سلسلے اور تسلسلالجبرایونیورسٹی≈ 2:36

1/n² کا n=1 سے ∞ تک مجموعہ معلوم کریں

ایک متحرک مرحلہ وار سبق۔ ہر مرحلہ سب ٹائٹلز کے ساتھ دیکھنے کے لیے چلائیں دبائیں، یا نیچے مراحل اور مکمل متن پڑھیں۔ جواب: سیریز کنورج کرتی ہے (لمٹ کمپیریزن ٹیسٹ برائے Σ 1/n^2); مجموعہ ≈ 1.644934067 (مطابقت رکھتا ہے π²/6 10+ ہندسوں تک).

رفتارزبان

ابواب

ٹرانسکرپٹ

ریکارڈ شدہ ویڈیو: آواز اور تصویر میں لکھی تحریر انگریزی میں ہے۔ سب ٹائٹلز: اردو۔ اس زبان میں نیریشن (وضاحت) کے لیے، انٹرایکٹو ورژن کھولیں۔

انگریزی ویڈیو: MP4 ڈاؤن لوڈ کریں (0.9 MB) · سب ٹائٹلز (WebVTT): اردو · انگریزی کیپشنز (WebVTT)

اسکرین پر مراحل

1. سوال
حل شدہ مثال
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}$
2. مرحلہ وار
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}$
  سلسلہ لکھیں
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{{n}^{2}} = 0$
  n ویں رکن کی آزمائش
3. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1$
  p سلسلے سے حدی موازنہ
4. مجموعے کا عددی اندازہ
3. جواب
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}} \ \text{مرتکز} \approx 1.644934067$
limit comparison with Σ 1/n^2 ⇒ converges, S ≈ 1.644934067 (matches π²/6 to 10+ digits)
4. جانچ
- جزوی مجموعے (معاون شہادت، ثبوت نہیں): S₁₀ = 1.5497677، S₁₀₀ = 1.6349839، S₁₀₀₀ = 1.6439346، S₁₀₀₀₀ = 1.6448341

مکمل متن

سوال. یہ رہا سوال: 1/n کا مربع کا n برابر 1 سے انفینٹی تک مجموعہ معلوم کریں. معلوم کریں کہ 1 سے ∞) تک Σ 1 / n کا مربع (n مرتکز ہے یا منتشر۔

مرحلہ وار. سلسلہ لکھیں. Σ a(n) برائے n برابر 1, 2, 3، … جبکہ a(n) برابر 1 / n کا مربع۔ پہلے ارکان: 1, 0.25, 0.111111, 0.0625، …. n ویں رکن کی آزمائش. lim a(n) برابر 0، اس لیے انتشار کی آزمائش غیر فیصلہ کن ہے؛ ارکان گھٹتے ضرور ہیں، اس لیے زیادہ باریک آزمائش درکار ہے۔ p سلسلے سے حدی موازنہ. مثبت ارکان: ارکان تقریباً 1/n کا مربع کی طرح گھٹتے ہیں (a(2N)/a(N)) سے اندازہ)، اس لیے Σ 1/n کا مربع سے موازنہ کریں: lim a(n) ضرب n کا مربع برابر 1۔ حد ایک مثبت متناہی عدد ہے، اس لیے سلسلہ بالکل p سلسلے Σ 1/n کا مربع جیسا برتاؤ کرتا ہے، جو مرتکز ہے کیونکہ p سے زیادہ 1۔ مجموعے کا عددی اندازہ. جزوی مجموعے S N کئی N کے لیے نکالے گئے اور N → ∞ تک بیرونی تخمینہ لگایا گیا (رچرڈسن تخمینہ؛ متبادل حدوں میں پہلے اوسط لیا جاتا ہے)۔ دو آزاد تخمینے 10 کی طاقت منفی 10 سے بہتر متفق ہیں اور S تقریباً 1.644934067 دیتے ہیں۔ دکھائی گئی بند شکل ایک عددی شناخت ہے، ثبوت نہیں۔

جواب. تو جواب ہے سیریز کنورج کرتی ہے (لمٹ کمپیریزن ٹیسٹ برائے Σ 1/n کا مربع); مجموعہ تقریباً 1.644934067 (مطابقت رکھتا ہے پائی کا مربع/6 10+ ہندسوں تک). سلسلہ اس وقت مرتکز ہوتا ہے جب اس کے جزوی مجموعے کسی متناہی عدد کے قریب پہنچیں۔ اس کے لیے ارکان کا 0 کی طرف جانا ضروری ہے، مگر صرف اتنا کافی نہیں (ہارمونک سلسلہ منتشر ہے)، اس لیے فیصلے کے لیے موازنہ، نسبتی، جذری، متبادل یا تکملی آزمائش استعمال ہوتی ہے۔

جانچ. جزوی مجموعے (معاون شہادت، ثبوت نہیں): S₁₀ برابر 1.5497677، S₁₀₀ برابر 1.6349839، S₁₀₀₀ برابر 1.6439346، S₁₀₀₀₀ برابر 1.6448341.

اسکرین پر مراحل

مکمل متن

اس جیسے مزید اسباق