معلوم کریں

ایک متحرک مرحلہ وار سبق۔ ہر مرحلہ سب ٹائٹلز کے ساتھ دیکھنے کے لیے چلائیں دبائیں، یا نیچے مراحل اور مکمل متن پڑھیں۔ جواب: سیریز ڈائیورج کرتی ہے (لمٹ کمپیریزن ٹیسٹ برائے Σ 1/n).

ریکارڈ شدہ ویڈیو: آواز اور تصویر میں لکھی تحریر انگریزی میں ہے۔ سب ٹائٹلز: اردو۔ اس زبان میں نیریشن (وضاحت) کے لیے، انٹرایکٹو ورژن کھولیں۔

انگریزی ویڈیو: MP4 ڈاؤن لوڈ کریں (0.7 MB) · سب ٹائٹلز (WebVTT): اردو · انگریزی کیپشنز (WebVTT)

اسکرین پر مراحل

  1. 1. سوال
    حل شدہ مثال
    ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
  2. 2. مرحلہ وار
    1. ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
      سلسلہ لکھیں
    2. lim⁡n→∞1n=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0
      n ویں رکن کی آزمائش
    3. lim⁡n→∞an1/n=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1
      p سلسلے سے حدی موازنہ
  3. 3. جواب
    ∑n=1∞1n منتشر\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \ \text{منتشر}

    limit comparison with Σ 1/n ⇒ diverges

  4. 4. جانچ
    • جزوی مجموعے (معاون شہادت، ثبوت نہیں): S₁₀ = 2.9289683، S₁₀₀ = 5.1873775، S₁₀₀₀ = 7.4854709، S₁₀₀₀₀ = 9.787606

مکمل متن

سوال. یہ رہا سوال: 1/n کا n برابر 1 سے انفینٹی تک مجموعہ معلوم کریں. معلوم کریں کہ 1 سے ∞) تک Σ 1 / n (n مرتکز ہے یا منتشر۔

مرحلہ وار. سلسلہ لکھیں. Σ a(n) برائے n برابر 1, 2, 3، … جبکہ a(n) برابر 1 / n۔ پہلے ارکان: 1, 0.5, 0.333333, 0.25، …. n ویں رکن کی آزمائش. lim a(n) برابر 0، اس لیے انتشار کی آزمائش غیر فیصلہ کن ہے؛ ارکان گھٹتے ضرور ہیں، اس لیے زیادہ باریک آزمائش درکار ہے۔ p سلسلے سے حدی موازنہ. مثبت ارکان: ارکان تقریباً 1/n کی طرح سکڑتے ہیں (a(2N)/a(N)) سے تخمینہ لگایا گیا، اس لیے Σ 1/n سے موازنہ کریں: lim a(n) ضرب n برابر 1۔ حد ایک مثبت محدود عدد ہے، اس لیے سلسلہ بالکل p-سلسلہ Σ 1/n کی طرح برتاؤ کرتا ہے، جو متصادم ہے کیونکہ p سے کم یا برابر 1۔

جواب. تو جواب ہے سیریز ڈائیورج کرتی ہے (لمٹ کمپیریزن ٹیسٹ برائے Σ 1/n). سلسلہ اس وقت مرتکز ہوتا ہے جب اس کے جزوی مجموعے کسی متناہی عدد کے قریب پہنچیں۔ اس کے لیے ارکان کا 0 کی طرف جانا ضروری ہے، مگر صرف اتنا کافی نہیں (ہارمونک سلسلہ منتشر ہے)، اس لیے فیصلے کے لیے موازنہ، نسبتی، جذری، متبادل یا تکملی آزمائش استعمال ہوتی ہے۔

جانچ. جزوی مجموعے (معاون شہادت، ثبوت نہیں): S₁₀ برابر 2.9289683، S₁₀₀ برابر 5.1873775، S₁₀₀₀ برابر 7.4854709، S₁₀₀₀₀ برابر 9.787606.

اس جیسے مزید اسباق

1/n کا n=1 سے ∞ تک مجموعہ معلوم کریں — مرحلہ وار ویڈیو سبق