n=1 থেকে ∞ পর্যন্ত n/2ⁿ-এর সমষ্টির মান নির্ণয় করুন

সমস্যা. এই হলো সমস্যাটি: n সমান 1 থেকে অসীম পর্যন্ত n/2 এর ঘাত n-এর সমষ্টির মান নির্ণয় করুন. 1 থেকে ∞) পর্যন্ত Σ n / 2 এর ঘাত n (n অভিসারী না অপসারী তা নির্ধারণ করুন।

ধাপে ধাপে. ধারাটি লিখুন. Σ a(n), যেখানে n সমান 1, 2, 3, … এবং a(n) সমান n / 2 এর ঘাত n। প্রথম পদগুলো: 0.5, 0.5, 0.375, 0.25, …. n-তম পদ পরীক্ষা. lim a(n) সমান 0, তাই অপসারিতা পরীক্ষা অনির্ণায়ক; পদগুলো ছোট হয় ঠিকই, তাই আরও সূক্ষ্ম পরীক্ষা দরকার। অনুপাত পরীক্ষা. ধনাত্মক পদ: a(n যোগ 1)/a(n) সরল হয়ে দাঁড়ায় (n যোগ 1) / 2 / n, এবং n → ∞ হলে এর সীমা L সমান 1 ভাগ 2। L এর চেয়ে ছোট 1, তাই ধারাটি (পরমভাবে) অভিসারী। যোগফল সাংখ্যিকভাবে অনুমান করুন. আংশিক যোগফল S N কয়েকটি N-এর জন্য গণনা করে N → ∞-তে বহির্বিস্তার করা হয়েছে (রিচার্ডসন বহির্বিস্তার; একান্তর পদে আগে গড় নেওয়া হয়)। দুটি স্বাধীন বহির্বিস্তার 10 এর ঘাত বিয়োগ 10-এর চেয়ে ভালোভাবে মেলে এবং S প্রায় 2 দেয়। দেখানো বদ্ধ রূপটি একটি সাংখ্যিক শনাক্তকরণ, প্রমাণ নয়।

উত্তর. সুতরাং উত্তর হলো ধারাটি অভিসারী (অনুপাত পরীক্ষা); যোগফল প্রায় 2 (মিলে যায় 2 ১০+ দশমিক স্থান পর্যন্ত). আংশিক যোগফল একটি সসীম সংখ্যার দিকে গেলে ধারা অভিসারী হয়। তার জন্য পদগুলোকে 0-এর দিকে যেতে হবে, কিন্তু শুধু সেটুকু যথেষ্ট নয় (হারমোনিক ধারা অপসারী), তাই নির্ধারণের জন্য তুলনা, অনুপাত, মূল, একান্তর বা সমাকলন পরীক্ষা ব্যবহার করা হয়।

যাচাই. আংশিক যোগফল (সহায়ক প্রমাণ, প্রমাণপত্র নয়): S₁₀ সমান 1.9882813, S₁₀₀ সমান 2, S₁₀₀₀ সমান 2, S₁₀₀₀₀ সমান 2.