রৈখিক বীজগণিত

উদাহরণসহ আইগেনমান ও আইগেনভেক্টরের ব্যাখ্যা

Q: বৈশিষ্ট্যসূচক বহুপদী কী?

এটি det(A - lambda I), lambda-তে একটি বহুপদী যার মূলগুলোই আইগেনমান। একটি 2 × 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য এটি lambda^2 - tr(A)lambda + det(A)-এর সমান।

লেখক MathSolver Pro Editorial Team · প্রকাশিত 25 অক্টোবর, 2026

একটি ম্যাট্রিক্সের আইগেনভেক্টর হলো এমন একটি দিক, যাকে ম্যাট্রিক্সটি কেবল প্রসারিত বা উল্টে দেয়, কখনো ঘোরায় না, আর আইগেনমান হলো প্রসারণের গুণক। এরা একটি ম্যাট্রিক্সের মৌলিক আচরণ প্রকাশ করে এবং কর্ণীকরণ, স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণ, মার্কভ শৃঙ্খল ও উপাত্ত সংকোচনের ভিত্তি।

সংজ্ঞাসূচক সমীকরণ

বেশিরভাগ ভেক্টর একটি ম্যাট্রিক্স দিয়ে গুণ করলে দিক বদলায়। কয়েকটি বিশেষ ভেক্টর বদলায় না: ম্যাট্রিক্সটি কেবল তাদের একই রেখা বরাবর প্রসারিত, সংকুচিত বা উল্টে দেয়। এরাই আইগেনভেক্টর, এবং যে গুণকে প্রতিটি পরিবর্তিত হয় সেটিই তার আইগেনমান। প্রতীকে, একটি অশূন্য ভেক্টর $\mathbf{v}$ বর্গ ম্যাট্রিক্স $A$ -এর আইগেনমান $\lambda$ সংবলিত একটি আইগেনভেক্টর, যখন:

A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}, \qquad \mathbf{v} \ne \mathbf{0}

শূন্য ভেক্টর বাদ দেওয়া হয়, কারণ এটি প্রতিটি $\lambda$ -এর জন্য সমীকরণটি সিদ্ধ করত। তবে আইগেনমান শূন্য, ঋণাত্মক, এমনকি জটিলও হতে পারে। আইগেনমান 2 মানে ওই দিকের ভেক্টরগুলোর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হয়, $-1$ মানে তারা উল্টে যায়, আর 0 মানে তারা চ্যাপ্টা হয়ে শূন্যে মিলিয়ে যায়, যা ঠিক তখনই ঘটে যখন ম্যাট্রিক্সটি অনিয়মিত।

বৈশিষ্ট্যসূচক সমীকরণ দিয়ে আইগেনমান নির্ণয়

সংজ্ঞাসূচক সমীকরণটিকে $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ হিসেবে আবার লিখুন। একটি অশূন্য সমাধান থাকতে হলে $A - \lambda I$ ম্যাট্রিক্সটিকে অনিয়মিত হতে হবে, তাই এর নির্ণায়ক শূন্য হতে হবে। এ থেকে পাওয়া যায় বৈশিষ্ট্যসূচক সমীকরণ:

\det(A - \lambda I) = 0

একটি $n \times n$ ম্যাট্রিক্সের জন্য এটি $\lambda$ -তে $n$ মাত্রার একটি বহুপদী সমীকরণ, তাই বহুগুণতাসহ গুনলে এবং জটিল মান অনুমোদন করলে $n$ টি আইগেনমান থাকে। একটি $2 \times 2$ ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে বহুপদীটি দ্বিঘাত, যা দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের উপায় নিবন্ধের পদ্ধতিগুলো দিয়ে সমাধান করা যায়।

একটি সম্পূর্ণ 2 বাই 2 উদাহরণ

উদাহরণ 1: একটি 2 বাই 2 ম্যাট্রিক্সের আইগেনমান ও আইগেনভেক্টর

ধরুন $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ । তাহলে $\det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10$ ।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ: $(\lambda - 5)(\lambda - 2) = 0$ , তাই আইগেনমানগুলো $\lambda = 5$ ও $\lambda = 2$ ।
$\lambda = 5$ -এর জন্য: $A - 5I = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ । প্রথম সারি বলে $-x + y = 0$ , তাই $y = x$ এবং একটি আইগেনভেক্টর $(1, 1)$ ।
$\lambda = 2$ -এর জন্য: $A - 2I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ , তাই $2x + y = 0$ এবং একটি আইগেনভেক্টর $(1, -2)$ ।
যাচাই: $A(1, -2) = (4 - 2, 2 - 6) = (2, -4) = 2(1, -2)$ ।

একটি আইগেনভেক্টরের যেকোনো অশূন্য গুণিতকও একটি আইগেনভেক্টর, তাই $(3, 3)$ বা $(-2, 4)$ সমান সঠিক উত্তর হতো। গুরুত্বপূর্ণ হলো দিক, দৈর্ঘ্য নয়। এটাও লক্ষ করুন যে প্রতিবার $A - \lambda I$ -এর দুটি সারি পরস্পরের গুণিতক ছিল। $\lambda$ প্রকৃত আইগেনমান হলে এটি নিশ্চিত, এবং এটি আপনার হিসাবের একটি সহজ যাচাই।

দুটি সংক্ষিপ্ত পথ: ট্রেস ও নির্ণায়ক

যেকোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের আইগেনমানগুলো দুটি সহজ সংখ্যার সঙ্গে যুক্ত। এদের যোগফল ট্রেসের সমান, অর্থাৎ কর্ণের ভুক্তিগুলোর যোগফল, এবং এদের গুণফল নির্ণায়কের সমান:

\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr}(A), \qquad \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n = \det(A)

উদাহরণ 1-এ ট্রেস $4 + 3 = 7 = 5 + 2$ এবং নির্ণায়ক $12 - 2 = 10 = 5 \cdot 2$ । একটি $2 \times 2$ ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে এর অর্থ বৈশিষ্ট্যসূচক সমীকরণটি সবসময় $\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ , যা হাতে নির্ণায়ক বিস্তারের ঝামেলা বাঁচায়। ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স আরও সহজ: এদের আইগেনমান কেবল কর্ণের ভুক্তিগুলো।

জটিল ও পুনরাবৃত্ত আইগেনমান

ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ প্রতিটি ভেক্টরকে 90 ডিগ্রি ঘোরায়, তাই কোনো বাস্তব দিক নিজের রেখায় থাকে না। এর বৈশিষ্ট্যসূচক সমীকরণ $\lambda^2 + 1 = 0$ , যা দেয় জটিল আইগেনমান $\lambda = \pm i$ । একটি বাস্তব ম্যাট্রিক্সের জটিল আইগেনমান সবসময় অনুবন্ধী জোড়ায় আসে এবং ঘূর্ণনের ইঙ্গিত দেয়।

আইগেনমান পুনরাবৃত্তও হতে পারে। $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ ম্যাট্রিক্সের দ্বিগুণ আইগেনমান 2, তবু $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ বাধ্য করে $y = 0$ , তাই কেবল $(1, 0)$ -এর গুণিতকগুলোই আইগেনভেক্টর। এমন ম্যাট্রিক্স, যার স্বাধীন আইগেনভেক্টরের সংখ্যা তার আকারের চেয়ে কম, তাকে ত্রুটিপূর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে। বিপরীতে, একক ম্যাট্রিক্সেরও পুনরাবৃত্ত আইগেনমান 1, কিন্তু প্রতিটি অশূন্য ভেক্টরই এর আইগেনভেক্টর।

প্রতিসম ম্যাট্রিক্স দুটি জটিলতাই এড়ায়। এদের আইগেনমান সবসময় বাস্তব, এবং ভিন্ন আইগেনমানের আইগেনভেক্টরগুলো পরস্পর লম্ব। $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ -এর আইগেনমান 3 ও 1, আইগেনভেক্টর $(1, 1)$ ও $(1, -1)$ , যাদের ডট গুণফল শূন্য।

কর্ণীকরণ ও ম্যাট্রিক্সের ঘাত

একটি $n \times n$ ম্যাট্রিক্সের $n$ টি স্বাধীন আইগেনভেক্টর থাকলে একে কর্ণীকরণ করা যায়। আইগেনভেক্টরগুলো $P$ -এর কলামে এবং আইগেনমানগুলো $D$ -এর কর্ণে বসান, তাহলে:

A = PDP^{-1} \quad \Rightarrow \quad A^k = PD^kP^{-1}

একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্সকে কোনো ঘাতে উন্নীত করলে কেবল প্রতিটি কর্ণ ভুক্তি সেই ঘাতে উন্নীত হয়, তাই $A^{100}$ হিসাব করা সহজ হয়ে যায়। আইগেনমান দীর্ঘমেয়াদি আচরণও আগাম বলে দেয়: একটি আইগেনমান যখন পরম মানে বাকি সবগুলোর চেয়ে বড়, তখন $A$ দিয়ে বারবার গুণ করলে প্রায় প্রতিটি শুরুর ভেক্টর ওই আইগেনমানের আইগেনভেক্টরের দিকে সরে যায়।

উদাহরণ 2: একটি মার্কভ শৃঙ্খলের দীর্ঘমেয়াদি অবস্থা

প্রতি বছর X কোম্পানির 90 শতাংশ গ্রাহক থেকে যায় এবং 10 শতাংশ Y-তে চলে যায়, আর Y রাখে 50 শতাংশ এবং 50 শতাংশ হারায় X-এর কাছে। স্থানান্তর ম্যাট্রিক্স $\begin{pmatrix} 0.9 & 0.5 \\ 0.1 & 0.5 \end{pmatrix}$ ।
ট্রেস 1.4 এবং নির্ণায়ক $0.45 - 0.05 = 0.4$ , তাই আইগেনমানগুলো 1 ও 0.4।
$\lambda = 1$ -এর জন্য: $-0.1x + 0.5y = 0$ , যা দেয় আইগেনভেক্টর $(5, 1)$ ।
মোট 1 করে মাপ ঠিক করলে দীর্ঘমেয়াদি বাজার অংশ X-এর জন্য পাঁচ-ষষ্ঠাংশ এবং Y-এর জন্য এক-ষষ্ঠাংশ, শুরুর অংশ যা-ই হোক, কারণ 0.4 উপাংশটি প্রতি বছর সংকুচিত হয়ে মিলিয়ে যায়।

আইগেনমান কোথায় গুরুত্বপূর্ণ

সার্চ ইঞ্জিন: মূল পেজর‍্যাঙ্ক অ্যালগরিদম একটি লিংক ম্যাট্রিক্সের প্রধান আইগেনভেক্টর ব্যবহার করে ওয়েবপেজের ক্রম নির্ধারণ করে।
প্রকৌশল: সেতু ও ভবনের স্বাভাবিক কম্পন কম্পাঙ্ক আসে আইগেনমান থেকে, যা নকশাকারীরা প্রত্যাশিত বাহ্যিক বলের কম্পাঙ্ক থেকে দূরে রাখেন।
উপাত্ত বিজ্ঞান: প্রধান উপাংশ বিশ্লেষণ সহভেদাঙ্ক ম্যাট্রিক্সের আইগেনভেক্টর ব্যবহার করে সর্বাধিক বিচরণের দিকগুলো খুঁজে বের করে।
অন্তরক সমীকরণ: আইগেনমানের চিহ্ন ঠিক করে একটি সাম্যাবস্থা স্থিতিশীল নাকি অস্থিতিশীল।
কোয়ান্টাম বলবিদ্যা: শক্তিস্তরের মতো পরিমাপযোগ্য রাশিগুলো অপারেটরের আইগেনমান।

আইগেনমান ক্যালকুলেটর জটিল মানসহ আইগেনমান ও আইগেনভেক্টর নির্ণয় করে এবং বৈশিষ্ট্যসূচক বহুপদী ধাপে ধাপে দেখায়। কোনো সম্ভাব্য মানে $\det(A - \lambda I)$ যাচাইয়ের জন্য নির্ণায়ক ক্যালকুলেটর কাজে লাগে।

একটি 3 বাই 3 উদাহরণ

বড় ম্যাট্রিক্সও একই প্রণালী মেনে চলে, এবং নির্ণায়কের মতোই এখানেও শূন্য সাহায্য করে। $(2, 0, 0)$ , $(0, 3, 4)$ ও $(0, 4, 9)$ সারিবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্সটি নিন। প্রথম সারি বরাবর $\det(A - \lambda I)$ বিস্তার করলে পাওয়া যায় $(2 - \lambda)$ গুণ $(3, 4)$ ও $(4, 9)$ সারিবিশিষ্ট ছোট ব্লকের বৈশিষ্ট্যসূচক বহুপদী। ওই ব্লকের ট্রেস 12 এবং নির্ণায়ক $27 - 16 = 11$ , তাই এর বহুপদী $\lambda^2 - 12\lambda + 11 = (\lambda - 1)(\lambda - 11)$ ।

অতএব আইগেনমানগুলো 2, 1 ও 11। যাচাই হিসেবে, এদের যোগফল 14, যা পূর্ণ ম্যাট্রিক্সের ট্রেস, এবং গুণফল 22, যা এর নির্ণায়ক। আইগেনভেক্টরগুলো হলো 2-এর জন্য $(1, 0, 0)$ , 1-এর জন্য $(0, -2, 1)$ এবং 11-এর জন্য $(0, 1, 2)$ । ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম, এবং কথামতো এই তিনটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব।

সাধারণ ভুল

কেবল কর্ণের ভুক্তিগুলোর বদলে প্রতিটি ভুক্তি থেকে $\lambda$ বিয়োগ করা।
$(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ সমাধানের পর শূন্য ভেক্টরকে আইগেনভেক্টর হিসেবে গ্রহণ করা।
ধরে নেওয়া যে পুনরাবৃত্ত আইগেনমানের সঙ্গে সবসময় দুটি স্বাধীন আইগেনভেক্টর থাকে।
$A\mathbf{v}$ হিসাব করে $\lambda\mathbf{v}$ -এর সঙ্গে তুলনা করে ফল যাচাই করতে ভুলে যাওয়া।

শেষ যাচাইটিই সবচেয়ে মূল্যবান অভ্যাস। এতে একটিমাত্র ম্যাট্রিক্স গুণ লাগে, এবং $A\mathbf{v}$ যদি $\mathbf{v}$ -এর গুণিতক না হয়, তবে আইগেনমান বা আইগেনভেক্টর কোনো একটি ভুল।

একটি জ্যামিতিক চিত্র

কল্পনা করুন উদাহরণ 1-এর ম্যাট্রিক্সটি একটি ছক কাগজের প্রতিটি বিন্দুতে প্রয়োগ করছেন। মূলবিন্দু থেকে আঁকা বেশিরভাগ তীর একসঙ্গে প্রসারিত হয় এবং ঘুরে যায়। তবে $(1, 1)$ -এর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখা বরাবর তীরগুলো কেবল পাঁচ গুণ লম্বা হয়, আর $(1, -2)$ -এর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখা বরাবর তীরগুলো দ্বিগুণ লম্বা হয়, নিজেদের রেখাতেই থেকে। আইগেনভেক্টরগুলো রূপান্তরের কঙ্কাল: এই দুটি রেখা বরাবর কী ঘটে জানলেই সর্বত্র কী ঘটে জানা যায়, কারণ প্রতিটি ভেক্টরকে এদের বরাবর অংশে ভাগ করা যায়।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন

আইগেনমান কি শূন্য হতে পারে?

হ্যাঁ। শূন্য আইগেনমান মানে কোনো অশূন্য ভেক্টর শূন্য ভেক্টরে চলে যায়, তাই ম্যাট্রিক্সটি অনিয়মিত এবং এর বিপরীত নেই। তবে আইগেনভেক্টর কখনো শূন্য ভেক্টর হতে পারে না।

আইগেনভেক্টর কি অনন্য?

না। একটি আইগেনভেক্টরের যেকোনো অশূন্য গুণিতকও একই আইগেনমানের আইগেনভেক্টর, তাই উত্তরগুলো প্রায়ই এমনভাবে মাপ ঠিক করা হয় যাতে ভুক্তিগুলো সরল পূর্ণসংখ্যা হয় বা দৈর্ঘ্য 1 হয়।

সব ম্যাট্রিক্সের কি বাস্তব আইগেনমান থাকে?

না। যেমন, ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্সের আইগেনমান জটিল। তবে বাস্তব প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের আইগেনমান সবসময় বাস্তব।

বৈশিষ্ট্যসূচক বহুপদী কী?

এটি $\det(A - \lambda I)$ , $\lambda$ -তে একটি বহুপদী যার মূলগুলোই আইগেনমান। একটি $2 \times 2$ ম্যাট্রিক্সের জন্য এটি $\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A)$ -এর সমান।

আইগেন শব্দটি কোথা থেকে এসেছে?

জার্মান ভাষায় এর অর্থ নিজস্ব বা বৈশিষ্ট্যসূচক। আইগেনভেক্টর হলো একটি ম্যাট্রিক্সের নিজস্ব দিক, যাকে সে নিজের ওপরই নিয়ে যায়, আর আইগেনমান হলো এর বৈশিষ্ট্যসূচক মাপ-পরিবর্তনের গুণক।

MathSolver Pro Editorial Team

গণিত বিষয়বস্তু ও পর্যালোচনা

আমাদের সম্পাদকীয় দল প্রতিটি নির্দেশিকা এমনভাবে লেখে যাতে কেবল উত্তর নয়, প্রতিটি পদ্ধতির পেছনের যুক্তিও ব্যাখ্যা করা হয়। প্রকাশের আগে প্রতিটি কষে দেখানো উদাহরণ সাইটের নিজস্ব সমাধান ইঞ্জিন ও স্বয়ংক্রিয় পরীক্ষার সঙ্গে মিলিয়ে যাচাই করা হয়, এবং কোনো পদ্ধতি বা পরীক্ষার কাঠামো বদলালে নিবন্ধগুলো সংশোধন করা হয়।